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{{Dieser Artikel| beschreibt eine [[spezielle Funktion]]. Für die Formel, die die Transmission von elektromagnetischer Strahlung beschreibt siehe [[Airy-Formel]].}}
Die '''Airy-Funktion''' <math>\operatorname{Ai}(x)</math> bezeichnet eine [[Spezielle Funktionen|spezielle Funktion]] in der Mathematik. Die Funktion <math>\operatorname{Ai}(x)</math> und die verwandte Funktion <math>\operatorname{Bi}(x)</math>, die ebenfalls Airy-Funktion genannt wird, sind Lösungen der [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung|linearen Differentialgleichung]]

: <math>\ y'' - xy = 0\ ,</math>

auch bekannt als Airy-Gleichung. Sie beschreibt unter anderem die Lösung der [[Schrödinger-Gleichung]] für einen linearen [[Potentialtopf]].

Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen [[George Biddell Airy]] benannt, der diese Funktion in seinen Arbeiten in der [[Optik]] verwendete (Airy 1838). Die Bezeichnung <math>\operatorname{Ai}(x)</math> wurde von [[Harold Jeffreys]] eingeführt.

== Definition ==
=== Reelle Airy-Funktion ===
[[Datei:Airy plot.svg|300px|rechts]]
Für reelle Werte <math>x</math> ist die Airy-Funktion als [[Parameterintegral]] definiert:
: <math>\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, {\rm d}t\ .</math>

Eine zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung ist die ''Airy-Funktion zweiter Art'' <math>\mathrm{Bi}</math>:

: <math>\mathrm{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \left(\exp\left(-\frac{t^3}{3} + xt\right) + \sin\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\right)\, {\rm d}t\ .</math>
=== Komplexe Airy-Funktion ===
Die komplexe Airy-Funktion ist
:<math>\operatorname{Ai}(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{C} \exp\left(\tfrac{t^3}{3} - zt\right)\, dt,</math>
mit Kontour <math>C</math> von <math>z_1=\infty</math> mit <math>\operatorname{arg}(z_1)=-\pi/3</math> nach <math>z_2=\infty</math> mit <math>\operatorname{arg}(z_2)=\pi/3</math>.

== Eigenschaften ==
=== Asymptotisches Verhalten ===
Für <math>x</math> gegen <math>+\infty</math> lassen sich <math>\mathrm{Ai}(x)</math> und <math>\mathrm{Bi}(x)</math> mit Hilfe der [[WKB-Näherung]] approximieren:
: <math>\begin{align}
\mathrm{Ai}(x) &{}\simeq \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\
\mathrm{Bi}(x) &{}\simeq \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}.
\end{align}
</math>
Für <math>x</math> gegen <math>-\infty</math> gelten die Beziehungen:
: <math>\begin{align}
\mathrm{Ai}(x) &{}\simeq \frac{\sin(\frac23(-x)^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,(-x)^{1/4}} \\
\mathrm{Bi}(x) &{}\simeq \frac{\cos(\frac23(-x)^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,(-x)^{1/4}}.
\end{align}
</math>

=== Nullstellen ===
Die Airy-Funktionen haben nur Nullstellen auf der negativen reellen Achse.<ref>{{MathWorld|id=AiryFunctionZeros|title=Airy Function Zeros}}</ref>
Die ungefähre Lage folgt aus dem asymptotischen Verhalten für <math>x \to -\infty</math> zu
: <math>
\operatorname{Ai}(x)=0
\quad\Rightarrow\quad
x \approx -\bigl(\textstyle\frac32\pi (n - \frac14)\bigr)^{2/3}
,\quad
n \in \N
</math>
:<math>
\operatorname{Bi}(x)=0
\quad\Rightarrow\quad
x \approx -\bigl(\textstyle\frac32\pi (n - \frac34)\bigr)^{2/3}
,\quad
n \in \N
</math>

=== Spezielle Werte ===
Die Airy-Funktionen und ihre Ableitungen haben für <math>x=0</math> die folgenden Werte:
:<math>\begin{align}
\mathrm{Ai}(0) &{}= \frac{1}{\sqrt[3]{9}\cdot \Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Ai}'(0) &{}= -\frac{1}{\sqrt[3]{3}\cdot\Gamma(\frac13)}, \\
\mathrm{Bi}(0) &{}= \frac{1}{\sqrt[6]{3}\cdot\Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Bi}'(0) &{}= \frac{\sqrt[6]{3}}{\Gamma(\frac13)}.
\end{align}
</math>
Hierbei bezeichnet <math>\Gamma(\cdot)</math> die [[Gammafunktion]]. Es folgt, dass die [[Wronski-Determinante]] von <math>\mathrm{Ai}(x)</math> und <math>\mathrm{Bi}(x)</math> gleich <math>\tfrac1\pi</math> ist.

== Fourier-Transformierte ==
Direkt aus der Definition der Airy-Funktion <math>\operatorname{Ai}(x)</math> (siehe oben) folgt deren [[Fourier-Transformation|Fourier-Transformierte]].
: <math>
\mathcal{F}(\operatorname{Ai})(k) := \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{Ai}(x)\ \mathrm{e}^{- 2\pi \mathrm{i} k x}\,dx =
\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{3}(2\pi k)^3}\,.
</math>
Man beachte die hier verwendete symmetrische Variante der Fourier-Transformation.

== Weitere Darstellungen ==
* Unter Verwendung der [[Verallgemeinerte hypergeometrische Funktion|hypergeometrischen Funktion <math>{}_0F_1</math>]]

: <math>\mathrm{Ai}(z)=\frac1{3^{2/3}\cdot \Gamma (\tfrac23)}\cdot \, {}_0F_1 \left(0;\tfrac23;\tfrac19z^3\right) -
\frac{z}{3^{1/3}\cdot \Gamma (\tfrac13)}\cdot \, {}_0F_1 \left(0;\tfrac43;\tfrac19z^3\right)</math>
:<math>\mathrm{Bi}(z)=\frac1{3^{1/6}\cdot \Gamma (\tfrac23)}\cdot \, {}_0F_1 \left(0;\tfrac23;\tfrac19z^3\right) +
\frac{3^{1/6}\cdot z}{\Gamma (\tfrac13)}\cdot \, {}_0F_1 \left(0;\tfrac43;\tfrac19z^3\right)</math>

* Für <math>x>0</math> lassen sie sich auch mit der [[Besselsche Differentialgleichung#Modifizierte Bessel-Funktionen |modifizierten Bessel-Funktion erster Art <math>I</math>]] so darstellen:

: <math>\mathrm{Ai}(x)=\frac13\sqrt{x}\left[ I_{-1/3} \left(\frac23x^{3/2}\right) - I_{1/3} \left(\frac23x^{3/2}\right)\right]</math>
: <math>\mathrm{Bi}(x)=\sqrt{\frac x3}\left[ I_{-1/3} \left(\frac23x^{3/2}\right) + I_{1/3} \left(\frac23x^{3/2}\right)\right]</math>

* Eine andere unendliche Integraldarstellung für <math>\mathrm{Ai}</math> lautet

: <math>\mathrm{Ai}(z)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \exp\left(\mathrm i\cdot \left(zt+\frac{t^3}3\right)\right) \mathrm dt</math>

* Es gibt die Reihendarstellungen<ref>C. Banderier, P. Flajolet, G. Schaeffer, M. Soria: ''Planar Maps and Airy Phenomena.'' In ''Automata, Languages and Programming. Proceedings of the 27th International Colloquium (ICALP 2000) held at the University of Geneva'', Geneva, 9.–15. Juli 2000 (Ed. U. Montanari, J. D. P. Rolim, E. Welzl). Berlin: Springer, S. 388–402, 2000</ref>

: <math>\mathrm{Ai}(z)=\frac1{3^{2/3}\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma\left(\frac13(n+1)\right)}{n!}\left(3^{1/3}z\right)^n \sin\left(\frac{2(n+1)\pi}{3}\right)</math>
: <math>\mathrm{Bi}(z)=\frac1{3^{1/6}\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma\left(\frac13(n+1)\right)}{n!}\left(3^{1/3}z\right)^n \left|\sin\left(\frac{2(n+1)\pi}{3}\right)\right|</math>

== Komplexe Argumente ==
<math>\mathrm{Ai}(x)</math> und <math>\mathrm{Bi}(x)</math> sind [[Ganze Funktion|ganze Funktionen]]. Sie lassen sich also auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortsetzen.

{| style="text-align:center"
|-
! <math>\Re \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] </math>
! <math>\Im \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] </math>
! <math>| \mathrm{Ai} ( x + iy) | \, </math>
! <math>\mathrm{arg} \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] \, </math>
|-
|[[Datei:AiryAi Real Surface.png|200px]]
|[[Datei:AiryAi Imag Surface.png|200px]]
|[[Datei:AiryAi Abs Surface.png|200px]]
|[[Datei:AiryAi Arg Surface.png|200px]]
|-
|[[Datei:AiryAi Real Contour.svg|200px]]
|[[Datei:AiryAi Imag Contour.svg|200px]]
|[[Datei:AiryAi Abs Contour.svg|200px]]
|[[Datei:AiryAi Arg Contour.svg|200px]]
|}

{| style="text-align:center"
|-
! <math>\Re \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] </math>
! <math>\Im \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] </math>
! <math>| \mathrm{Bi} ( x + iy) | \, </math>
! <math>\mathrm{arg} \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] \, </math>
|-
|[[Datei:AiryBi Real Surface.png|200px]]
|[[Datei:AiryBi Imag Surface.png|200px]]
|[[Datei:AiryBi Abs Surface.png|200px]]
|[[Datei:AiryBi Arg Surface.png|200px]]
|-
|[[Datei:AiryBi Real Contour.svg|200px]]
|[[Datei:AiryBi Imag Contour.svg|200px]]
|[[Datei:AiryBi Abs Contour.svg|200px]]
|[[Datei:AiryBi Arg Contour.svg|200px]]
|}

== Verallgemeinerungen ==

Definiere
:<math>T_n(t,\alpha)=t^n {}_2F_1\left(-\frac{n}{2},\frac{1-n}{2};1-n;-\frac{4\alpha}{t^2}\right)</math>
wobei <math>{}_2F_1</math> die [[Gaußsche hypergeometrische Funktion|hypergeometrische Funktion]] ist.
Dann gibt es folgende Verallgemeinerungen des Airy-Integrals
:<math>\operatorname{Ci}_n(\alpha)=\int_0^{\infty}\cos(T_n(t,\alpha))\mathrm{d}t</math>
:<math>\operatorname{Si}_n(\alpha)=\int_0^{\infty}\sin(T_n(t,\alpha))\mathrm{d}t</math>
:<math>\operatorname{Ei}_n(\alpha)=\int_0^{\infty}\exp(-T_n(t,\alpha))\mathrm{d}t</math>

== Verwandte Funktionen ==
=== Airy-Zeta-Funktion ===
Zu der Airy-Funktion lässt sich analog zu den anderen [[Zeta-Funktion]]en die [[Airysche Zeta-Funktion]] definieren als<ref>{{MathWorld|id=AiryZetaFunction|title=Airy Zeta Function}}</ref>
: <math>Z(n)=\sum_r \frac1{r^n},</math>
wobei die Summe über die reellen (negativen) Nullstellen von <math>\mathrm{Ai}</math> geht.

=== Scorersche Funktionen ===
[[Datei:Mplwp Scorers Gi Hi.svg|mini|Funktionsgraphen von <math>\mathrm{Gi}(x)</math> und <math>\mathrm{Hi}(x)</math>.]]
Manchmal werden auch die beiden weiteren Funktionen <math>\mathrm{Gi}(x)</math> und <math>\mathrm{Hi}(x)</math> zu den Airy-Funktionen dazugerechnet. Die Integral-Definitionen lauten<ref>Milton Abramowitz und Irene A. Stegun: ''[[Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]'', 1954, [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_447.htm Seite 447]</ref>

: <math>\mathrm{Gi}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \sin\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\,\mathrm dt</math>
: <math>\mathrm{Hi}(x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty \exp\left(-\frac{t^3}{3} + xt\right)\,\mathrm dt</math>

Sie lassen sich auch durch die Funktionen <math>\mathrm{Ai}</math> und <math>\mathrm{Bi}</math> darstellen.

== Literatur ==
* [[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun|Irene A. Stegun]]: ''[[Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]''. [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_446.htm (siehe §10.4)]. [[National Bureau of Standards]], 1954.
* George Biddell Airy: ''On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic''. In: ''Transactions of the Cambridge Philosophical Society.'' Band 6, 1838, S. 379–402.
* Frank Olver: ''Asymptotics and Special Functions.'' Chapter 11. Academic Press, New York 1974.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Airy function|Airy-Funktion}}
* [http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/ ''Bessel-Type Functions''.] [[Wolfram Research|Wolfram]] Funktionenseite.
* [http://dlmf.nist.gov/9 ''Chapter 9: Airy and related functions''.] In: ''Digital Library of Mathematical Functions.''

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Airyfunktion}}
[[Kategorie:Analytische Funktion]]
[[Kategorie:George Biddell Airy als Namensgeber]]

Airy-Funktion - Versionsgeschichte

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