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[[Datei:Balloon in Finland.jpg|mini|rechts]]

Die '''Aerostatik''' ist die Lehre von [[Gas]]en, die in einem ruhenden oder bewegten [[Bezugssystem]], in dem die Betrachtungen durchgeführt werden, in Ruhe sind.<ref name="durst" details="165">{{Literatur
| Autor=F. Durst
| Titel=Grundlagen der Strömungsmechanik
| Verlag=Springer
| Jahr=2006
| ISBN=3-540-31323-0}}</ref> Sie ist das Teilgebiet der [[Fluidstatik]], das die [[Kompressibilität|kompressiblen]], nicht-tropfbaren Fluide behandelt.<ref name="sigloch" details="4">{{Literatur
| Autor=H. Sigloch
| Titel=Technische Fluidmechanik
| Verlag=Springer Vieweg
| Ort=Berlin, Heidelberg
| Jahr=2014
| ISBN=978-3-642-54291-6
| DOI=10.1007/978-3-642-54292-3
| Seiten=31
| Online={{Google Buch| BuchID=GbAfBAAAQBAJ| Seite=37}}
| Abruf=2020-03-17}}</ref> Es wird die [[#Ideale Gasgleichung|Ideale Gasgleichung]] angenommen, die die Dichte als Funktion des Drucks und der Temperatur angibt, im Gegensatz zur [[Hydrostatik]], die eine näherungsweise konstante Dichte benutzt.<ref name="durst" details="197"/> Die Aerostatik beschäftigt sich mit der Dichteverteilung, vornehmlich in der [[Luft]] und [[Erdatmosphäre]], wo [[#Barometrische Höhenformeln]] von Interesse sind.<ref name="durst" details="199f"/><ref name="sigloch" details="45f"/><ref name="prandtl" details="27ff"/><ref name="spurk" details="165">{{Literatur
| Autor=J. H. Spurk
| Titel=Strömungslehre
| TitelErg=Einführung in die Theorie der Strömungen
| Verlag=Springer Verlag
| Ort=Heidelberg, Dordrecht, London, New York
| Auflage=8. überarbeitete Auflage
| Jahr=2010
| ISBN=978-3-642-13142-4
| DOI=10.1007/978-3-642-13143-1
| Online={{Google Buch |BuchID=VTimBwAAQBAJ |Seite=138}}
| Abruf=2022-03-25}}</ref>

== Gegenstand ==
=== Eigenschaften der Gase ===
{{Hauptartikel|Fluidstatik#Eigenschaften von Fluiden|Gas|Gasgemisch}}
Die in den Hauptartikeln beschriebenen Eigenschaften von Gasen werden hier ohne Anspruch auf Vollständigkeit aufgelistet.

Gase
* sind im ''gasförmigen [[Aggregatzustand]]'',
* füllen den zur Verfügung stehenden Raum vollständig aus,
* bilden Grenzflächen gegenüber [[Festkörper]]n und Flüssigkeiten aus, wobei Grenzflächen zu einer Flüssigkeit [[Freie Oberfläche (Strömungslehre)|freie Oberflächen]] genannt werden,
* besitzen keine [[Oberflächenspannung]] und sind dadurch, im Gegensatz zu Flüssigkeiten, nicht tropfbar,
* setzen einer [[Isochore Zustandsänderung|volumenerhaltenden]] [[Verformung|Formänderung]] so gut wie keinen Widerstand entgegen,
* haben im Vergleich zu [[Flüssigkeit]]en eine höhere [[Kompressibilität]]<ref name="sigloch" details="7"/> und geringere [[Dichte]] und
* können mit anderen Gasen homogene Gemische bilden, in denen jedes Gas einen seinem Anteil entsprechenden [[Partialdruck]] ausübt.

Ruhende Gase
* passen sich jeder Gefäßform an,
* sind im [[Hydrostatischer Spannungszustand|hydrostatischen Spannungszustand]], d. h. der Druck ist ein [[Skalar (Physik)|Skalar]], richtungsunabhängig und nur eine Funktion des Ortes,<ref name="sigloch" details="36"/>
* besitzen eine allenfalls ortsabhängige aber nicht zeitabhängige Dichte,<ref name="durst" details="165"/> die im homogenen [[Schwerefeld]] auf [[Niveaumenge|Niveauflächen]] des Drucks ([[Isobare]]n) konstant ist,<ref name="prandtl" details="22">{{Literatur
| Hrsg=H. Oertel
| Titel=Prandtl-Führer durch die Strömungslehre
| TitelErg=Grundlagen und Phänomene
| Auflage=13
| Verlag=Springer Vieweg
| Jahr=2012
| ISBN=978-3-8348-1918-5}}</ref>,
* haben eine allenfalls ortsabhängige aber nicht zeitabhängige Temperatur, die bei [[Ideales Gas|idealen]] oder sich (näherungsweise) ähnlich verhaltenden Gasen auf Isobaren konstant ist<ref name="spurk" details="164"/> und
* können nur dann eine stabile Schichtung aufweisen, wenn das Gas mit der geringeren Dichte über dem mit der größeren Dichte liegt<ref name="prandtl" details="23"/>, siehe [[#Stabile Atmosphärenschichtungen]].

=== Erdatmosphäre ===
{{Hauptartikel|Erdatmosphäre|Normatmosphäre}}
Durch [[Witterung]]seinflüsse schwanken die Temperatur und [[Luftfeuchtigkeit|Feuchtigkeit]] der Luft und damit auch ihre Dichte in der Erdatmosphäre sowohl örtlich als auch zeitlich unvorhersehbar. [[#Barometrische Höhenformeln]] liefern deshalb oft unbrauchbare Werte. Zu Vergleichszwecken und Berechnungen in der [[Ballistik]], [[Flugtechnik|Flug-]] und [[Raketentechnik]] wurde die Normatmosphäre in Tabellen oder Diagrammen niedergelegt.<ref name="sigloch" details="46"/>

== Gesetze der Aerostatik ==
Die Aerostatik setzt ruhende Luftmassen voraus, sodass in ihnen alle Luftströmungen, zumindest relativ zum gewählten Bezugssystem, zur Ruhe gekommen sind. Im [[Gleichgewicht (Systemtheorie)|Gleichgewicht]] bleibt die Luft in Ruhe und es können folgende Gesetzmäßigkeiten angewendet werden:
* das [[#Erstarrungsprinzip]],
* die [[#Grundgleichung der Aerostatik]],
* die [[#Ideale Gasgleichung]] und
* [[#Barotropie]].

=== Erstarrungsprinzip ===
{{Hauptartikel|Erstarrungsprinzip}}
Das Erstarrungsprinzip drückt die nützliche Tatsache aus, dass ein sich im [[Gleichgewicht (Systemtheorie)|Gleichgewicht]] befindendes Gas im Gleichgewicht bleibt, auch wenn Teilbereiche davon erstarren.<ref name="sigloch" details="31"/> Auf solchermaßen erstarrt gedachte Gasballen können dann Einzelkräfte aufgebracht werden, was ansonsten nicht ohne Weiteres denkbar ist.

=== Grundgleichung der Aerostatik ===
Das [[Fluidstatik#Fluidstatisches Grundgesetz|aerostatische Grundgesetz in differentieller Form]] drückt die Erfahrungstatsache aus, dass der Atmosphärendruck mit der Höhe abnimmt:

:<math>\frac{\mathrm d p}{\mathrm d h}=-\rho g
\quad\leftrightarrow\quad
\frac{\mathrm d p}\rho=-g\,\mathrm d h
</math>

Die Änderung des Drucks d''p'' bei einer kleinen Höhenänderung d''h'' ist proportional zur [[Dichte]] ''ρ'' und [[Schwerebeschleunigung]] ''g''. Wie das negative [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zeigt, ist d''p'' negativ, wenn d''h'' positiv ist. Der Druck nimmt mit zunehmender Höhe ab, und das, weil das Gewicht der darüber liegenden Luftsäule abnimmt. In der letzten, rechten Gleichung stehen auf der linken Seite druckabhängige und auf der rechten Seite nur höhenabhängige Größen, was eine [[Trennung der Variablen]] bedeutet.

Ist das Koordinatensystem nicht parallel zur (resultierenden) Beschleunigung ''g'' ausgerichtet, dann kann die Grundgleichung in jeder Koordinatenrichtung ''x''j aufgeschrieben werden<ref name="durst" details="166"/>

:<math>\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial x_j}=g_j</math>

und das zu einer koordinatenunabhängigen [[Vektor]]gleichung<ref name="spurk" details="164"/>

:<math>\frac1\rho\nabla p=\vec k+\vec k_f</math>

zusammengefasst werden, siehe [[Fluidstatik#Allgemeine fluidstatische Grundgleichung]]. In der Formel ist noch die [[Führungskraft (Technische Mechanik)|Führungskraft]] <math>\rho\vec k_f</math> aufgenommen, die als Scheinkraft in [[Beschleunigtes Bezugssystem|beschleunigten Bezugssystemen]] auftritt; in [[Inertialsystem]]en ist die Führungskraft null.

Bei großen Höhendifferenzen oder hoher geforderter Präzision kann die [[Schwerebeschleunigung]] nicht mehr als konstant gelten, sondern nimmt mit der Höhe ab:<ref name="durst" details="200"/>

:<math>g(h)=\frac{g_0}{\left(1+\frac{h}{R}\right)^2}</math>{{Anker|höhenabhängige Erdbeschleunigung}}

siehe [[Newtonsches Gravitationsgesetz#Gravitationsbeschleunigung]]. Hier ist ''R'' der [[Erdradius]] und ''g''0 die Schwerebeschleunigung bei ''h''=0.

=== Ideale Gasgleichung ===
{{Hauptartikel|Thermische Zustandsgleichung idealer Gase}}
In der Aerostatik wird meistens ein [[ideales Gas]] betrachtet, das ein [[Idealisierung (Physik)|idealisiertes Modell]] für [[Reales Gas|reale Gase]] darstellt. Ein reales Gas verhält sich dann wie ein ideales, wenn sein Druck klein gegenüber dem kritischen Druck oder seine Temperatur groß gegenüber der kritischen Temperatur ist, die am [[Kritischer Punkt (Thermodynamik)|kritischen Punkt]] vorliegen. Die leichten [[Edelgase]] und [[Wasserstoff]] kommen diesem Zustand am nächsten. In Luft liegt der kritische Punkt bei −141,65 °C und 36,6 [[Bar (Einheit)|bar]], weswegen die thermische Zustandsgleichung idealer Gase auf der Erde in guter Näherung gilt. Es lautet:

:<math>\rho=\frac{p}{R_s\cdot T}</math>

mit
{|
|- style="vertical-align: top;"
|''ρ'' ||–
| [[Dichte]]. Unter [[Normbedingungen]] hat Luft die Dichte 1,2922 [[Kilogramm|kg]]/[[Meter|m]]3
|-
| ''p'' ||–|| [[Druck (Physik)|Druck]]
|- style="vertical-align: top;"
| ''Rs'' ||–
| [[Spezifische Gaskonstante|individuelle oder spezifische Gaskonstante]]. In Luft ist ''Rs''=287,058 [[Joule|J]]/([[Kilogramm|kg]]·[[Kelvin|K]])
|-
| ''T'' ||–|| [[absolute Temperatur]]
|}

Aus den thermischen und kalorischen [[Zustandsgleichung]]en ergibt sich mit den [[spezifische Wärmekapazität#Wärmekapazität idealer Gase|spezifischen Wärmekapazitäten]] ''cp,v'' bei konstantem Druck bzw. Volumen aus ''cp=cv+Rs'' und dem [[Isentropenexponent]] ''κ=cp/cv'' der Zusammenhang

:<math>c_p=\frac{\kappa}{\kappa-1} R_s</math>

=== Barotropie ===
{{Hauptartikel|Barotropie#Barotropie in der Fluidmechanik}}
Die Aufstellung von mathematischen Formeln gelingt nur mit [[Idealisierung (Physik)|Idealisierungen]]. Eine wichtige solche Annahme ist, dass das Gas ''barotrop'' ist, d. h. die Dichte eine Funktion allein des Drucks ist. {{Anker|Druckfunktion}}Dann gibt es eine ''Druckfunktion P'' mit der Eigenschaft

:<math>P:=\int\frac{\mathrm{d}p}{\rho(p)}
\quad\Leftrightarrow\quad
\mathrm{d}P=\frac{\mathrm{d}p}{\rho}
\quad\Leftrightarrow\quad
\nabla P=\frac1{\rho}\nabla p
</math>

Barotropie kann unter folgenden Bedingungen angenommen werden:<ref name="spurk" details="118"/>
* Wenn die Temperatur ''T'' überall gleich ist, also die Gesetze der [[isotherm]]en Zustandsänderung gelten. Hier ist
::<math>P=R_s T\ln\left(\frac{p}{p_0}\right)</math>
:Darin bildet ln den [[Natürlicher Logarithmus|natürlichen Logarithmus]] und die mit Null indizierten Größen beziehen sich auf einen Bezugspunkt im Gas.
* Wenn die [[Entropie]] überall gleich ist, also die Gesetze der [[isentrop]]en Zustandsänderung gelten. Dann ist
::<math>
P=\frac{\kappa}{\kappa-1}\frac{p_0}{\rho_0}\left[\left(\frac{p}{p_0}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}-1\right]
</math>
: Hier ist ''κ'' der [[Isentropenexponent]] (in Luft ≈1,4).
* Wenn das Gas im betrachteten Fall näherungsweise [[Inkompressibilität|inkompressibel]] ist, wie es zum Beispiel in der [[#Gaszentrifuge]] möglich ist. Dann ist
::<math>P=\frac{p-p_0}{\rho_0}</math>

In diesen Fällen sind die [[Isobare]]n auch [[Isotherme]]n und [[Isopykne]]n des idealen Gases, siehe [[Fluidstatik#Dichte in ruhenden Fluiden]]. Die [[#Grundgleichung der Aerostatik]] liefert mittels [[Trennung der Variablen]] die Grundgleichung für das barotrope ideale Gas:

:<math>\frac{\mathrm d p}{\rho(p)}=-g\mathrm d h
\;\rightarrow\quad
\int_{p_0}^p\frac{\mathrm d p'}{\rho(p')}=-g\int_{h_0}^h\mathrm d h'
\;\rightarrow\quad
P=-g(h-h_0):=-g\Delta h
</math>{{Anker|Grundgleichung}}

wo Δ''h'' für die Höhendifferenz ''h−h''0 steht. Als Bezugspunkt (Index Null) sind die [[Standardbedingungen]] und die [[Normatmosphäre]] geeignet.

Die [[#höhenabhängige Erdbeschleunigung]] ergibt die Grundgleichung

:<math>
P=\int_0^h-g(h')\mathrm d h'=-\frac{g_0h}{1+\frac hR}
\approx -g_0h\left(1-\frac hR\right)</math>

Hier ist der Bezugspunkt bei ''h''=0. Die letzte Formel ist die in der [[Erdatmosphäre]] probate Näherung für ''h≪R''. Mit [[Normalschwereformel]]n kann im Faktor ''g''0 der [[Breitengrad]] und die [[Erdrotation]] berücksichtigt werden. Diese Schwerkraftkorrektur kann in barometrischen Höhenformeln ''p=p(h)'' berücksichtigt werden, indem die [[geographische Höhe]] ''h'' durch die [[dynamische Höhe|dynamische]] oder [[geopotenzielle Höhe]]

:<math>h_p=\frac{h}{1+\frac hR}=\frac{Rh}{R+h}
\approx h\left(1-\frac hR\right)=\frac{h(R-h)}R
</math>{{Anker|geopotenziellen Höhe}}

ersetzt wird: ''p(h) ↦ p(hp)'', wie beispielsweise in der [[Normatmosphäre#US-Standardatmosphäre 1976]]. Die mit dieser Höhe gefundenen [[Isobare]]n heißen in der Meteorologie [[Hauptdruckfläche]]n, die bei Berücksichtigung der Erdrotation selbst bei kugelförmig gedachter Erde nicht mehr kugelförmig sind.

== Anwendungen ==

=== Barometrische Höhenformeln ===
Die barometrischen Höhenformeln geben den Druck als Funktion der Höhe an. Der Druck ist nach dem [[Fluidstatik#Grundgleichung der Fluidstatik|Pascal’schen Gesetz]] Ergebnis des Gewichts der Luftsäule, die auf dem betrachteten Ort lastet. Die Luftdichte verändert sich mit der [[Luftfeuchte]], der Temperatur ([[Witterung]]) und dem Druck in komplizierter Weise, womit auch das Gewicht der Luftsäule nicht einfach zu berechnen ist. Für die Ermittlung des höhenabhängigen Drucks muss auf Messwerte oder Näherungen zurückgegriffen werden.<ref name="sigloch" details="45"/> Eine gebräuchliche Näherung ist die [[#Barotropie]], die in isothermer oder isentroper Atmosphäre vorliegt.

==== Isotherme Atmosphäre mit konstanter Temperatur ====
In der isothermen Atmosphäre ist die Temperatur überall gleich, was eine probate Annahme bei geringen Höhenunterschieden wie auch bei Gasen in Behältern ist. Die [[#Druckfunktion]] ''P'' für die isotherme Atmosphäre und die [[#Grundgleichung]] ''P=-gΔh'' ergeben bei konstanter [[Schwerebeschleunigung]] ''g'':<ref name="sigloch" details="45"/><ref name="prandtl" details="28"/><ref name="spurk" details="165"/>

:<math>R_s T\ln\left(\frac{p}{p_0}\right)=-g\Delta h
\;\rightarrow\quad
p(h)=p_0e^{-\frac{g\Delta h}{R_s T}}
</math>

Mit der [[Skalenhöhe]] <math>h_s:=\tfrac{R_sT}{g}</math> schreibt sich die Höhenformel:

:<math>p(h)=p_0\mathrm{e}^{-\frac{\Delta h}{h_s}}</math>

Für die Dichte eines [[isotherm]]en idealen Gases gilt

:<math>\frac\rho{\rho_0}=\frac p{p_0}=e^{-\frac{\Delta h}{h_s}}
\;\rightarrow\quad \rho=\rho_0\mathrm{e}^{-\frac{\Delta h}{h_s}}
</math>

mit der Referenzdichte <math>\rho_0=\tfrac{p_0}{gh_s}=\tfrac{p_0}{R_s\cdot T}</math>, siehe [[#Ideale Gasgleichung]].

Schwerkraftkorrekturen können in einfacher Weise mit der [[#geopotenziellen Höhe]] eingebracht werden.

==== Adiabatische Atmosphäre mit linearem Temperaturverlauf ====
In der [[isentrop]]en oder [[adiabat]]ischen Atmosphäre ist die [[Entropie]] überall gleich, was bei ruhender Atmosphäre im thermischen Gleichgewicht (ohne Wärmeflüsse) eine probate Annahme ist. Die [[#Druckfunktion]] ''P'' für die adiabatische Atmosphäre und die [[#Grundgleichung]] ''P=-gΔh'' ergibt bei konstanter [[Schwerebeschleunigung]] ''g'':<ref name="spurk" details="165"/><ref name="sigloch" details="45"/><ref name="spurk"/>

:<math>
P=\frac{\kappa}{\kappa-1}\frac{p_0}{\rho_0}\left[\left(\frac{p}{p_0}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}-1\right]=-g\Delta h
\;\rightarrow\quad
p(h)=p_0\left(1-\frac{\kappa-1}\kappa\frac{\rho_0g}{p_0}\Delta h\right)^{
\frac\kappa{\kappa-1}}
</math>

Aus den [[Adiabatische Zustandsänderung#Adiabaten des idealen Gases|Adiabaten des idealen Gases]] ergibt sich die Dichte aus den Volumina ''V'', die bei konstanter Masse umgekehrt proportional zur Dichte sind:

:<math>
\frac{p}{p_0}=\left(\frac{V_0}{V}\right)^\kappa
=\left(\frac\rho{\rho_0}\right)^\kappa
\;\rightarrow\quad
\rho(h)=\rho_0\left(1-\frac{\kappa-1}\kappa\frac{\rho_0g}{p_0}\Delta h
\right)^{\frac1{\kappa-1}}
</math>

Die Temperatur nimmt im Vergleich zur Bezugstemperatur <math>T_0=\tfrac{p_0}{R_s\cdot\rho_0}</math> ([[#Ideale Gasgleichung]]) linear mit der Höhe ab:

:<math>
\frac T{T_0}=\left(\frac{p}{p_0}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}
\;\rightarrow\quad
T(h)=T_0-\frac{\kappa-1}{\kappa}\frac{g}{R_s}\Delta h
=T_0-\frac{g}{c_p}\Delta h
</math>

mit der [[Spezifische Wärmekapazität#Wärmekapazität idealer Gase|spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Druck]] <math>c_p=\tfrac{\kappa R_s}{\kappa-1}</math>. In trockener Luft ist ''g/cp'' ≈ 1 [[Grad Celsius|°C]]/100[[Meter|m]], sodass in ruhender adiabatischer Erdatmosphäre aus trockener Luft die Temperatur um etwa ein Grad auf 100 Meter Höhendifferenz abnimmt.

Schwerkraftkorrekturen können in einfacher Weise mit der [[#geopotenziellen Höhe]] eingebracht werden.

==== Babinets barometrische Höhenformel ====
Von [[Jacques Babinet]] stammt eine bis 2000 [[Meter|m]] Höhe geeignete Formel zur einfachen Berechnung von Höhen aus gemessenen Drücken und Temperaturen:<ref>{{Literatur
| Autor=Oskar Kende
| Titel=Geographisches Wörterbuch
| TitelErg=Allgemeine Erdkunde
| Verlag=Springer Fachmedien
| Ort=Wiesbaden
| Jahr=1928
| ISBN=978-3-663-15415-0
| DOI=10.1007/978-3-663-15986-5
| Seiten=19
| Online={{Google Buch|BuchID=epGnDwAAQBAJ|Seite=19}}
| Abruf=2022-04-14}}</ref>

:<math>h=16010\cdot\big(1+0{,}002(\theta_0+\theta_h)\big)
\frac{p_0-p_h}{p_0+p_h}</math>

wo ''θ'' die Temperatur in [[Grad Celsius]] ist und die Höhe ''h'' im [[Meter]]n herauskommt. Die Indizes verweisen auf den Ort der Messung: Null für die untere und ''h'' für die obere Station.

Der Formel liegen die [[#Ideale Gasgleichung]] <math>\rho=\tfrac p{R_s T}</math> und die Annahmen

:<math>p\approx\frac{p_0+p_h}2=\text{konst.}\,,\;
T\approx\frac{T_0+T_h}2=\text{konst.}\,,\;
g=\text{konst.}</math>

zugrunde.<ref name="durst" details="201"/> Das wird in die [[#Grundgleichung der Aerostatik]] eingesetzt

:<math>\mathrm dp=-\rho g\,\mathrm dh=-\frac{gp}{R_s T}\,\mathrm dh
\;\rightarrow\quad
\int_{p_0}^{p_h}\frac{2\,\mathrm dp}{p_0+p_h}
=-\int_0^h \frac{2g\,\mathrm dh}{R_s(T_0+T_h)}
</math>

und integriert

:<math>\frac{p_h-p_0}{p_0+p_h}=-\frac{gh}{R_s(T_0+T_h)}
\;\rightarrow\quad
h=\frac{R_s}g(T_0+T_h)\frac{p_0-p_h}{p_0+p_h}
</math>

Mit der Umrechnung von [[Kelvin]] in Grad (°) Celsius ''T''=273,15°+''θ'' entsteht

:<math>h=\frac{R_s}{g}(546{,}3^\circ+\theta_0+\theta_h)\frac{p_0-p_h}{p_0+p_h}
=\frac{546{,}3^\circ\cdot R_s}{g}
\left(1+\frac1{546{,}3^\circ}(\theta_0+\theta_h)\right)
\frac{p_0-p_h}{p_0+p_h}
</math>

was in etwa obiger Formel entspricht.

=== Stabile Atmosphärenschichtungen ===
Ein Gas kann sich im [[Mechanisches Gleichgewicht|mechanischen Gleichgewicht]] befinden, ohne dass es dabei im thermischen Gleichgewicht ist, d. h. [[Wärmefluss]] stattfindet. Wenn dabei auch kein mechanisches Gleichgewicht vorliegt, wird bei kleinsten Störungen eine [[Konvektion (Wärmeübertragung)|konvektive Temperaturausgleichsströmung]] eintreten. Die Stabilitätsbedingung für das mechanische Gleichgewicht ist auch die Bedingung für das Ausbleiben von Konvektion.<ref name="durst" details="206"/>

In einer stabilen Atmosphärenschichtung wird die [[Dichte]] mit der Höhe geringer, siehe [[Fluidstatik#Dichte in ruhenden Fluiden]]. Die Schichtung ist aber nur dann stabil, wenn die Dichte wenigstens so stark wie in der [[homentrop]]en Dichteschichtung abnimmt, wie sie die [[#Adiabatische Atmosphäre mit linearem Temperaturverlauf]] aufweist. Dort ist

:<math>
T(h)=T_0-\frac{\kappa-1}{\kappa}\frac{g}{R_s}\Delta h
\;\rightarrow\quad
\frac{\partial T}{\partial h}=-\frac{\kappa-1}{\kappa}\frac{g}{R_s}=-\frac{g}{c_p}
</math>

mit
{|
| ''T''||–||Temperatur
|-
| ''h''||–||Höhe und
|-
| ''∂T/∂h'' ||–||Temperaturänderung mit der Höhe,
|-
| ''κ'' ||–||[[Isentropenexponent]], in Luft ist ''κ''≈1,4.
|- style="vertical-align: top;"
| ''Rs'' ||–
|[[spezifische Gaskonstante]], in Luft ist ''Rs''=287,058 [[Joule|J]]/([[Kilogramm|kg]]·[[Kelvin|K]])
|-
| ''g''||–||[[Schwerebeschleunigung]] und
|- style="vertical-align: top;"
| ''cp''||–
|[[spezifische Wärmekapazität#Wärmekapazität idealer Gase|spezifische Wärmekapazität]] bei konstantem Druck, in Luft ist ''cp=1004,7 J/(kg·K)''
|}

Die Schichtung ist mechanisch instabil, wenn die Temperatur stärker abnimmt, und sie ist stabil, wenn die Temperatur schwächer abnimmt, d. h.

:<math>\frac{\partial T}{\partial h}>-\frac{g}{c_p}</math>   bedeutet mechanische Stabilität.<ref name="durst" details="206"/><ref name="spurk" details="166"/>

In trockner Luft bedeutet <math>\tfrac{\partial T}{\partial h}>-1\mathrm{\tfrac{^\circ C}{100\,m}}</math> mechanische Stabilität.

Denn steigt ein Gasballen etwas auf, gerät er in ein Gebiet geringeren Drucks und dehnt sich entsprechend aus. Wenn dies ohne Wärmeübertragung, d. h. [[adiabat]] erfolgt, verringert sich seine Dichte gerade so, wie es die [[#Adiabatische Atmosphäre mit linearem Temperaturverlauf]] zeigt. In ihr herrscht [[indifferentes Gleichgewicht]] mit mechanisch neutraler Schichtung. Temperatur und Dichte verhalten sich [[Reziproke Proportionalität|reziprok]] zueinander. Wenn die Dichte mit der Höhe stärker abnimmt als in der adiabaten Atmosphäre, bedeutet das mechanische Stabilität und dass die Temperatur mit der Höhe weniger stark abnimmt als in der adiabaten Atmosphäre, und umgekehrt.<ref name="spurk" details="166"/>

Die Gasschichtung ist mechanisch besonders stabil, wenn die Temperatur mit der Höhe steigt, was in der Meteorologie [[Inversionswetterlage]] genannt wird.

=== Aerostatischer Auftrieb ===
{{Siehe auch|Statischer Auftrieb|Archimedisches Prinzip}}
Ein im [[Schwerefeld]] von einem Gas umgebener Körper verdrängt das Gas. Entfernt man gedanklich den Körper und ersetzt ihn mittels des [[#Erstarrungsprinzip]]s durch ein schwereloses starres Volumen, dann erfährt dieses durch das umgebende Gas eine Auftriebskraft. Je nachdem diese größer, gleich oder kleiner ist wie die [[Gewichtskraft]] des Körpers, wird dieser aufsteigen, die Höhe halten oder absinken. Für die Berechnung der Auftriebskraft muss bei großen Körpern die mit der Höhe variierende Dichte berücksichtigt werden.<ref name="durst" details="203f"/>

Jedenfalls nimmt die Dichte der Luft mit der Höhe ab, sodass ein Körper mit konstantem Volumen und Gewicht nicht beliebig weit aufsteigt, sondern nur bis zu der Höhe, in der die Luftdichte gerade noch groß genug ist, ihn zu tragen.

=== Gaszentrifuge ===
Wenn ein mit Gas gefüllter Behälter wie in einer [[Gaszentrifuge]] in gleichmäßige Rotation versetzt wird, dann teilt sich die Bewegung über die [[Haftbedingung]] und die in realen Gasen immer vorhandene [[Viskosität]] dem gesamten Gasvolumen mit. Nach hinreichend langer Zeit rotiert das Gas mit dem Behälter, d. h. es ruht im rotierenden Behälter, sodass die [[#Gesetze der Aerostatik]] angewendet werden können.

Auf die Gasteilchen wirken im mit der [[Winkelgeschwindigkeit]] ''ω'' rotierenden Bezugssystem die [[Zentrifugalkraft]] in radialer r-Richtung und die [[Schwerkraft]] entgegen der nach oben weisenden vertikalen z-Richtung, siehe [[Hydrostatik#Gleichmäßig rotierende Flüssigkeit]]. Für die [[#Druckfunktion]] ergibt sich:

{|
|radial:
|<math>\frac{\partial p}{\partial r}=\rho\omega^2 r</math>
|  →  
|<math>\frac{\partial p}\rho=\omega^2r\,\mathrm dr</math>
|  →  
|<math>P=\frac{\omega^2}2 r^2+C_r(h)</math>
|-
|vertikal:
|<math>\frac{\partial p}{\partial h}=-\rho g</math>
|  →  
|<math>\frac{\partial p}\rho=-g\,\mathrm dh</math>
|  →  
|<math>P=-gh+C_h(r)</math>
|}

Die [[Integrationskonstante]]n <math>C_r(h),\,C_h(r)</math> sind hier Funktionen, die sich aus dem [[Koeffizientenvergleich]] ergeben, mit dem Ergebnis:

:<math>P=\frac{\omega^2}2 r^2-gh+C</math>

wo ''C'' die den Funktionen ''Cr,h'' gemeinsame Konstante ist. Das isotherme ideale Gas besitzt die [[#Druckfunktion]] <math>P=R_sT\ln\left(\tfrac p{p_0}\right)</math> mit der Konsequenz<ref name="durst" details="203"/>

:<math>R_sT\ln\left(\tfrac p{p_0}\right)=\frac{\omega^2}2 r^2-gh+C
\;\rightarrow\quad
p=p_0 e^{\frac{\omega^2 r^2-2gh}{2R_sT}}
</math>

wo der Faktor ''[[e-Funktion|e{{Bruch|C|(RsT)}}]]'' dem Druck ''p''0 zugeschlagen wurde, der bei ''r=h=0'' herrscht und dort gemessen werden kann. Die Dichte hängt über die [[#Ideale Gasgleichung]] <math>\rho=\tfrac{p}{R_s\cdot T}</math> mit dem Druck und der Temperatur zusammen. Auf den Behälterwänden lastet der Druck gemäß der Tabelle.

{| class="wikitable"
!Rand!!Druck
|-
|Boden bei ''h''=0||<math>p=p_0 e^{\frac{\omega^2 r^2}{2R_sT}}</math>
|-
|Wand bei ''r=R''||<math>p=p_0 e^{\frac{\omega^2 R^2-2gh}{2R_sT}}</math>
|-
|Deckel bei ''h=H''||<math>p=p_0e^{\frac{\omega^2r^2-2gH}{2R_sT}}</math>
|}

Wo im Behälter <math>\tfrac{\omega^2 r^2-2gh}{2R_sT}\ll 1</math> ist, kann die Näherung ex≈1+x angewendet werden:

:<math>p=p_0 e^{\frac{\omega^2 r^2-2gh}{2R_sT}}
\approx p_0\left(1+\frac{\omega^2 r^2-2gh}{2R_sT}\right)
=p_0+\frac{\rho_0}2\omega^2 r^2-\rho_0gh
</math>

was sich auch bei [[Inkompressibilität]] mit der [[#Druckfunktion]] ''P=(p−p0)/ρ'' ergibt. Die rechte Gleichung lässt sich daher auf eine rotierende Flüssigkeit übertragen.

== Siehe auch ==
* [[Kinetische Gastheorie]]
* [[Ballon]]s, [[Prallluftschiff|Blimps]] und [[Luftschiff]]e, die im [[Englische Sprache|englischen Sprachraum]] als ''Aerostaten'' bezeichnet werden.
* Zur Luftdruckmessung siehe [[Barometer]], [[Barometrische Höhenmessung in der Luftfahrt]]

== Einzelnachweise ==
<references/>

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[[Kategorie:Aerostatik| ]]
[[Kategorie:Luftfahrttechnik]]
[[Kategorie:Gasballone]]

Aerostatik - Versionsgeschichte

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