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2023-10-27T12:09:44Z

Definition: Bessere MathML-Darstellung

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Die '''Aleph-Funktion''', benannt nach dem [[Aleph|ersten Buchstaben]] des [[hebräisches Alphabet|hebräischen Alphabets]] und auch als <math>\aleph</math> geschrieben, ist eine in der [[Mengenlehre]], genauer in der Theorie der [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahlen]], verwendete Aufzählung aller unendlichen Kardinalzahlen.

== Definition ==
Die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen ist unter Verwendung des [[Auswahlaxiom]]s in der Klasse <math>\mathbf{On}</math> der [[Ordinalzahl]]en enthalten, wobei jede Kardinalzahl <math>\kappa</math> mit der kleinsten zu <math>\kappa</math> gleichmächtigen Ordinalzahl identifiziert wird. Ferner ist das [[Infimum_und_Supremum|Supremum]] einer Menge von Kardinalzahlen stets wieder eine Kardinalzahl. Daher gibt es genau einen [[Ordnungsisomorphismus]] <math>\aleph</math> von <math>\mathbf{On}</math> auf die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen. Den Wert von <math>\aleph</math> an der Stelle <math>\alpha</math> bezeichnet man mit <math>\aleph_\alpha</math>, das heißt, <math>\aleph_\alpha</math> ist die <math>\alpha</math>-te unendliche Kardinalzahl.

Die Aleph-Funktion lässt sich mit [[Transfinite Rekursion|transfiniter Rekursion]] wie folgt definieren:
* <math>\aleph_0 = \left|\omega\right|</math> ist kleinste unendliche Ordinalzahl und damit auch kleinste unendliche Kardinalzahl,
* <math>\aleph_{\alpha+1} = \min_{\kappa > \aleph_\alpha}\kappa</math>, also die kleinste Kardinalzahl, die größer als <math>\aleph_\alpha</math> ist,
* <math>\aleph_\lambda = \sup_{\alpha < \lambda} \aleph_\alpha</math> für Limes-Ordinalzahlen <math>\lambda</math>.

== Eigenschaften ==
Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist <math>\aleph_0</math>, die Kardinalität der [[Abzählbare_Menge|abzählbar unendlichen]] Mengen. Die Nachfolger-Kardinalzahl, das heißt die kleinste Kardinalzahl größer als <math>\aleph_0</math>, ist <math>\aleph_1</math>, und so weiter. Die Frage, ob <math>\aleph_1</math> gleich der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ist, ist als [[Kontinuumshypothese]] bekannt.

Allgemein ist <math>\aleph_\alpha</math> eine ''Nachfolger-Kardinalzahl,'' falls <math>\alpha</math> eine [[Ordinalzahl|Nachfolger-Ordinalzahl]] ist, anderenfalls eine ''Limes-Kardinalzahl.''

Üblicherweise bezeichnet <math>\omega</math> die kleinste unendliche Ordinalzahl. Diese ist gleich <math>\aleph_0</math>, aber als Index für die Aleph-Funktion verwendet man lieber die Ordinalzahl-Schreibweise. <math>\aleph_\omega</math> ist damit die kleinste Limes-Kardinalzahl und kann als <math>\sup_{n < \omega}\aleph_n</math> geschrieben werden.

Es gilt stets <math>\alpha \le \aleph_\alpha</math> für alle Ordinalzahlen <math>\alpha</math>. Man kann zeigen, dass es [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]]e geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen <math>\alpha</math>, für die <math>\alpha = \aleph_\alpha</math> gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge <math>\aleph_0, \aleph_{\aleph_0}, \aleph_{\aleph_{\aleph_0}}, \ldots</math>, der informal als <math>\aleph_{\aleph_\ddots}</math> dargestellt wird. Ebenso sind [[schwach unerreichbare Kardinalzahl]]en Fixpunkte der Aleph-Funktion.

== Siehe auch ==
* [[Anfangszahl]]
* [[Beth-Funktion]]
* [[Gimel-Funktion]]

== Literatur ==
* [[Georg Cantor]]: ''Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Arbeiten zur Mengenlehre aus den Jahren 1872–1884'' (= ''Teubner-Archiv zur Mathematik.'' Bd. 2, {{ISSN|0233-0962}}). Herausgegeben und kommentiert von [[Günter Asser|G. Asser]]. Teubner, Leipzig, 1884.
* [[Thomas Jech]]: ''Set Theory''. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.

[[Kategorie:Kardinalzahl (Mathematik)]]

Aleph-Funktion - Versionsgeschichte

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