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2025-04-24T17:58:21Z

Notation: Ein kursives H durch senkrechtes H ersetzt.

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Die '''adjungierte Matrix''' (nicht zu verwechseln mit der [[Adjunkte]]n), '''hermitesch transponierte Matrix''' oder '''transponiert-konjugierte Matrix''' ist in der [[Mathematik]] diejenige [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], die durch [[Transponierte Matrix|Transponierung]] und [[Konjugierte Matrix|Konjugation]] einer gegebenen [[Komplexe Zahl|komplexen]] Matrix entsteht. Anschaulich ergibt sich die adjungierte Matrix durch [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] der Ausgangsmatrix an ihrer [[Hauptdiagonale]] und anschließende [[komplexe Konjugation]] aller Matrixeinträge. Bei Matrizen mit Einträgen aus den reellen Zahlen entspricht sie der [[Transponierte Matrix|transponierten Matrix.]] Die Umwandlung einer Matrix in ihre adjungierte Matrix wird '''Adjungierung''' der Matrix genannt.

Die Adjungierungsabbildung, die einer Matrix ihre Adjungierte zuordnet, ist stets [[Bijektive Funktion|bijektiv]], [[Semilineare Abbildung|konjugiert linear]] und [[Involution (Mathematik)|selbstinvers]]. Bezüglich der [[Matrizenaddition]] stellt sie einen [[Isomorphismus]] dar, bezüglich der [[Matrizenmultiplikation]] hingegen einen [[Antiisomorphismus]], das heißt, die Reihenfolge bei der Multiplikation von Matrizen kehrt sich nach Adjungierung um. Viele Kenngrößen adjungierter Matrizen, wie [[Spur (Mathematik)|Spur]], [[Determinante]] und [[Eigenwerte]], sind gerade die komplex Konjugierten der jeweiligen Kenngrößen der Ausgangsmatrizen.

In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] wird die adjungierte Matrix unter anderem zur Charakterisierung spezieller Klassen von Matrizen und bei Matrixzerlegungen eingesetzt. Die adjungierte Matrix ist auch die Abbildungsmatrix der [[adjungierte Abbildung|adjungierten Abbildung]] zwischen zwei endlichdimensionalen komplexen [[Skalarproduktraum|Skalarprodukträumen]] bezüglich der jeweiligen [[Orthonormalbasis|Orthonormalbasen]].

== Definition ==

Ist <math>A = (a_{ij}) \in \Complex^{m \times n}</math> eine [[Komplexe Zahl|komplexe]] [[Matrix (Mathematik)|Matrix]],

:<math>
A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & \dots &a_{1n} \\
\vdots & &\vdots \\
a_{m1} & \dots &a_{mn}
\end{pmatrix}
</math>

dann ist die (bezüglich des Standardskalarprodukts) adjungierte Matrix <math>A^\mathsf{H} \in \Complex^{n \times m}</math> definiert als

:<math>A^\mathsf{H} = {\overline A}^\mathsf{T} = \overline{A^\mathsf{T}} = \begin{pmatrix} \overline{a_{11}} & \dots & \overline{a_{m1}} \\ \vdots & & \vdots \\ \overline{a_{1n}} & \dots & \overline{a_{mn}} \end{pmatrix}</math>,

wobei <math>A^\mathsf{T}</math> die [[transponierte Matrix]] und <math>\bar{A}</math> die [[konjugierte Matrix]] von <math>A</math> sind. Die adjungierte Matrix <math>A^\mathsf{H}</math> ergibt sich also dadurch, dass die Rollen von [[Matrix (Mathematik)#Notation|Zeilen und Spalten]] der Ausgangsmatrix <math>A</math> vertauscht werden und alle Einträge [[Komplexe Konjugation|komplex konjugiert]] werden. Die Reihenfolge, in der transponiert und konjugiert wird, ist dabei unerheblich.

Haben wir auf <math>\Complex^{m}</math> das Skalarprodukt <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle_{C}\colon \Complex^{m}\times \Complex^{m}\to\mathbb C,</math> gegeben durch <math>\langle{x},{y}\rangle_{C} = x^\mathsf{T} C y</math>, und auf <math>\Complex^{n}</math> das Skalarprodukt <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle_{B}\colon \Complex^{n}\times \Complex^{n}\to\mathbb C,</math> gegeben durch <math>\langle{x},{y}\rangle_{B} = x^\mathsf{T} B y</math>, mit positiv definiten, hermiteschen Matrizen <math>C \in \mathbb{C}^{m \times m}, B \in \mathbb{C}^{n \times n}, </math>

so ist die adjungierte Matrix zu <math>A = (a_{ij}) \in \Complex^{m \times n}</math> gegeben durch

<math>A^\mathsf{H} = B^{-1} A^\mathsf{T} C</math>.

== Notation ==

Das hochgestellte <math>\mathsf{H}</math> in der Notation <math>A^\mathsf{H}</math> steht für den Nachnamen des französischen Mathematikers [[Charles Hermite]]. Hermite beschäftigte sich im Jahr 1855 mit Matrizen, die gleich ihrer Adjungierten sind, sogenannten [[Hermitesche Matrix|hermiteschen Matrizen]], und zeigte, dass solche Matrizen viele Eigenschaften mit reellen [[Symmetrische Matrix|symmetrischen Matrizen]] gemeinsam haben.<ref>{{Literatur|Autor=[[Charles Hermite]]|Titel=Remarque sur un théorème de M. Cauchy|Sammelwerk=Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences|Ort=Paris|Nummer=41|Seiten=181–183|Jahr=1855}}</ref>

Andere Schreibweisen für die adjungierte Matrix sind <math>\operatorname{adj}(A)</math>, <math>A^\ast</math>, <math>A^{+}</math> und <math>A^\dagger</math>. Die Notation <math>\operatorname{adj}(A)</math> ist jedoch nicht eindeutig, da sie auch für die [[Adjunkte]] verwendet wird. Mit <math>A^\ast</math> wird gelegentlich auch die [[konjugierte Matrix]] bezeichnet und <math>A^{+}</math> steht auch für die [[Pseudoinverse]]. Die Notation <math>A^\dagger</math> wird vor allem in der Physik, insbesondere in der [[Quantenmechanik]], verwendet.

== Beispiele ==

Durch Adjungierung einer <math>(1 \times 3)</math>-Matrix (eines [[Zeilenvektor]]s) entsteht eine <math>(3 \times 1)</math>-Matrix (ein [[Spaltenvektor]]) und umgekehrt, jeweils mit komplex konjugierten Einträgen:

:<math>\begin{pmatrix} i & 1+i & 2-i \end{pmatrix}^\mathsf{H} = \begin{pmatrix} -i \\ 1-i \\ 2+i \end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix} 1 \\ 2-2i \\ 3i \end{pmatrix}^\mathsf{H} = \begin{pmatrix} 1 & 2+2i & -3i \end{pmatrix}</math>

Durch Adjungierung einer <math>(3 \times 2)</math>-Matrix entsteht eine <math>(2 \times 3)</math>-Matrix, bei der die erste Zeile der ersten Spalte der Ausgangsmatrix und die zweite Zeile der zweiten Spalte der Ausgangsmatrix jeweils nach komplexer Konjugation entspricht:

:<math>\begin{pmatrix} 1 & 2-i \\ 3i & 4-2i \\ 5+i & -6i \end{pmatrix}^\mathsf{H} = \begin{pmatrix} 1 & -3i & 5-i \\ 2+i & 4+2i & 6i \end{pmatrix}</math>

Für eine komplexe Matrix mit ausschließlich [[Reelle Zahl|reellen]] Einträgen ist die Adjungierte gerade die Transponierte.

== Eigenschaften ==
Die nachfolgenden Eigenschaften sind direkte Folgerungen aus den entsprechenden Eigenschaften transponierter und konjugierter Matrizen.

=== Summe ===

Für die Adjungierte der [[Matrizenaddition|Summe]] zweier Matrizen <math>A,B \in \Complex^{m \times n}</math> gleicher Größe gilt

:<math>(A+B)^\mathsf{H} = A^\mathsf{H} + B^\mathsf{H}</math>.

Allgemein ergibt sich die Summe von <math>n</math> Matrizen <math>A_1, \ldots , A_n \in \Complex^{m \times n}</math> gleicher Größe zu

:<math>(A_1 + A_2 + \ldots + A_n)^\mathsf{H} = A^\mathsf{H}_1 + A^\mathsf{H}_2 + \ldots + A^\mathsf{H}_n</math>.

Die Adjungierte einer Summe von Matrizen ist demnach gleich der Summe der Adjungierten.

=== Skalarmultiplikation ===

Für die Adjungierte des [[Skalarmultiplikation|Produkts]] einer Matrix <math>A \in \Complex^{m \times n}</math> mit einem Skalar <math>c \in \Complex</math> gilt

:<math>(c \cdot A)^\mathsf{H} = \bar{c} \cdot A^\mathsf{H}</math>.

Die Adjungierte des Produkts einer Matrix mit einem Skalar ist also gleich dem Produkt des konjugierten Skalars mit der adjungierten Matrix.

=== Zweifache Adjungierung ===

Für die Adjungierte der Adjungierten einer Matrix <math>A \in \Complex^{m \times n}</math> gilt

:<math>\left( A^\mathsf{H} \right)^\mathsf{H} = A</math>.

Durch zweifache Adjungierung ergibt sich demnach stets wieder die Ausgangsmatrix.

=== Produkt ===

Für die Adjungierte des [[Matrizenmultiplikation|Produkts]] einer Matrix <math>A \in \Complex^{m \times n}</math> mit einer Matrix <math>B \in \Complex^{n \times l}</math> gilt

:<math>(A \cdot B)^\mathsf{H} = B^\mathsf{H} \cdot A^\mathsf{H}</math>.

Allgemein ergibt sich für das Produkt von <math>n</math> Matrizen <math>A_1, \ldots , A_n</math> passender Größe

:<math>(A_1 \cdot A_2 \cdot \ldots \cdot A_n)^\mathsf{H} = A^\mathsf{H}_n \cdot \ldots \cdot A^\mathsf{H}_2 \cdot A^\mathsf{H}_1</math>.

Die Adjungierte eines Produkts von Matrizen ist demnach gleich dem Produkt der Adjungierten, jedoch in umgekehrter Reihenfolge.

=== Inverse ===

Die Adjungierte einer [[Reguläre Matrix|regulären Matrix]] <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> ist ebenfalls stets regulär. Für die Adjungierte der [[Inverse Matrix|Inversen]] einer regulären Matrix gilt dabei

:<math>\left( A^{-1} \right)^\mathsf{H} = \left( A^\mathsf{H} \right)^{-1}</math>.

Die Adjungierte der inversen Matrix ist demnach gleich der Inversen der adjungierten Matrix. Diese Matrix wird gelegentlich auch mit <math>A^{-\mathsf{H}}</math> bezeichnet.<ref>{{Literatur|Autor=G. W. Stewart|Titel=Matrix Algorithms|Band=Volume 1: Basic Decompositions|Verlag=SIAM|Jahr=1998|Seiten=38}}</ref>

=== Exponential und Logarithmus ===

Für das [[Matrixexponential]] der Adjungierten einer quadratischen Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> gilt

:<math>\exp(A^\mathsf{H}) = (\exp A)^\mathsf{H}</math>.

Entsprechend gilt für den [[Matrixlogarithmus]] der Adjungierten einer regulären komplexen Matrix

:<math>\ln(A^\mathsf{H}) = (\ln A)^\mathsf{H}</math>.

=== Adjungierungsabbildung ===

Die [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]]

:<math>\Complex^{m \times n} \to \Complex^{n \times m}, \quad A \mapsto A^\mathsf{H}</math>,

die einer Matrix ihre Adjungierte zuordnet, besitzt aufgrund der vorstehenden Gesetzmäßigkeiten die folgenden Eigenschaften:

* Die Adjungierungsabbildung ist stets [[Bijektive Funktion|bijektiv]], [[Semilineare Abbildung|konjugiert linear]] und [[Involution (Mathematik)|selbstinvers]].
* Zwischen den [[Matrizenraum|Matrizenräumen]] <math>\Complex^{m \times n}</math> und <math>\Complex^{n \times m}</math> stellt die Adjungierungsabbildung einen [[Isomorphismus]] dar.
* In der [[Allgemeine lineare Gruppe|allgemeinen linearen Gruppe]] <math>\operatorname{GL}(n,\Complex)</math> und im [[Matrizenring]] <math>\Complex^{n \times n}</math> stellt die Adjungierungsabbildung (für <math>m = n</math>) einen [[Antiautomorphismus]] dar.

=== Blockmatrizen ===

Die Adjungierte einer [[Blockmatrix]] mit <math>r</math> Zeilen- und <math>s</math> Spaltenpartitionen ist durch

:<math>
\begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1s} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{r1} & \cdots & A_{rs} \end{pmatrix}^\mathsf{H} =
\begin{pmatrix} A_{11}^\mathsf{H} & \cdots & A_{r1}^\mathsf{H} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{1s}^\mathsf{H} & \cdots & A_{rs}^\mathsf{H} \end{pmatrix}
</math>

gegeben. Sie entsteht durch Spiegelung aller Blöcke an der Hauptdiagonale und nachfolgende Adjungierung jedes Blocks.

== Kenngrößen ==
=== Rang ===

Für eine Matrix <math>A \in \Complex^{m \times n}</math> ist der [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] der adjungierten Matrix gleich dem der Ausgangsmatrix, das heißt

:<math>\operatorname{rang}(A^\mathsf{H}) = \operatorname{rang}(A)</math>.

Das [[Bild (Mathematik)|Bild]] der Abbildung <math>x \mapsto A x</math> wird dabei von den Spaltenvektoren von <math>A</math> [[Lineare Hülle|aufgespannt]], während das Bild der Abbildung <math>x \mapsto A^\mathsf{H} x</math> von den Zeilenvektoren von <math>A</math> aufgespannt wird. Die [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] dieser beiden Bilder stimmen stets überein.

=== Spur ===

Für eine quadratische Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> ist die [[Spur (Mathematik)|Spur]] (die Summe der [[Hauptdiagonale]]lemente) der adjungierten Matrix gleich der konjugierten Spur der Ausgangsmatrix, das heißt

:<math>\operatorname{spur}(A^\mathsf{H}) = \overline{\operatorname{spur}(A)}</math>,

denn die Diagonalelemente der adjungierten Matrix stimmen mit denen der Ausgangsmatrix bis auf komplexe Konjugation überein.

=== Determinante ===

Für eine quadratische Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> ist die [[Determinante]] der adjungierten Matrix gleich der konjugierten Determinante der Ausgangsmatrix, das heißt

:<math>\det(A^\mathsf{H}) = \overline{\det(A)}</math>.

Dies folgt aus der [[Determinante#Leibniz-Formel|Leibniz-Formel für Determinanten]] über

:<math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) a_{1, \sigma(1)} \cdots a_{n, \sigma(n)} \right) = \overline{\sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) \bar{a}_{\sigma(1), 1} \cdots \bar{a}_{\sigma(n), n} \right)} = \overline{\det(A^\mathsf{H})}</math>,

wobei die Summe über alle [[Permutation]]en der [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] <math>S_n</math> läuft und <math>\operatorname{sgn}(\sigma)</math> das [[Vorzeichen (Permutation)|Vorzeichen]] der Permutation <math>\sigma</math> bezeichnet.

=== Spektrum ===

Für eine quadratische Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> stimmt aufgrund der vorstehenden Determinantenformel auch das [[Charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]] der adjungierten Matrix mit dem der Ausgangsmatrix bis auf komplexe Konjugation überein, denn

:<math>\chi_{A^\mathsf{H}}(\lambda) = \det(\lambda I - A^\mathsf{H}) = \overline{\det((\lambda I - A^\mathsf{H})^\mathsf{H})} = \overline{\det(\bar\lambda I - A)} = \overline{\chi_{A}(\bar\lambda)}</math>.

Die [[Eigenwert]]e von <math>A^\mathsf{H}</math> sind demnach gerade die komplex Konjugierten der Eigenwerte von <math>A</math>.

=== Normen ===

Die [[euklidische Norm]] eines komplexen Vektors <math>x \in \Complex^n</math> ist durch

:<math>\| x \|_2 = \sqrt{x^\mathsf{H} x}</math>

gegeben. Für die [[Frobeniusnorm]] und die [[Spektralnorm]] der Adjungierten einer Matrix <math>A \in \Complex^{m \times n}</math> gilt

:<math>\| A^\mathsf{H} \|_F = \| A \|_F</math>   und   <math>\| A^\mathsf{H} \|_2 = \| A \|_2</math>.

Die [[Zeilensummennorm|Zeilensummen-]] und die [[Spaltensummennorm]] der Adjungierten und der Ausgangsmatrix stehen folgendermaßen in Beziehung:

:<math>\| A^\mathsf{H} \|_\infty = \| A \|_1</math>   und   <math>\| A^\mathsf{H} \|_1 = \| A \|_\infty</math>.

=== Skalarprodukte ===

Das [[Standardskalarprodukt]] <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> zweier komplexer Vektoren <math>x,y \in \Complex^n</math> ist durch

:<math>\langle x,y \rangle = x^\mathsf{H} y</math>

gegeben. Bezüglich des Standardskalarprodukts weisen eine Matrix <math>A \in \Complex^{m \times n}</math> und ihre Adjungierte die [[Standardskalarprodukt#Verschiebungseigenschaft|Verschiebungseigenschaft]]

:<math>\langle A x,y \rangle = \langle x,A^\mathsf{H} y \rangle</math>

für alle Vektoren <math>x \in \Complex^n</math> und <math>y \in \Complex^m</math> auf. Hierbei steht auf der linken Seite das Standardskalarprodukt im <math>\Complex^m</math> und auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt im <math>\Complex^n</math>. Für das [[Frobenius-Skalarprodukt]] zweier Matrizen <math>A,B \in \Complex^{m \times n}</math> gilt

:<math>\langle A, B \rangle_F = \operatorname{spur}(A^\mathsf{H} B) = \operatorname{spur}(B A^\mathsf{H}) = \overline{\operatorname{spur}(A B^\mathsf{H})} = \overline{\langle A^\mathsf{H}, B^\mathsf{H} \rangle_F}</math>,

da Matrizen unter der Spur [[Zyklische Permutation|zyklisch vertauschbar]] sind.

== Verwendung ==
=== Spezielle Matrizen ===

Die adjungierte Matrix wird in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] unter anderem bei folgenden Definitionen verwendet:

* Eine [[hermitesche Matrix]] ist eine komplexe quadratische Matrix, die gleich ihrer Adjungierten ist, das heißt <math>A^\mathsf{H} = A</math>. Solche Matrizen werden auch als [[Selbstadjungierte Matrix|selbstadjungiert]] bezeichnet.
* Eine [[schiefhermitesche Matrix]] ist eine komplexe quadratische Matrix, die gleich ihrer negativen Adjungierten ist, das heißt <math>A^\mathsf{H} = -A</math>.
* Eine [[unitäre Matrix]] ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Adjungierte gleich ihrer Inversen ist, das heißt <math>A^\mathsf{H} = A^{-1}</math>.
* Eine (komplexe) [[normale Matrix]] ist eine komplexe quadratische Matrix, die mit ihrer Adjungierten [[Kommutativgesetz|kommutiert]], das heißt <math>A^\mathsf{H} A = A A^\mathsf{H}</math>.
* Für eine beliebige komplexe Matrix sind die beiden [[Gram-Matrix|Gram-Matrizen]] <math>A^\mathsf{H} A</math> und <math>A A^\mathsf{H}</math> stets hermitesch und [[positiv semidefinit]].
* Eine komplexe Matrix besitzt genau dann ausschließlich [[Reelle Zahl|reelle]] Einträge, wenn ihre Adjungierte gleich ihrer Transponierten ist, das heißt wenn <math>A^\mathsf{H} = A^\mathsf{T}</math> gilt.

=== Matrixzerlegungen ===

Die adjungierte Matrix wird auch bei der [[Schur-Zerlegung]] einer quadratischen Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math>

:<math>A = U \, R \, U^\mathsf{H}</math>

in eine unitäre Matrix <math>U \in \Complex^{n \times n}</math>, eine obere [[Dreiecksmatrix]] <math>R \in \Complex^{n \times n}</math> und die Adjungierte von <math>U</math> sowie bei der [[Singulärwertzerlegung]] einer Matrix <math>A \in \Complex^{m \times n}</math>

:<math>A = U \, \Sigma \, V^\mathsf{H}</math>

in eine unitäre Matrix <math>U \in \Complex^{m \times m}</math>, eine reelle [[Diagonalmatrix]] <math>\Sigma \in \R^{m \times n}</math> und die Adjungierte einer unitären Matrix <math>V \in \Complex^{n \times n}</math> verwendet.

=== Adjungierte Abbildungen ===

Sind <math>V</math> und <math>W</math> endlichdimensionale komplexe [[Skalarproduktraum|Skalarprodukträume]], dann wird die zu einer gegebenen linearen Abbildung <math>f \colon V \to W</math> zugehörige [[adjungierte Abbildung]] <math>f^\ast \colon W \to V</math> durch die Beziehung

:<math>\langle f(v), w \rangle = \langle v, f^\ast(w) \rangle</math>

für alle <math>v \in V</math> und <math>w \in W</math> charakterisiert. Ist weiter <math>\{ v_1, \ldots, v_m \}</math> eine [[Orthonormalbasis]] von <math>V</math>, <math>\{ w_1, \ldots , w_n \}</math> eine Orthonormalbasis von <math>W</math> und <math>A_f \in \Complex^{n \times m}</math> die Abbildungsmatrix von <math>f</math> bezüglich dieser Basen, dann ist die Abbildungsmatrix <math>A_{f^\ast} \in \Complex^{m \times n}</math> von <math>f^\ast</math> bezüglich dieser Basen durch

:<math>A_{f^\ast} = A_f^\mathsf{H}</math>

gegeben. Die Abbildungsmatrix der adjungierten Abbildung ist also gerade die Adjungierte der Abbildungsmatrix der Ausgangsabbildung. In der [[Funktionalanalysis]] wird dieses Konzept auf [[Adjungierter Operator|adjungierte Operatoren]] zwischen unendlichdimensionalen [[Hilbertraum|Hilberträumen]] verallgemeinert.

== Siehe auch ==
* [[Adjunktion (Kategorientheorie)]]

== Literatur ==

* {{Literatur|Autor=[[Siegfried Bosch]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Springer|Jahr=2006|ISBN=3-540-29884-3}}
* {{Literatur|Autor=Roger A. Horn, Charles R. Johnson|Titel=Matrix Analysis|Verlag=Cambridge University Press|Jahr=2012|ISBN=0-521-46713-6}}

== Weblinks ==

* {{EoM|Autor=T. S. Pogolkina|Titel=Adjoint matrix|Url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Adjoint_matrix}}
* {{MathWorld|title=Conjugate Transpose|id=ConjugateTranspose}}
* {{PlanetMath|title=Conjugate Transpose|id=conjugateTranspose|author=koro}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Matrix]]

Adjungierte Matrix - Versionsgeschichte

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