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2026-04-16T12:14:28Z

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Der '''affine Raum''' (von {{laS|affinis|de=angrenzend, benachbart}}), gelegentlich auch '''lineare Mannigfaltigkeit''' genannt, nimmt im systematischen Aufbau der [[Geometrie]] eine Mittelstellung zwischen [[Euklidischer Raum|Euklidischem Raum]] und [[Projektiver Raum|Projektivem Raum]] ein.

Der dreidimensionale affine Raum ist wie der euklidische Raum ein [[Mathematik|mathematisches]] Modell für den dreidimensionalen Anschauungsraum. Dabei wird aber auf die Begriffe Länge, Abstand und Winkel verzichtet.

In einem weiteren Sinne kann ein affiner Raum, wie andere mathematische [[Raum (Mathematik)|Räume]] auch, eine beliebige [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] haben: Als affinen Raum kann man auch einen einzelnen Punkt, die ''affine Gerade'', die ''affine Ebene'' sowie vier- und höherdimensionale Räume bezeichnen. In aller Regel sind diese Räume nur endlichdimensional.

Verschiedene mathematische Disziplinen haben unterschiedliche Präzisierungen dieses Begriffs gefunden.

== Der affine Raum in der linearen Algebra ==
=== Definition ===
[[Datei:Chasles' Relation.svg|mini|Dreiecksregel]]
[[Datei:Vektor abtragen.svg|mini|Abtragbarkeitsregel]]
Gegeben seien eine [[Mengentheorie|Menge]] <math> A \neq \emptyset </math>, deren Elemente geometrisch als Punkte aufgefasst werden, ein [[Vektorraum]] <math>V</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math> K </math> und eine Abbildung von <math>A \times A</math> nach <math>V</math>, die zwei Punkten <math>P, Q \in A</math> einen ''Verbindungsvektor'' <math>\overrightarrow{PQ} \in V</math> zuordnet, so dass die folgenden beiden Regeln gelten:
* für je drei Punkte <math>P, Q, R \in A</math> gilt: <math>\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}</math> (''Dreiecksregel, Beziehung von Chasles''),
* für jeden Punkt <math>P \in A</math> und jeden Vektor <math>\vec{v} \in V</math> gibt es einen eindeutig bestimmten Punkt <math>Q \in A</math>, so dass <math> \vec{v} = \overrightarrow{PQ}</math> (''Abtragbarkeitsregel'').<ref>{{Literatur |Autor=Rolf Brandl |Titel=Vorlesungen über Analytische Geometrie |Verlag=Verlag Rolf Brandl |Ort=Hof |Datum=1996 |Seiten=10 ff.}}</ref>

Das Tripel ''<math>(A, V,\overrightarrow {} )</math>'' heißt ''affiner Raum''. Wenn klar ist, welcher Vektorraum <math>V</math> und welche ''Pfeilabbildung <math>\overrightarrow {} </math>'' zugrunde liegt, spricht man auch allein vom ''affinen Raum <math>A</math>''.
Bei dem Körper <math> K </math> handelt es sich oft um den Körper <math> \R </math> der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]].

=== Translationen ===
Im affinen Raum ist eine „Addition“ als Abbildung von <math>A \times V \to A,\ (P,\vec{v}) \mapsto P + \vec{v}, </math> dadurch definiert, dass <math>P + \vec{v}</math> gerade der über <math>\vec{v}=\overrightarrow{PQ}</math> eindeutig bestimmte Punkt <math>Q</math> ist. Für festgelegtes <math>\vec{v} \in V</math> heißt die zugehörige Abbildung <math>T_{\vec{v}} \colon A \to A,\ P \mapsto P + \vec{v}, </math> ''Translation (Verschiebung)'' oder präzise ''Translation um den Vektor <math>\vec{v}</math>'' und <math>\vec{v}</math> heißt dann der zugehörige ''Translationsvektor''.

Translationen sind stets [[Bijektion]]en. Sie bilden zusammen mit der [[Komposition (Mathematik)|Hintereinanderschaltung]] als [[Permutationsgruppe|Gruppenverknüpfung]] eine [[Untergruppe]] der [[Automorphismengruppe]] <math>\operatorname{Aut}(A)</math> von <math>A</math>, wobei <math>{T_{\vec{0}}}= \operatorname{id}_A</math> und für <math>\vec{v}, \vec{w} \in V</math> stets <math> {T_{\vec{v}}} \circ {T_{\vec{w}}}= T_{\vec{v} + \vec{w}}</math> und <math>{T_{\vec{v}}}^{-1}= T_{-\vec{v}}</math> gelten<ref>{{Literatur |Autor=Rolf Brandl |Titel=Vorlesungen über Analytische Geometrie |Verlag=Verlag Rolf Brandl |Ort=Hof |Datum=1996 |Seiten=14}}</ref>.

Anmerkung: Wegen <math>P + \overrightarrow{PQ} = Q</math> schreibt man auch oft <math>Q - P</math> statt <math>\overrightarrow{PQ}</math>. Es gilt dann <math>\vec{v} = Q - P</math> genau dann, wenn <math>Q = P + \vec{v}</math>.

=== Affiner Unterraum ===
Wenn <math>P</math> ein festgelegter Punkt aus <math>A</math> ist und <math>U</math> ein [[Untervektorraum]] von <math>V</math>, dann ist <math>B = P + U = \{P + \vec{u} \mid \vec{u} \in U \} </math> ein ''[[affiner Unterraum]]'' von <math>A</math>. Anstelle des Begriffs „affiner Unterraum“ wird auch oft die äquivalente Bezeichnung ''affiner Teilraum'' verwendet. Der zu einem affinen Teilraum <math> B </math> gehörige Untervektorraum <math> U</math> ist durch <math> B </math> eindeutig bestimmt.

Die ''Dimension'' eines affinen Raums <math>A</math> zu einem Vektorraum <math>V</math> über einem Körper <math> K </math> ist definiert als die [[Dimension (Mathematik)#Hamel-Dimension|Dimension]] des Vektorraums <math>V</math> über <math> K </math>. Oft ist es bequem, auch die [[leere Menge]] als affinen (Teil-)Raum anzusehen. Diesem leeren Teilraum wird dann die Dimension <math>-1</math> zugeordnet.

=== Der affine Punktraum und der ihm zugeordnete Vektorraum ===

Wenn im affinen Raum <math>A</math> ein Punkt <math>O \in A</math> als Ursprung fest gewählt wird, hat man durch die Abbildung, die jedem Punkt <math>P \in A</math> die Verschiebung <math>\overrightarrow{OP}</math>, den ''[[Ortsvektor]]'' von <math>P</math>, zuordnet, eine eineindeutige Abbildung zwischen dem affinen Raum und seinem Vektorraum der Verschiebungen. Dabei ist zu beachten, dass diese Zuordnung zwischen Punkten und Ortsvektoren ''von der Wahl des Ursprungs abhängt''.

Umgekehrt kann man jeden Vektorraum <math>V</math> als affinen Punktraum ansehen: <math>V\times V\to V</math> mit <math> (\vec{v},\vec{w})\mapsto \vec{w}-\vec{v}</math> ist die Abbildung, die zwei ''Punkten'' ihren Verbindungsvektor zuordnet. Damit wird ''von vornherein ein Punkt des affinen Raumes ausgezeichnet'', nämlich der [[Nullvektor]] des Vektorraums.

Im ersten Fall kann nach der Identifizierung eines Punktes mit seinem Ortsvektor (abhängig von der Wahl des Ursprungs!), im zweiten Fall kann von vornherein die Addition im Vektorraum <math>V</math> so aufgefasst werden, dass die [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>(V,+)</math> als Abbildungsgruppe der Verschiebungen ''auf sich selbst'' als Menge von Punkten [[Gruppenoperation|operiert]].

Aus diesen Gründen wird manchmal auf eine rigide Unterscheidung zwischen dem ''affinen Punktraum'' einerseits und dem ''Vektorraum der Verschiebungsvektoren'' andererseits verzichtet.

=== Beispiele ===

* Der <math>n</math>-dimensionale [[Euklidischer Raum|euklidische Raum]] <math>E^n</math> ist der affine Raum über einem <math>n</math>-dimensionalen [[Prähilbertraum|euklidischen Vektorraum]] (also einem <math>n</math>-dimensionalen Vektorraum mit [[Skalarprodukt]]).
* Jeder Vektorraum kann als affiner Raum aufgefasst werden. Dadurch ist auch jeder [[affiner Unterraum|affine Unterraum]] eines Vektorraums ein affiner Raum.
* Die Lösungen eines inhomogenen [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] bilden einen affinen Raum über dem Vektorraum der Lösungen des zugehörigen homogenen Systems. Das gilt analog auch für Systeme linearer [[Differentialgleichung]]en.
* In der [[Differentialgeometrie]] spielen affine Räume eine Rolle in der Theorie der [[Faserbündel]]. Beispiele sind die Fasern des [[Affines Tangentialbündel|affinen Tangentialbündels]], des [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhangsbündels]] und von [[Jetbündel]]n.

== Verwendung in der algebraischen Geometrie ==
* In der klassischen [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] ist ''der'' <math>n</math>-dimensionale affine Raum <math>A^n</math> über einem [[algebraisch abgeschlossen]]en [[Körpertheorie|Körper]] <math>K</math> die [[algebraische Varietät]] <math>K^n</math>.
* In der modernen algebraischen Geometrie ist der <math>n</math>-dimensionale affine Raum <math>A^n_A</math> über einem [[Kommutativer Ring|kommutativen Ring]] <math>A</math> mit Einselement definiert als das [[Spektrum eines Ringes|Spektrum]] des Polynomringes <math>A[X_1,\dotsc,X_n]</math> in <math>n</math> Unbestimmten.<br />Für eine <math>A</math>-[[Algebra (Struktur)|Algebra]] <math>B</math> sind die <math>B</math>-wertigen [[Punkt (algebraische Geometrie)|Punkte]] von <math>A^n_A</math> gleich <math>B^n</math>.

== Definitionen der synthetischen Geometrie ==
Ein affiner Raum im Sinne der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] besteht aus den folgenden Daten:
* einer Menge von Punkten,
* einer Menge von Geraden,
* einer [[Inzidenzrelation]], die angibt, welche Punkte auf welchen Geraden liegen und
* einer Parallelitätsrelation, die angibt, welche Geraden parallel sind,
so dass gewisse [[Axiom]]e erfüllt sind, die die Anschauung nahelegt (unter anderem [[Euklid]]s berühmtes [[Parallelenaxiom]]).

Die so definierten Strukturen verallgemeinern den Begriff ''affiner Raum'', der im vorliegenden Artikel definiert wird. So gilt:
# Jeder zweidimensionale affine Raum erfüllt die Forderungen an eine [[affine Ebene]]. Eine affine Ebene, die den [[Satz von Desargues]] erfüllt, bestimmt einen eindeutigen [[Schiefkörper]], so dass sie geometrisch isomorph zum zweidimensionalen affinen Raum über diesem Schiefkörper ist.
# Jeder affine Raum erfüllt die Forderungen an eine [[affine Geometrie]]. Eine affine Geometrie, die mindestens dreidimensional ist (d. h., die eine ''affine Ebene'' als echten Teilraum enthält), erfüllt den Satz von Desargues und bestimmt einen eindeutigen Schiefkörper, so dass sie geometrisch isomorph zu einem mindestens dreidimensionalen Raum über diesem Schiefkörper ist.
# Jeder affine Raum ist ein [[schwach affiner Raum]].
# Jeder endliche, mindestens zweidimensionale affine Raum ist ein [[Blockplan]].
→ Siehe für weitere Details die genannten Artikel, in denen die verallgemeinerten Strukturen beschrieben sind. Wie sich der Begriff „affiner Raum“ (als Raum mit Verschiebungen, die einen Vektorraum bilden) von den axiomatischen Begriffen der synthetischen Geometrie abgrenzen lässt, wird im Artikel [[Affine Geometrie]] genauer dargestellt.

== Siehe auch ==
* [[Affine Koordinaten]]

== Weblinks ==
* Hubert Grassmann: {{Toter Link |datum=2025-10 |url=https://www.zum.de/Faecher/Materialien/rubin/texte/algebra_geometrie.pdf |text=Vorlesungsskript ''Lineare Algebra''.}}(PDF; 1,4 MB)

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Rolf Brandl
|Titel=Vorlesungen über Analytische Geometrie
|Verlag=Verlag Rolf Brandl
|Ort=Hof
|Datum=1996}}
* {{Literatur
|Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]
|Titel=Analytische Geometrie
|Auflage=6., überarbeitete
|Verlag=Vieweg
|Ort=Braunschweig/Wiesbaden
|Datum=1992
|ISBN=3-528-57235-3}}
* {{Literatur
|Autor=Siegfried Guber
|Titel=Lineare Algebra und analytische Geometrie
|Auflage=2., unveränderte
|Verlag=Universitätsbuchhandlung Rudolf Merkel
|Ort=Erlangen
|Datum=1970
|Kommentar=Vorlesung, ausgearbeitet von Gerd Heinlein und Gunter Ritter}}
* {{Literatur
|Autor=[[Günter Pickert]]
|Titel=Analytische Geometrie
|Auflage=6., durchgesehene
|Verlag=Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig
|Ort=Leipzig
|Datum=1967}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Affiner Raum| ]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Affiner Raum - Versionsgeschichte

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