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2025-06-14T15:03:20Z

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'''Additiver Funktor''' ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Kategorientheorie]]. Es handelt sich dabei um [[Funktor (Mathematik)|Funktoren]] zwischen [[Präadditive Kategorie|präadditiven Kategorien]], die [[Gruppenhomomorphismus|Gruppenhomomorphismen]] zwischen den Morphismengruppen definieren.

== Definition ==
Es seien <math>\mathfrak{C}</math> und <math>\mathfrak{D}</math> präadditive Kategorien.
Ein Funktor <math>F: \mathfrak{C}\rightarrow \mathfrak{D}</math> heißt additiv, falls die Abbildungen <math>\mathrm{Mor}_{\mathfrak{C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm{Mor}_{\mathfrak{D}}(FX,FY);\, f\mapsto Ff</math> für je zwei Objekte <math>X</math> und <math>Y</math> aus <math>\mathfrak{C}</math> Gruppenhomomorphismen sind.

Häufig betrachtet man additive Funktoren auf [[Additive Kategorie|additiven]] oder [[Abelsche Kategorie|abelschen Kategorien]], da diese auf solchen Kategorien weitere Eigenschaften haben. Die meisten natürlich auftretenden Funktoren zwischen präadditiven Kategorien sind additiv.

== Charakterisierung ==
Für Funktoren zwischen abelschen Kategorien hat man folgende Charakterisierung:<ref>Peter Hilton: ''Lectures in Homological Algebra.'' American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.1.</ref> Ein Funktor <math>F:\mathfrak{A}\rightarrow\mathfrak{B}</math> ist genau dann additiv, wenn <math>F(A_1\oplus A_2) = F(A_1)\oplus F(A_2)</math> für alle Objekte <math>A_1,A_2</math> aus <math>\mathfrak{A}</math>, wobei die Gleichheit folgendes bedeuten soll: Ist <math>(\iota_j:A_j\rightarrow A_1\oplus A_2)_{j=1,2}</math> eine [[direkte Summe]], so auch <math>(F\iota_j:FA_j\rightarrow F(A_1\oplus A_2))_{j=1,2}</math>.

== Beispiele ==
* Die [[Hom-Funktor]]en <math>\mathrm{Hom}_R(A,-)</math> von der Kategorie <math>\mathfrak{M}_R</math> der <math>R</math>-[[Modul (Mathematik)|Moduln]] über einem [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math> in die Kategorie <math>\mathfrak{Ab}</math> der [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppen]], <math>A</math> ein fester <math>R</math>-Modul, ist additiv. Das Gleiche gilt für die Funktoren <math>\mathrm{Hom}_R(-,A): \mathfrak{M}_R\rightarrow \mathfrak{Ab}</math>
* Die [[Tensorprodukt|Tensorfunktoren]] <math>(A\otimes_R -):\mathfrak{M}_R\rightarrow \mathfrak{Ab}</math> sind additiv, ebenso <math>(-\otimes_R A):\mathfrak{M}_R\rightarrow \mathfrak{Ab}</math>
* [[Halbexakt]]e Funktoren sind additiv.<ref>Peter Hilton: ''Lectures in Homological Algebra.'' American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.2.</ref>
* Der Funktor <math>F: \mathfrak{M}_R\rightarrow \mathfrak{M}_R</math> mit <math>FA = A\oplus R</math> für jeden Modul <math>A</math> und <math>Ff = f\oplus \mathrm{id}_R</math> für jeden Morphismus <math>f</math> ist nicht additiv.

== Eigenschaften ==
Additive Funktoren zwischen abelschen Kategorien haben folgende Eigenschaften:
* Additive Funktoren überführen [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|Nullobjekte]] in Nullobjekte.<ref>Götz Brunner: ''Homologische Algebra.'' B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, {{Falsche ISBN|3-411-014420-2}}, Kapitel III, Satz 23.</ref>
* Additive Funktoren überführen endliche direkte Summen in direkte Summen.<ref>Götz Brunner: ''Homologische Algebra.'' B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, {{Falsche ISBN|3-411-014420-2}}, Kapitel III, Satz 24.</ref>
* Ist <math>0\rightarrow A\rightarrow A^'\rightarrow A^{''}\rightarrow 0</math> eine kurze exakte Sequenz und <math>F</math> ein additiver Funktor, so hat man eine lange exakte Sequenz
:<math>\ldots \rightarrow L_nFA \rightarrow L_nFA^' \rightarrow L_nFA^{''}\rightarrow \ldots \rightarrow L_0FA \rightarrow L_0FA^' \rightarrow L_0FA^{''}\rightarrow 0</math>,
:wobei <math>L_n</math> für die <math>n</math>-te [[Abgeleiteter Funktor|Linksableitung]] stehe.<ref>Peter Hilton: ''Lectures in Homological Algebra.'' American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 3.6.</ref> Insbesondere ist die 0-te Linksableitung eines additiven Funktors [[rechtsexakt]].
* Ist <math>F\xrightarrow{\rho} F^'\xrightarrow{\sigma} F^{''}</math> eine Folge additiver Funktoren und [[Natürliche Transformation|natürlicher Transformationen]] <math>\rho</math> und <math>\sigma</math> und ist für jeden [[Projektiver Modul|projektiven Modul]] <math>P</math> die Sequenz
:<math>0\rightarrow FP \xrightarrow{\rho^P} F^'P \xrightarrow{\sigma^P} F^{''}P\rightarrow 0</math>
:exakt, so hat man für beliebige Moduln <math>A</math> eine lange exakte Sequenz<ref>Peter Hilton: ''Lectures in Homological Algebra.'' American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 3.8.</ref>
:<math> \ldots \rightarrow L_nFA\rightarrow L_nF^'A\rightarrow L_nF^{''}A\rightarrow \ldots \rightarrow L_0FA\rightarrow L_0F^'A\rightarrow L_0F^{''}A\rightarrow 0</math>.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Kategorientheorie}}

[[Kategorie:Homologische Algebra]]
[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Additiver Funktor - Versionsgeschichte

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