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{{Dieser Artikel| behandelt die Formel, die die Transmission einer elektromagnetischen Welle beschreibt. Für die [[spezielle Funktion]] siehe [[Airy-Funktion]].}}
[[Datei:Airy Formula.svg|mini|Die Airy-Formel gibt die [[Transmission (Physik)|Transmission]] eines Fabry-Pérot Interferometers (FPI) an. Für höhere Finessen <math>\mathcal{F}</math> wird nicht-resonantes Licht besser unterdrückt. Die [[Linienbreite]] <math>\delta</math> ist für große Finessen näherungsweise <math>\frac{\Delta\nu_\text{FSB}}{\mathcal{F}}</math> mit dem Freien Spektralbereich <math>\Delta\nu_\text{FSB}</math>.]]

Die '''Airy-Formel''', benannt nach dem Mathematiker und Astronom [[George Biddell Airy]], gibt den Verlauf der [[Transmission (Physik)|transmittierten]] [[Intensität (Physik)|Intensität]] [[Elektromagnetische Strahlung|elektromagnetischer Strahlung]] in einem [[Fabry-Pérot-Interferometer]] an, in Abhängigkeit vom Verhältnis der [[Wellenlänge]] oder [[Frequenz]] der Strahlung zum [[Freier Spektralbereich|freien Spektralbereich]] des Interferometers.

Die Airy-Formel ergibt sich durch Addition der [[Elektrisches Feld|elektrischen Felder]] aller im Interferometer umlaufenden Teilwellen unter Berücksichtigung ihrer [[Phasenwinkel|Phasen]] und [[Amplitude]]n<ref>{{Literatur | Autor= Miles V. Klein, Thomas E. Furtak| Titel=Optics | Auflage=2. | Verlag=Wiley | Ort=New York | Jahr=1986 | ISBN=0-471-84311-3 | Seiten=302}}</ref>.

== Herleitung ==
Die Intensität der im Interferometer umlaufenden Strahlen ist [[proportional]] zur transmittierten Intensität. Bei der Berechnung muss die nicht-ideale [[Reflexion (Physik)|Reflexion]] an den beiden Endspiegeln mit dem Amplituden-[[Reflexionsfaktor|Reflexionskoeffizienten]] <math>r \neq 1</math> berücksichtigt werden. Er ist über <math>r^2 + t^2 = 1</math> mit dem Amplituden-[[Transmissionskoeffizient]]en <math>t</math> verknüpft. Nach <math>m</math> Umläufen, also <math>2m</math> Reflexionen, ist der Betrag des elektrischen Feldes um den Faktor <math>r^{2m}</math> kleiner.

Während eines Umlaufs, d. h., wenn eine Teilwelle das Interferometer einmal hin und zurück durchlaufen hat, akkumuliert diese einen [[Phasenwinkel]] <math>2 \varphi</math> (also <math>1 \varphi</math> pro zurückgelegter [[Optischer Resonator|Resonator]]<nowiki />länge <math>L</math>). Diese Phase hängt ab
* vom Verhältnis der Resonatorlänge <math>L</math> zur Wellenlänge <math>\lambda</math> des Lichts sowie
* vom [[Brechungsindex]] <math>n</math> des [[Ausbreitungsmedium|Mediums]] zwischen den Endspiegeln.
Dies lässt sich auch ausdrücken als Verhältnis der Lichtfrequenz <math>\nu</math> zum freien Spektralbereich <math>\Delta\nu_\text{FSB} = \frac{c}{2nL}</math> (Einheit Frequenz) des Fabry-Pérot-Interferometers mit dem Betrag des Wellenvektors<ref>{{Literatur |Autor= Dieter Meschede |Titel=Optik, Licht und Laser |Auflage=3. |Verlag=Vieweg + Teubner |Ort=Wiesbaden |Datum=2008 |ISBN=978-3-8351-0143-2 |Seiten=197}}</ref> <math>k=2\pi/\lambda</math>:
:<math>\varphi = nkL = n \frac{2 \pi L}{\lambda} = \pi \frac{\nu}{\Delta \nu_\text{FSB}} </math>


Die [[elektrische Feldstärke]] <math>E</math> im Innern des [[Resonator]]s ist

:<math>\begin{align}
E &= E_\mathrm{i}t\left(1+\sum_{m=1}^{m=\infty}r^{2m}\exp \left( 2im\varphi\right) \right) \\
&= E_\mathrm{i} \frac{\sqrt{1 - r^2}}{1 - r^2 \exp \left( 2i \varphi \right)}
\end{align}</math>

mit der Feldstärke <math>E_i</math> des einfallenden Lichts.

In der obigen Rechnung wurde nach einer [[Indexverschiebung]] die [[geometrische Reihe]] ausgewertet<ref>{{Literatur |Autor=I.N. Bronstein, K. A. Semendjajew |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage= 19.|Verlag=Harri Deutsch |Ort=Thun und Frankfurt/Main |Datum= 1980 |ISBN= 3-87144-492-8|Seiten= 575}}</ref>.

Die einzelnen Beiträge der transmittierten Teilwellen addieren sich nach der Passage durch den Ausgangsspiegel zur resultierenden Feldamplitude <math>E_\mathrm{t}</math>:<ref>{{Literatur |Autor= Dieter Meschede |Titel=Optik, Licht und Laser |Auflage=3. |Verlag=Vieweg + Teubner |Ort=Wiesbaden |Datum=2008 |ISBN=978-3-8351-0143-2 |Seiten=198}}</ref>
:<math>E_\mathrm{t}=t\cdot E=\sqrt{1-r^2}\cdot E=E_\mathrm{i} \frac{1 - r^2}{1 - r^2 \exp \left( 2i \varphi \right)}</math>

Das [[Betragsquadrat]] dieses Ausdrucks ergibt mit verschiedenen [[Formelsammlung Trigonometrie|trigonometrischen Identitäten]] die Airy-Formel<ref>{{Literatur |Autor=Kip S. Thorne, Roger D. Blandford|Titel=Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics |Auflage=1. |Verlag=Princeton University Press |Ort= Princeton |Datum= 2017 |ISBN=0691159025 |Seiten= 493}}</ref>:

:<math>\begin{align}
I_\mathrm{t} &= E_\mathrm{t} \cdot E^*_\mathrm{t} = \frac{I_\mathrm{i}}{1+\left(\frac{2\sqrt{R}}{1-R}\right)^2\sin^2(\varphi)}\\
&\Rightarrow \text{Airy-Formel: }\quad \frac{I_\mathrm{t}}{I_\mathrm{i}}=\frac{1}{1+ \left( \frac{2 \mathcal{F}}{\pi} \right) ^2 \sin^2(\varphi)}= \frac{1}{1+ F \sin^2(\varphi)}
\end{align}</math>

In dieser Intensitätsdarstellung werden verwendet:
* der Reflexionskoeffizient <math>R=r^2</math>
* der Transmissionskoeffizient <math>T=t^2</math>
* die Finesse <math>\mathcal{F} = \frac{\pi \sqrt{R}}{1 - R}</math>.
* der Finesse-Koeffizient <math>F = \left(\frac{2\sqrt{R}}{1-R}\right)^2= \frac{4R}{(1-R)^2}=\left( \frac{2 \mathcal{F}}{\pi} \right) ^2</math>

== Siehe auch ==
* [[Fresnelsche Formeln]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Airyformel}}
[[Kategorie:Elektrodynamik]]
[[Kategorie:Optik]]
[[Kategorie:George Biddell Airy als Namensgeber]]

Airy-Formel - Versionsgeschichte

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