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2026-02-03T16:37:00Z

Berechnung der Inversen einer Matrix

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Die '''Adjunkte''', '''klassische Adjungierte''' (nicht zu verwechseln mit der echten [[Adjungierte Matrix|adjungierten Matrix]]) oder '''komplementäre Matrix''' einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]]. Man bezeichnet damit die Transponierte der [[Kofaktormatrix]], also die Transponierte jener Matrix, deren Einträge die vorzeichenbehafteten [[Minor (Mathematik)|Minoren]] (Unter[[Determinante|determinanten]]) sind.

Mit Hilfe der Adjunkten kann man die [[Inverse Matrix|Inverse]] einer [[reguläre Matrix|regulären]] quadratischen Matrix berechnen.

== Definition ==
Die Adjunkte <math>\operatorname{adj}(A)</math> einer quadratischen Matrix <math>A \in K^{n \times n}</math> mit Einträgen aus einem [[Körper (Algebra)|Körper]] (oder allgemeiner aus einem [[Kommutativer Ring|kommutativen Ring]]) <math>K</math> ist definiert als

:<math>\operatorname{adj}(A) = \operatorname{Cof}(A)^\mathsf{T} = \tilde A^\mathsf{T} =
\begin{pmatrix}
\tilde a_{11} & \tilde a_{12} & \cdots & \tilde a_{1n}\\
\tilde a_{21} & \tilde a_{22} & & \tilde a_{2n}\\
\vdots & & \ddots & \vdots\\
\tilde a_{n1} & \tilde a_{n2} & \cdots & \tilde a_{nn}\end{pmatrix}^\mathsf{T}
=
\begin{pmatrix}
\tilde a_{11} & \tilde a_{21} & \cdots & \tilde a_{n1}\\
\tilde a_{12} & \tilde a_{22} & & \tilde a_{n2}\\
\vdots & & \ddots & \vdots\\
\tilde a_{1n} & \tilde a_{2n} & \cdots & \tilde a_{nn}\end{pmatrix}</math>.
Es ist hierbei zu beachten, dass an der Stelle <math>(j,i)</math> der Kofaktor <math>\tilde a_{ij}</math> steht. Die Kofaktoren <math>\tilde a_{ij}</math> berechnen sich zu
:<math>\tilde a_{ij} = (-1)^{i+j}\cdot M_{ij} = (-1)^{i+j}\cdot \det \begin{pmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\
a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n}\end{pmatrix}</math>.

Die Minoren <math>M_{ij}</math> sind also die Werte der Unter[[Determinante|determinanten]] der Matrix <math>A</math>, die durch Streichen der <math>i</math>-ten Zeile und der <math>j</math>-ten Spalte entstehen.

Da die Adjunkte in heutigen Lehrbüchern selten auftaucht und in älteren Werken die Notation nicht immer eindeutig ist, ist Vorsicht geboten. Oft wird dieselbe Notation für die Adjunkte und die [[Adjungierte Matrix|Adjungierte]] (also bei reellen Matrizen deren [[Transponierte Matrix|Transponierte]], bei komplexen Matrizen deren [[Konjugierte Matrix|konjugiert]]-transponierte) verwendet.

== Beispiele ==
=== (2 × 2)-Matrix ===
Eine beliebige <math>2 \times 2</math>-Matrix hat die Form
:<math>A = \begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{pmatrix}</math>
Die Adjunkte zu dieser Matrix ist
:<math>\operatorname{adj} (A) = \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-c}}\\ {{-b}} & {{a}} \end{pmatrix} ^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix}</math>

=== (3 × 3)-Matrix ===
Eine beliebige <math>3 \times 3</math>-Matrix hat die Form
:<math>A = \begin{pmatrix}a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i\end{pmatrix}</math>
Die Adjunkte zu dieser Matrix ist
:<math>\begin{align}
\operatorname{adj} (A)
& =
\begin{pmatrix}
\quad\det\begin{pmatrix}e & f\\ h & i\end{pmatrix} &
- \det\begin{pmatrix}d & f\\ g & i\end{pmatrix} &
\quad\det\begin{pmatrix}d & e\\ g & h\end{pmatrix} \\
- \det\begin{pmatrix}b & c\\ h & i\end{pmatrix} &
\quad\det\begin{pmatrix}a & c\\ g & i\end{pmatrix} &
- \det\begin{pmatrix}a & b\\ g & h\end{pmatrix} \\
\quad\det\begin{pmatrix}b & c\\ e & f\end{pmatrix} &
- \det\begin{pmatrix}a & c\\ d & f\end{pmatrix} &
\quad\det\begin{pmatrix}a & b\\ d & e\end{pmatrix}
\end{pmatrix}^\mathsf{T}\\[.7em]
& =
\begin{pmatrix}
ei - fh & fg - di & dh - eg \\
ch - bi & ai - cg & bg - ah \\
bf - ce & cd - af & ae - bd
\end{pmatrix}^\mathsf{T}\\[.7em]
& =
\begin{pmatrix}
ei - fh & ch - bi & bf - ce \\
fg - di & ai - cg & cd - af \\
dh - eg & bg - ah & ae - bd
\end{pmatrix}
\end{align}</math>

== Eigenschaften ==

Nachfolgende Beziehungen gelten für alle Matrizen aus <math>K^{n\times n}</math>

:<math>\operatorname{adj}(E) = E</math>, wobei <math>E</math> eine [[Einheitsmatrix]] ist.
:<math>\operatorname{adj}(0) = 0</math> für <math>n>1</math>, wobei ''0'' die [[Nullmatrix]] ist. Für <math>1\times 1</math>-Matrizen <math>A=[a_{11}]</math> gilt jedoch immer, auch für die Nullmatrix: <math>\operatorname{adj}([a_{11}]) = [1]</math>.
:<math>\operatorname{adj}(AB) = \operatorname{adj}(B) \cdot \operatorname{adj}(A)</math>
:<math>\operatorname{adj}(A^\mathsf{T}) = \operatorname{adj}(A)^\mathsf{T}</math>
:<math>A \cdot \operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot E</math>
:<math>\operatorname{adj}(\lambda A)=\lambda^{n-1}\operatorname{adj}(A)</math> wobei <math>\lambda\in K</math>
:<math>\det(\operatorname{adj}(A))=(\det A)^{n-1}</math>
:<math>\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A))=(\det A)^{n-2}A</math>, insbesondere für <math>2\times2</math>-Matrizen gilt <math>\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A))=A</math>

Für invertierbare Matrizen gilt zusätzlich

:<math>(\operatorname{adj}(A))^{-1}=\frac1{\det(A)}A=\operatorname{adj}(A^{-1})</math>

== Berechnung der Inversen einer Matrix ==

Die einzelnen Spalten der [[Inverse Matrix|Inversen einer Matrix]] <math>A</math> werden jeweils von der Lösung des Gleichungssystems <math>Ax = e_j</math> mit dem <math>j</math>-ten [[Einheitsvektor]] auf der rechten Seite gebildet. Berechnet man diese mit der [[Cramersche Regel|Cramerschen Regel]], so erhält man die Formel
:<math>A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \,\operatorname{adj} (A).</math>

Hieraus erhält man sofort eine Formel für die Inverse einer regulären <math>2 \times 2</math>-Matrix:
:<math>A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \,\operatorname{adj} (A) = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix}. </math>

== Literatur ==

* [[Siegfried Bosch]]: ''Lineare Algebra.'' 4., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76437-3.

[[Kategorie:Matrix]]

Adjunkte - Versionsgeschichte

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