2A00:E180:1717:2F00:28A9:2B5E:365A:179D: Als Beispiel unsinnig wenn die Funktion k reell und nicht komplexwertig ist.

2025-02-09T21:11:25Z

Als Beispiel unsinnig wenn die Funktion k reell und nicht komplexwertig ist.

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In der [[Funktionalanalysis]] kann zu jedem [[Dichte Teilmenge|dicht]] definierten [[Linearer Operator|linearen Operator]] <math>T</math> ein '''adjungierter Operator''' (manchmal auch ''dualer Operator'') <math>T^{*}</math> definiert werden.

Lineare Operatoren können zwischen zwei [[Vektorraum | Vektorräumen]] mit gemeinsamem Grundkörper <math>\mathbb{K} \in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C} \}</math> definiert werden. Adjungierte Operatoren werden allerdings häufig nur auf [[Hilbertraum| Hilberträumen]] betrachtet, also beispielsweise (endlichdimensionalen) euklidischen Räumen.
Auf endlichdimensionalen Räumen entspricht der adjungierte Operator der ''[[Adjungierte Matrix |adjungierten Matrix]]''. In der Matrizenrechnung mit reellen Einträgen entspricht die Bildung des adjungierten Operators dem [[Transponierte Matrix|Transponieren]], bei komplexen Einträgen dem [[Komplexe Konjugation|(komplex) Konjugieren]] und Transponieren der Ausgangsmatrix. In der Physik und den Ingenieurwissenschaften wird daher, in Analogie zur Matrixtheorie, der adjungierte Operator in der Regel nicht mit <math>T^\ast</math>, sondern mit <math>T^\dagger</math> bezeichnet.

== Definition ==
In diesem Abschnitt wird die Adjungierte eines Operators zwischen [[Hilbertraum|Hilberträumen]] definiert. Der erste Unterabschnitt beschränkt sich auf [[Beschränkter Operator|beschränkte Operatoren]]. Im zweiten Abschnitt wird das Konzept auf [[Unbeschränkter Operator|unbeschränkte Operatoren]] erweitert.

=== Beschränkte Operatoren ===

Seien <math>H_1</math> und <math>H_2</math> Hilberträume und <math>T \colon H_1 \to H_2</math> ein linearer beschränkter Operator. Der adjungierte Operator <math>T^* \colon H_2 \to H_1</math> ist durch die Gleichung
:<math>\langle Tx,y \rangle_{H_2} = \langle x, T^* y \rangle_{H_1}</math>
definiert.

Alternativ kann für jedes <math>y \in H_2</math> die Abbildung <math>x \mapsto \langle T x,y \rangle_{H_2} </math> betrachtet werden. Dies ist ein auf dem ganzen Hilbertraum definiertes, lineares stetiges Funktional. Der [[Darstellungssatz von Fréchet-Riesz]] besagt, dass für jedes stetige lineare Funktional ein eindeutig bestimmtes Element <math>z \in H_1</math> existiert, sodass <math>\langle T x,y \rangle_{H_2} = \langle x,z\rangle_{H_1} </math> für alle <math>x \in H_1</math> gilt. Also insgesamt existiert für jedes <math> y \in H_2</math> genau ein Element <math> z \in H_1</math> mit <math> \langle Tx,y \rangle_{H_2} = \langle x,z \rangle_{H_1} </math>. Nun wird <math>T^*y:=z</math> gesetzt. Diese Konstruktion ist äquivalent zu obiger Definition.<ref>Dirk Werner: ''Funktionalanalysis.'' 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 236.</ref>

=== Unbeschränkte Operatoren ===
Seien <math>X</math> und <math>Y</math> Hilberträume. Mit <math>D(T)</math> wird der [[Definitionsbereich]] des linearen unbeschränkten Operators <math>T</math> bezeichnet. Die Operatoren <math>T \colon D(T) \subset X\rightarrow Y</math> und <math>S \colon D(S)\subset Y\rightarrow X</math> heißen ''zueinander formal adjungiert'', falls
:<math>\langle y, Tx\rangle_Y = \langle Sy, x\rangle_X</math>
für alle <math>x\in D(T)</math> und <math>y\in D(S)</math> gilt. Unter diesen Voraussetzungen ist <math>S</math> im Allgemeinen nicht eindeutig durch <math>T</math> gegeben. Ist <math>T</math> [[dicht definierter Operator|dicht definiert]], so existiert ein zu <math>T</math> maximaler, formal adjungierter Operator <math>T^*</math>. Diesen nennt man den adjungierten Operator von <math>T</math>.

== Beispiele ==
* Wählt man als Hilbertraum den endlichdimensionalen unitären Vektorraum <math>\Complex^n</math>, so kann ein stetiger linearer Operator <math>T</math> auf diesem Hilbertraum durch eine Matrix dargestellt werden. Der dazu adjungierte Operator <math>T^*</math> wird dann durch die entsprechende [[adjungierte Matrix]] dargestellt. Daher ist der adjungierte Operator eine Verallgemeinerung der adjungierten Matrix.
* In diesem Beispiel wird der Hilbertraum der [[quadratintegrierbare Funktion|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2([0,1])</math> betrachtet. Mit einer entsprechenden Funktion <math>k \colon [0,1] \times [0,1] \to \Complex</math> (beispielsweise <math>k \in C([0,1] \times [0,1])</math>) ist der [[Integraloperator]]
::<math>Tx(s) := \int_0^1 k(s,t) x(t) \mathrm{d} t</math>
:stetig auf <math>L^2([0,1])</math>. Sein adjungierter Operator <math>T^*</math> lautet
::<math>T^*y(t) := \int_0^1 \overline{k(s,t)} y(s) \mathrm{d} s</math>.
:Dabei ist <math>\overline{k(s,t)}</math> das [[Konjugiert komplex|komplex Konjugierte]] von <math>k(s,t)</math>.

== Eigenschaften ==

Sei <math>T \colon X\supset D(T)\rightarrow Y</math> dicht definiert. Dann gilt:
* Ist <math>D(T^*)</math> dicht, so ist <math>T\subset T^{**}</math>, das heißt <math>D(T)\subset D(T^{**})</math> und <math>T=T^{**}</math> auf <math>D(T)</math>
* <math>\operatorname{Ker} (T^*)=\operatorname{Ran}(T)^\bot</math>. Dabei steht Ker für den [[Kern (Algebra)|Kern]] des Operators und [[Bild (Mathematik)|Ran]] (für Range) für den Bildraum.
* <math>T</math> ist genau dann beschränkt, wenn <math>T^*</math> beschränkt ist. In diesem Fall gilt <math>\|T\|=\|T^*\|</math>
* Ist <math>T</math> beschränkt, so ist <math>T^{**}</math> die eindeutige [[Fortsetzung (Mathematik)|Fortsetzung]] von <math>T</math> auf <math>X</math>

Sei <math>S \colon X\supset D(S)\rightarrow Y</math> dicht definiert. Der Operator <math>T+S</math> ist definiert durch <math>(T+S)x:=Tx+Sx</math> für <math>x\in D(T+S):=D(T)\cap D(S)</math>. Ist <math>T+S</math> dicht definiert, so ist <math>(T+S)^*\supset T^*+S^*</math>. Ist <math>T</math> beschränkt, so gilt sogar die Gleichheit.

Seien <math>Z</math> ein Hilbertraum und <math>S:Y\supset D(S)\rightarrow Z</math>. Dann wird die Hintereinanderausführung beziehungsweise Komposition <math>TS</math> von <math>T</math> und <math>S</math> definiert durch <math>TSx:=T(Sx)</math> für <math>x\in D(TS):=\{x\in D(S): Sx\in D(T)\}</math>. Ist <math>TS</math> dicht definiert, so gilt <math>(TS)^*\supset S^*T^*</math>. Ist <math>T</math> beschränkt, erhält man <math>(TS)^*= S^*T^*</math>.

== Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren ==

Ein linearer Operator <math>T \colon X\supset D(T)\rightarrow X</math> heißt
* ''[[Symmetrischer Operator|symmetrisch]]'' oder ''formal selbstadjungiert'', falls <math>\langle Tx,y\rangle = \langle x,T y\rangle</math> für alle <math>x,y \in D(T)</math> gilt.
* ''[[Wesentlich selbstadjungierter Operator|wesentlich selbstadjungiert]]'', falls <math>T</math> symmetrisch, dicht definiert und seine Abschließung selbstadjungiert ist.
* ''[[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungiert]]'', falls <math>T</math> dicht definiert und <math>T=T^*</math> gilt.

Außerdem gibt es noch den Begriff des [[Hermitescher Operator|hermiteschen Operators]]. Dieser wird vor allem in der Physik verwendet, ist jedoch nicht einheitlich definiert.

== Verallgemeinerung auf Banachräume ==

Adjungierte Operatoren können auch allgemeiner auf [[Banach-Raum|Banachräumen]] definiert werden. Für einen Banachraum <math>X</math> bezeichnet <math>X'</math> den [[Dualraum#Topologischer Dualraum eines normierten Raums|topologischen Dualraum]]. Im Folgenden wird mittels <math>\langle x,x'\rangle:=x'(x)</math> für <math>x\in X</math> und <math>x'\in X'</math> die [[duale Paarung]] bezeichnet. Seien <math>X</math> und <math>Y</math> Banachräume und sei <math>T \colon X\rightarrow Y</math> ein stetiger, linearer Operator. Der adjungierte Operator
:<math>T' \colon Y' \to X'</math>
wird definiert durch
:<math>y' \mapsto (x \mapsto y'(Tx)).</math>

Um diesen adjungierten Operator von den adjungierten Operatoren auf Hilberträumen zu unterscheiden, werden diese oft mit einem <math>'</math> statt mit einem <math>*</math> notiert.

Ist der Operator <math>T : D(T) \subset X \to Y</math> jedoch nicht stetig aber dicht definiert, so definiert man den adjungierten Operator
:<math>T' \colon D(T') \subset Y' \to X'</math>
durch
:<math>\begin{align}
D(T')&:= \{y'\in Y': \exists\,x'\in X': \langle Tx,y'\rangle = \langle x,x'\rangle\ \forall\,x\in D(T)\},\\
T'y'&:= x'\ \text{für}\ x \in D(T).
\end{align}</math>

Der Operator <math>T'</math> ist stets [[Abgeschlossener Operator|abgeschlossen]], wobei <math>D(T')=\{0\}</math> möglich ist. Ist <math>X</math> ein [[reflexiver Raum|reflexiver Banachraum]] und <math>Y=X</math>, dann ist <math>T'</math> genau dann dicht definiert, wenn <math>T</math> abschließbar ist. Insbesondere gilt dann <math>(T')'=\overline T</math>.

== Abweichende Konventionen ==
Insbesondere im linearen komplexen Fall wird für den dualen Operator statt <math>T^*</math> auch <math>T^\dagger</math> (Transposition '''und''' Übergang zum Konjugiert-Komplexen) genutzt, um eine Verwechslung mit <math>T^*</math> für die komplex [[konjugierte Matrix]] zu vermeiden. Letztere wird auch mit <math>\overline{T}</math> beschrieben, was aber von Physikern eher für die Mittelwertbildung reserviert ist.

== Literatur ==
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Lineare Abbildung]]

Adjungierter Operator - Versionsgeschichte

2A00:E180:1717:2F00:28A9:2B5E:365A:179D: Als Beispiel unsinnig wenn die Funktion k reell und nicht komplexwertig ist.