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2022-08-02T10:00:55Z

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Unter '''Adjunktion''' versteht man im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Algebra]] das Hinzufügen von weiteren Elementen zu einem [[Körper (Algebra)|Körper]] oder [[Ring (Algebra)|Ring]]. Bei Körpern spricht man speziell von der '''Körperadjunktion''' und bei Ringen entsprechend von der '''Ringadjunktion'''.

== Adjunktion algebraischer Elemente zu einem Körper ==
Es sei <math>K</math> ein Körper und <math>f\in K[X]</math> ein [[irreduzibles Polynom]]. Dann ist der [[Faktorring]]
:<math>L=K[X]/(f)</math>
nach dem von <math>f</math> erzeugten [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] ein Körper.

Das Polynom <math>f</math> hat in <math>L</math> eine Nullstelle, nämlich das Bild <math>\xi := X + (f)</math> von <math>X</math>. Man sagt deshalb: <math>L</math> entsteht aus <math>K</math> durch ''Adjunktion'' einer Nullstelle <math>\xi</math> von <math>f</math>, und schreibt <math>K(\xi)=L</math>.

Häufig ist <math>f</math> nur implizit in der Notation enthalten, zum Beispiel ist bei <math>\mathbb Q(\sqrt 2)</math> das Polynom <math>f=X^2-2</math> gemeint. Normiert man den Leitkoeffizienten von <math>f</math> auf <math>1</math>, so ist <math>f</math> durch die Bedingung der Irreduzibilität eindeutig bestimmt.
Es findet sich für diesen Fall eine explizite Darstellung des Körpers: <math>\mathbb Q(\sqrt 2)= \{a + b\cdot \sqrt 2 | a,b \in \mathbb Q \}</math>

Ist der [[Polynom|Grad]] von <math>f</math> gleich <math>n</math>, so lassen sich die Elemente von <math>K(\xi)</math> eindeutig in der Form
:<math>a_{n-1}\xi^{n-1}+\ldots+a_1\xi+a_0</math> mit <math>a_i\in K</math> für <math>i = 0,1,\ldots,n-1</math>
schreiben.

Der [[Körpererweiterung|Grad]] <math>[K(\xi):K]</math> der Körpererweiterung ist gleich <math>n</math>.

== Adjunktion transzendenter Elemente zu einem Körper ==
Möchte man einen Körper <math>K</math> um ein Element erweitern, das nicht algebraisch sein soll, spricht man von der Adjunktion einer Unbestimmten oder eines transzendenten Elementes <math>T</math>. Der so entstehende Körper <math>K(T)</math> ist definiert als der [[Quotientenkörper]] des [[Polynomring]]es <math>K[T]</math>. Seine Elemente sind formale rationale Funktionen
:<math>\frac{a_nT^n+\ldots+a_1T+a_0}{b_mT^m+\ldots+b_1T+b_0}.</math>

== Ringadjunktion ==
Liegt an Stelle eines Körpers allgemeiner ein kommutativer unitärer Ring <math>R</math> vor, so spricht man auch von Erweiterung durch Adjunktion. Die Erweiterungen sind von der Form <math>R[X]/(f)</math> mit einer Unbestimmten <math>X</math> und einem Polynom <math>f\in R[X]</math>. Dabei hängt das Verhalten einer derartigen Erweiterung entscheidend davon ab, ob der Leitkoeffizient von <math>f</math> eine [[Einheit (Mathematik)|Einheit]] des Ringes ist oder nicht, ''siehe'' [[Ganzes Element]].

Beim Übergang von einem Ring <math>R</math> zum Polynomring <math>R[X]</math> spricht man von der Adjunktion einer Unbestimmten.

=== Beispiele ===
* <math>\mathbb Z\!\left[\frac12\right]=\mathbb Z[X]/(2X-1)</math>, der Ring der rationalen Zahlen, deren Nenner eine Zweierpotenz ist.
* <math>\mathbb Z[\sqrt 2]=\mathbb Z[X]/(X^2-2)</math>, der Ring der Elemente von <math>\mathbb Q(\sqrt2)</math>, die die Form
::<math>\{a+b\sqrt 2\mid a,b\in\mathbb Z\}</math>
:haben.
* <math>\mathbb Z[X]/(X^n - 1)</math>; Ringhomomorphismen von diesem Ring in einen Ring <math>R</math> entsprechen den <math>n</math>-ten [[Einheitswurzel]]n in <math>R</math>.

== Siehe auch ==
* [[Adjunktion (Einselement)]]

[[Kategorie:Körpertheorie]]
[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]

Adjunktion (Algebra) - Versionsgeschichte

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