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2025-03-19T19:17:17Z

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Eine '''affine Ebene''' ist in der [[synthetische Geometrie|synthetischen]] [[Geometrie]] eine Punkte und Geraden umfassende [[Inzidenzstruktur]], die im Wesentlichen durch zwei Forderungen charakterisiert ist, nämlich dass je zwei Punkte eine (eindeutige) [[Verbindungsgerade]] besitzen und dass es eindeutige parallele Geraden gibt. In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] und der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] wird ein zwei-[[Dimension (Mathematik)|dimensionaler]] [[affiner Raum]] als ''affine Ebene'' bezeichnet. Der im vorliegenden Artikel beschriebene Begriff der synthetischen Geometrie verallgemeinert diesen bekannteren Begriff aus der linearen Algebra.

Eine affine Ebene, die nur endlich viele Punkte enthält, wird als ''endliche affine Ebene'' bezeichnet und als solche auch in der [[Endliche Geometrie|endlichen Geometrie]] untersucht. Besonders für diese Ebenen ist der Begriff '''Ordnung''' der Ebene wichtig: Sie ist definiert als die Anzahl der Punkte auf einer und damit jeder Geraden der Ebene.

Jede affine Ebene lässt sich durch Einführung ''uneigentlicher Punkte'' und einer aus diesen bestehenden ''uneigentlichen Geraden'' zu einer [[Projektive Ebene|''projektiven Ebene'']] erweitern. Umgekehrt entsteht aus einer projektiven Ebene durch Entfernung einer Geraden mit ihren Punkten eine affine Ebene. → Siehe auch [[projektives Koordinatensystem]].

Jede affine Ebene kann durch die Zuordnung eines Koordinatenbereichs <math>K</math> koordinatisiert und durch zusätzliche Verknüpfungen, die sich aus den geometrischen Eigenschaften der Ebene in diesem Koordinatenbereich ergeben, algebraisiert werden. Eine affine Ebene im Sinne der linearen Algebra, also ein affiner Raum, dessen [[Vektorraum]] der [[Parallelverschiebung]]en ein zwei-dimensionaler Vektorraum über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] ist, ergibt sich genau dann, wenn der Koordinatenbereich durch die geometrische Struktur isomorph zu ebendiesem Körper wird. Diese Beschreibung der affinen Ebene mit Hilfe eines Koordinatenbereichs, bei dem der algebraische Begriff ''Körper'' verallgemeinert wird, und ein Überblick über die Strukturen, die sich bei Gültigkeit wichtiger Schließungssätze ergeben, findet sich im Hauptartikel [[Ternärkörper]].

Andererseits kann man die [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] der [[Parallelverschiebung]]en in einer affinen Ebene untersuchen, was zu einer anderen Algebraisierung führt, bei der der Begriff ''Parallelverschiebung,'' der in der linearen Algebra durch einen ''Vektor'' beschrieben werden kann, zum Begriff der ''Translation'' führt. Dieser Zugang, der den koordinatenbezogenen Zugang ergänzt, wird im Hauptartikel [[Affine Translationsebene]] beschrieben.

== Definitionen ==
Eine Inzidenzstruktur <math>\langle \mathcal P,\mathcal G,\mathbf I\rangle</math>, die aus einem Punktraum <math>\mathcal P</math>, einem Geradenraum <math>\mathcal{G}</math> und einer [[Inzidenzrelation]] <math>\mathbf I</math> zwischen diesen besteht, ist genau dann eine '''affine Ebene''', wenn die folgenden Axiome gelten:
# Zwei verschiedene [[Punkt (Geometrie)|Punkt]]e aus <math>\mathcal P</math> liegen auf genau einer [[Gerade (Geometrie)|Gerade]]n aus <math>\mathcal{G}</math>.
# Es gilt das [[Parallelenpostulat]], das heißt, es gibt zu jeder Geraden <math>g\in\mathcal{G}</math> und zu jedem Punkt <math>A\in \mathcal P</math>, der nicht auf <math>g</math> liegt, genau eine weitere Gerade <math>h\in\mathcal{G}</math>, die <math>A</math> enthält und keinen Punkt von <math>g</math> enthält.
# Es gibt drei verschiedene Punkte aus <math>\mathcal P</math> (ein „Dreieck“), die nicht alle auf einer Geraden aus <math>\mathcal{G}</math> liegen.

Formalisiert lassen sich die drei Axiome notieren als:
# <math>\forall A,B\in \mathcal P \left( A\neq B \Rightarrow \exist! g\in \mathcal{G}: \; A\mathbf I g\land B\mathbf I g \right)</math>,
# <math>\forall g\in \mathcal G, A\in \mathcal P \left( {\neg} (A \mathbf I g) \Rightarrow \exist ! h\in \mathcal{G}:\; A\mathbf I h \land {\neg} \exist B\in \mathcal P\quad\left( B\mathbf I g \land B\mathbf I h\right)\right)</math>
# <math>\exist A,B,C \in \mathcal P: \neg \exist g\in \mathcal G: \left( A\mathbf I g \land B\mathbf I g \land C\mathbf I g\right)</math>.

=== Parallelität ===
Die Relation <math>g\parallel h</math> ('''Parallelität''') zwischen Geraden <math>g,h\in {\mathcal G}</math> wird definiert durch:
: <math> g\parallel h </math> genau dann, wenn <math>g=h</math> oder wenn <math>g</math> und <math> h</math> keinen Schnittpunkt gemeinsam haben.

Die nach dem 2. Axiom eindeutig bestimmte Gerade <math>h</math> die durch einen bestimmten Punkt <math>A\in \mathcal{P}</math> geht, wird als ''die Parallele zu <math>g</math> durch <math>A</math>'' bezeichnet und als <math>h=\left[A;\parallel g\right]</math> notiert.

Diese Relation ist eine [[Äquivalenzrelation]]. Die [[Äquivalenzklasse]] der zu einer Geraden <math>g</math> parallelen Geraden wird als ''Parallelenschar'' und auch als ''die Richtung von <math>g</math>'' bezeichnet.

=== Sprechweisen ===
* Die nach dem 1. Axiom eindeutig bestimmte Gerade <math>g</math>, auf der zwei verschiedene Punkte <math>A,B</math> liegen, wird als [[Verbindungsgerade]] der Punkte bezeichnet und als <math>AB</math>, manchmal auch als <math>A\vee B</math> notiert.
* Die Parallelenschar einer Geraden <math>g</math> wird als <math>[g]</math> notiert.
* Die durch eine Gerade <math>g</math> und einen beliebigen Punkt <math>A</math> eindeutig bestimmte Gerade <math>h\in [g]</math> wird als ''die'' Parallele zu <math>g</math> durch <math>A</math> bezeichnet und als <math> [A;\parallel g]</math> notiert.

Der herkömmliche Standpunkt, bei dem die Punktemenge <math>\mathcal P</math> und die Geradenmenge <math>\mathcal G</math> als zunächst unabhängige Mengen aufgefasst wurden, wird auch in der aktuelleren mathematischen Literatur noch öfter zugrunde gelegt. In diesem Zusammenhang wird dann die Menge der Punkte, die auf einer Geraden <math>g</math> liegen, als ''Punktmenge der Geraden'' bezeichnet und häufig als <math>g^{\circ}=\lbrace A\in\mathcal P | A\mathbf I g\rbrace</math> notiert.

Da eine Gerade aber durch die Inzidenzrelation <math>\mathbf I</math> vollständig bestimmt ist, wird sie auch oft mit dieser Punktmenge identifiziert, womit die Relation <math>\mathbf I</math> überflüssig ist. Die Axiome werden dann als Eigenschaften der Geradenmenge <math>\mathcal G</math>, die eine Teilmenge der [[Potenzmenge]] der Punktmenge <math>\mathcal P</math> ist, beschrieben, die Rolle der Inzidenzrelation übernimmt dann die Elementrelation: (<math>A\mathbf I g</math> genau dann, wenn <math> A\in g^\circ=g</math> ist).

=== Ordnung der affinen Ebene {{Anker|Ordnung}} ===
Die '''Ordnung''' einer affinen Ebene wird definiert als die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] der Punktmenge auf einer Geraden <math>g</math>. Der Begriff ist unabhängig von der Geraden <math>g</math>, weil alle Geraden einer affinen Ebene (als Punktmengen) gleichmächtig sind, da zwei verschiedene Geraden immer durch eine [[Bijektion|bijektive]] [[Parallelprojektion]] aufeinander abgebildet werden können.
Es gilt:
# Eine affine Ebene ist genau dann ''endlich,'' das heißt, sie enthält nur endlich viele Punkte, wenn ihre Ordnung endlich ist.
# Ist in diesem Fall <math>q</math> die Ordnung der Ebene, dann enthält sie <math>q^2</math> Punkte, <math>q\cdot (q+1)</math> Geraden, <math>q+1</math> Parallelenscharen und jede Parallelenschar enthält <math>q</math> Geraden.
# Enthält die affine Ebene [[Unendliche Menge|unendlich viele]] Punkte, dann ist sie als Punktmenge zur Punktmenge jeder ihrer Geraden und zu jeder ihrer Parallelenscharen gleichmächtig. Die Anzahl ihrer Geraden und ihrer Parallelenscharen hat ebenfalls die Mächtigkeit der Ebene. → Siehe [[Cantors erstes Diagonalargument]].
;projektive Ebenen
Jeder affinen Ebene lässt sich durch [[Projektiver Abschluss|projektives Abschließen]], das heißt durch Hinzufügen einer „uneigentlichen Geraden“ samt deren Punkten (als [[Fernelement]]e der affinen Ebene), eine bis auf Isomorphie eindeutige [[projektive Ebene]] zuordnen. Jede projektive Ebene kann so erzeugt werden. Man überträgt den Begriff der Ordnung auf den projektiven Abschluss: Die projektive Ebene hat die Ordnung einer beliebigen affinen Ebene, als deren projektiver Abschluss sie konstruiert werden kann. Diese affinen Ebenen müssen nicht isomorph sein, aber sie haben stets dieselbe Ordnung. Ist diese Ordnung gleich der endlichen Zahl <math>q\geq 2</math>, dann hat die projektive Ebene <math>q^2+q+1</math> Punkte und ebenso viele Geraden, auf jeder Geraden liegen genau <math>q+1</math> Punkte und durch jeden Punkt gehen genau <math>q+1</math> Geraden.

== Endliche Ebenen und offene Fragen ==
* Alle derzeit bekannten endlichen affinen Ebenen haben eine [[Primzahlpotenz]] als Ordnung und für jede Primzahlpotenz existieren affine Ebenen mit dieser Ordnung (Stand: 2013). Welche Zahlen als Ordnungen affiner Ebenen vorkommen ist ein ungelöstes Problem. Aus dem Satz von Bruck und Ryser ergibt sich eine Nichtexistenzaussage für Ebenen mit bestimmten Ordnungen: Z. B. sind die Zahlen 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, … nicht Ordnungen affiner Ebenen. Die Ordnung 10 konnte durch massiven Computereinsatz ausgeschlossen werden. 12 ist die kleinste Zahl, für die die Existenzfrage ungelöst ist.
* Ist jede affine Ebene von Primzahlordnung desarguessch? Das ist ein ungelöstes Problem.
* Ist die Ordnung jeder affinen Ebene eine Primzahlpotenz? Auch diese Frage ist noch nicht geklärt.

→ In der Regel konzentriert sich die Untersuchung endlicher Ebenen auf deren projektiven Abschluss, die endlichen [[projektive Ebene|projektiven Ebenen]]. Einen Überblick über die Zusammenhänge zwischen affinen Ebenen und deren projektivem Abschluss gibt der Artikel [[Ternärkörper]]. Beispiele für und Strukturaussagen über nichtdesarguessche projektive Ebenen finden sich im Artikel [[Klassifikation projektiver Ebenen]].

== Beispiele ==

[[Bild:4punktsmodell.svg|mini|Kleinstes Modell einer affinen Ebene]]
* Der zweidimensionale Vektorraum <math>\mathbb R^2</math> über den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]], wobei <math>\mathcal P=\mathbb R^2</math> gilt, <math>\mathcal G</math> alle eindimensionalen [[Affiner Unterraum|affinen Unterräume]] umfasst und die Inzidenzrelation durch die Enthaltensrelation <math>\in</math> gegeben ist.
* Ebenso der zweidimensionale Vektorraum <math>K^2</math> über einem beliebigen [[Körper (Algebra)|Körper]] (oder auch: [[Schiefkörper]]) <math>K</math>. Jede affine Ebene, in der der [[Satz von Desargues]] gilt, ist isomorph zu einer affinen Ebene <math>K^2</math> über einem Schiefkörper <math>K</math>. Gilt in dieser Ebene dazu noch der [[Satz von Pappos]] (auch „Satz von Pappus-Pascal“), so ist der Schiefkörper ein Körper (mit kommutativer Multiplikation).

Von besonderem Interesse haben sich die ''nichtdesarguesschen''
Ebenen erwiesen, in denen der [[Satz von Desargues]] nicht gilt. In ihnen hat man Koordinaten aus [[Ternärkörper]]n eingeführt, speziell aus ''Quasikörpern'' (auch ''Veblen-Wedderburn-Systeme'' genannt, mit nichtassoziativer Multiplikation) bzw. Fastkörpern (in denen von den beiden Distributivgesetzen nur eins gilt).

* Im Fall <math>K=\mathbb F_2</math> erhält man die kleinste affine Ebene. Sie besteht aus vier Punkten.

* Es gibt affine Ebenen mit endlich vielen, etwa ''n'' Punkten auf einer (und dann jeder) Geraden. Sie heißen von ''n''-ter Ordnung oder auch von der Ordnung ''n''. Zu jeder Primzahlpotenz ''q'' gibt es affine Ebenen der Ordnung ''q''. Ob es affine Ebenen gibt, deren Ordnung keine Primzahlpotenz ist, ist ein ungelöstes Problem. Ein Teilresultat ist gegeben durch den [[Satz von Bruck und Ryser]].

Dieser sagt folgendes aus: Lässt ''n'' bei Division durch 4 den Rest 1 oder 2 und ist ''n'' Ordnung einer affinen Ebene, so ist ''n'' Summe zweier Quadrate natürlicher Zahlen. Beispiele: 6 ist nicht Ordnung einer affinen Ebene. 10 ist nach dem Satz nicht ausgeschlossen.

Mit großem Computereinsatz wurde jedoch die Nichtexistenz einer affinen Ebene der Ordnung 10 gezeigt. Ungelöst ist die Existenzfrage z. B. für die Ordnungen 12, 15, 18, 20, 26, 34, 45, …, und ausgeschlossen ist die Existenz für ''n'' = 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, 46, …

* Die Abbildungen unten zeigen das Minimalmodell einer affinen Ebene (links) und seine projektive Erweiterung, das Minimalmodell einer projektiven Ebene.

{| class="wikitable"
|-
| style="width:400px;"|
[[Datei:AG 2 2.svg|hochkant=0.75]]
| style="width:400px;"|
[[Datei:AG 2 2 and PG 2 2.svg|hochkant=1.4]]
|-
|kleinstes Modell einer affinen Ebene (<math> AG(2,2) </math>)
|<math>AG(2,2)</math> wird zu <math>PG(2,2)</math>, der projektiven [[Fano-Ebene]], durch Hinzunahme einer Geraden {5,6,7} erweitert
|}

== Verallgemeinerungen ==
* Die affine Ebene ist der zweidimensionale Spezialfall einer [[affine Geometrie|affinen Geometrie]].
* Endliche affine Ebenen zählen zu den [[Netz (Diskrete Mathematik)|Netzen]]. Eine affine Ebene der Ordnung ''n'' ist ein <math>(n+1,n)</math>-Netz.
* Noch allgemeiner zählen die endlichen affinen Ebenen wie alle Netze zu den [[Blockplan|Blockplänen]] und damit zu den endlichen [[Inzidenzstruktur]]en. Eine affine Ebene der Ordnung ''n'' ist ein <math>2-(n^2,n,1)</math>-Blockplan. Als Inzidenzstruktur hat eine endliche affine Ebene den Typ <math>(2,1)</math>.

== Literatur ==
* [[Günter Pickert]]: ''Projektive Ebenen.'' 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1975, ISBN 3-540-07280-2.
* Olaf Tamschke: ''Projektive Geometrie I.'' 829/829a : BI-Hochschulskripten, 1968.
* Daniel R. Hughes, Fred C. Piper: ''Projective Planes.'' Springer, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-540-90044-6.
== Weblink ==
* Joachim Mohr: [https://kilchb.de/haehl1.php ''Der axiomatische Aufbau der affinen Ebenen, Translationsebenen, Desuargueschen Ebenen, präeuklidische Ebenen und euklidischen Ebenen.'']

[[Kategorie:Inzidenzstruktur]]
[[Kategorie:Endliche Geometrie]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]

Affine Ebene - Versionsgeschichte

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