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2024-10-01T15:58:02Z

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'''Additive''', '''subadditive''' und '''superadditive Funktionen''' sind mathematische Objekte. Es sind bestimmte Klassen von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]]. [[Lineare Abbildung]]en sind besondere additive Funktionen.

In der [[Zahlentheorie]] herrscht eine andere Definition für die ''additive Funktion''.
== Definition ==
Eine Funktion <math>f </math> heißt additiv, wenn sie die [[Funktionalgleichung]]
: <math>f(x+y) = f(x) + f(y)</math>
erfüllt.<ref>{{Literatur |Autor=Prasanna Sahoo, Thomas Riedel |Titel=Mean Value Theorems and Functional Equations |Datum=1998 |ISBN=981-02-3544-5 |Seiten=1 |Sprache=en}}</ref> Sind [[Definitionsmenge|Definitions-]] und [[Zielmenge|Zielbereich]] [[abelsche Gruppe]]n, so spricht man auch von <math>\mathbb Z</math>-[[Lineare Abbildung|Linearität]].

== Sub- und Superadditive Funktionen ==
Ist <math>M</math> eine [[Halbgruppe]] mit der [[Zweistellige Verknüpfung|Verknüpfung]] <math>+</math>, so heißt eine Abbildung <math>f\colon M \to \mathbb{R}</math> ''subadditiv'', wenn für alle <math>x</math> und <math>y</math> aus <math>M</math> gilt:<ref name="ConvexFunctions">{{Literatur |Autor=Josip E. Peajcariaac, Y. L. Tong |Titel=Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications |Verlag=Academic Press |Datum=1992 |ISBN=0-12-549250-2 |Seiten=8 |Sprache=en}}</ref>
:<math>f(x+y)\leq f(x)+f(y)</math>.

Die Abbildung heißt ''superadditiv'', wenn für alle <math>x</math> und <math>y</math> aus <math>M</math> gilt:<ref name="ConvexFunctions" />
:<math>f(x+y)\geq f(x)+f(y)</math>.

== Beispiele ==
* Gemäß der [[Dreiecksungleichung]] sind [[Norm (Mathematik)|Normen]] und [[Absoluter Betrag|Beträge]] stets subadditiv.
* [[Sublineare Funktion]]en sind subadditiv.
* [[Lineare Abbildung]]en sind additiv.

== Eigenschaften ==
* Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist.
* Ist <math>f</math> eine additive Funktion, so gilt für jede endliche Anzahl <math>x_1, \dotsc, x_n</math> von Elementen aus <math>M</math>:
::<math>f(x_1+ \dotsb +x_n) = f(x_1)+ \dotsb +f(x_n)</math>
: Entsprechendes gilt für Sub- und Superadditivität.

== Definition in der Zahlentheorie ==
Bei [[Zahlentheoretische Funktion|zahlentheoretischen Funktionen]] <math>f\colon \N \to \Complex</math> betrachtet man als Verknüpfung auf <math>\N</math> die Multiplikation. Eine zahlentheoretische Funktion heißt ''additiv'', wenn die Gleichung
:<math>f(x y)= f(x)+f(y)</math>
für alle [[teilerfremd]]en <math>x</math> und <math>y \in \N</math> gilt. Gilt dies sogar für alle <math>x</math> und <math>y</math>, so heißt die Funktion ''streng additiv''.

Eine ähnliche Einschränkung der Additivität (auf disjunkte statt beliebige Vereinigungen) gibt es in der Maßtheorie.

== Siehe auch ==
* [[σ-Subadditivität]]
* [[σ-Additivität]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Additivitat}}
[[Kategorie:Analysis]]

Additive Funktion - Versionsgeschichte

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