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2026-02-09T07:45:20Z

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[[Datei:Veranschaulichung des Additionsverfahren.png|mini|350px|Veranschaulichung des Additionsverfahrens: Aus <math>{\color{Blue}4x}+1={\color{Orange}3y}</math> und <math>{\color{Orange}2y}={\color{Blue}2x}+2</math> folgt das Gleichungssystem <math>{\color{Blue}4x}+1+{\color{Orange}2y}={\color{Orange}3y}+{\color{Blue}2x}+2</math>. Wenn nämlich beide Waagen im Vorfeld im Gleichgewicht sind, so ist dies die Waage auch, wenn man die jeweiligen Seiten zusammenlegt.]]
Das '''Additionsverfahren''' ist ein Verfahren zur Lösung von [[Lineares Gleichungssystem|Gleichungssystemen]]. In der [[Schulmathematik]] wird es neben dem [[Einsetzungsverfahren]] und dem [[Gleichsetzungsverfahren]] standardmäßig zur Lösung von [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystemen]] mit zwei Variablen eingesetzt.<ref>{{Literatur |Autor=Hans-Georg Weigand, Alexander Schüler-Meyer, Guido Pinkernell |Titel=Didaktik der Algebra |Auflage=4. |Verlag=Springer |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-64659-5 |Seiten=295}}</ref> Darüber hinaus basiert das bekannteste Verfahren zur Lösung von allgemeinen linearen Gleichungssystemen, das [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußsche Eliminationsverfahren]], auf dem Additionsverfahren.

Beim Additionsverfahren werden Gleichungen [[Addition|addiert]]. Darunter versteht man das separate Addieren der Terme der linken Seite der Gleichungen und der rechten Seiten der Gleichungen, wodurch eine neue Gleichung entsteht.<ref>{{Literatur |Autor=Jens Kunath |Titel=Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum=2023 |ISBN= |Seiten=12 |Abruf=}}</ref> Dies geschieht in der Regel so, dass eine oder mehrere Unbekannte in den Gleichungen verschwinden („eliminiert“ werden). Dazu werden die Gleichungen ggf. vorher mit geeigneten Zahlen multipliziert.<ref>{{Literatur |Autor=[[Andreas Filler]] |Titel=Elementare Lineare Algebra |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2011 |Reihe=Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II |ISBN=978-3-8274-2412-9 |Seiten=9 |Abruf=}}</ref>

== Begründung (Anschaulich) ==
Als Beispiel soll das folgende [[Lineares Gleichungssystem|lineare Gleichungssystem]] gelöst werden:
:<math>\begin{matrix}
(\text{I})\quad & 5x & + & 3y & = & 5\\
(\text{II}) \quad & 2x & - & 3y & = & 2
\end{matrix}</math>
Man kann sich beide Gleichungen als ausgeglichene Waagen vorstellen.
Waage 1 hat in der linken Schale <math>5x+3y</math> und in der rechten <math>5</math> liegen.
Waage 2 hat in der linken Schale <math>2x-3y</math> und in der rechten <math>2</math> liegen.

Legt man die Inhalte der linken Schalen zusammen, müssen diese so viel wiegen wie die rechten Schalen zusammen.
Als Gleichung erhält man:
:<math>\begin{matrix}
(\text{I}) + (\text{II}):\quad&(5x + 3y) & + &(2x- 3y)&=& 5+2
\end{matrix}</math>
Sortiert man die linke Seite der Gleichung nach den Unbekannten, heben sich die Terme mit <math>y</math> weg und man erhält eine Lösung für <math>x</math>:
:<math>\begin{matrix}
5x + 2x & + &3y - 3y &=& 7 \\
7x &+&0&=& 7 &|:7\\
x &&& =& 1
\end{matrix}</math>

Auch das vorherige Vervielfachen einer Gleichung ändert nichts am Gleichgewicht der jeweiligen Waage.
Ein ''Mehrfachadditionsverfahren'' wie <math>(\text{I})+3\cdot(\text{II})</math> oder ein ''Subtraktionsverfahren'' wie <math>(\text{I})-(\text{II})</math> ist also lediglich eine abkürzende Schreibweise für eine [[Äquivalenzumformung]] mit anschließendem Additionsverfahren.
Für <math>(\text{I})+3\cdot(\text{II})</math> wird die zweite Gleichung zunächst verdreifacht und dann beide Gleichungen addiert (ein ausführliches Beispiel dazu steht unten).
Für <math>(\text{I})-(\text{II})</math> wird die zweite Gleichung zunächst auf beiden Seiten mit <math>(-1)</math> multipliziert und dann beide Gleichungen addiert.

== Beispiele ==

=== Lineares 2×2-Gleichungssystem ===
Mit Hilfe des Additionsverfahrens soll das folgende Gleichungssystem gelöst werden:
:<math>\begin{matrix}
(\text{I}) & 5x & + & 3y & = & 5\\
(\text{II}) & 3x & + & y & = & -1
\end{matrix}</math>
Dazu muss eine der beiden Gleichungen so [[Äquivalenzumformung|umgeformt]] werden, dass bei einer Addition der beiden Gleichungen eine Variable verschwindet. In diesem Beispiel wird dazu Gleichung <math>(\text{II})</math> mit <math>-3</math> multipliziert und man erhält das gleichwertige Gleichungssystem
:<math>\begin{matrix}
(\text{I}) & 5x & + & 3y & = & 5 \\
(\text{II'}) & -9x & - & 3y & = & 3
\end{matrix}</math>

Diese beiden Gleichungen werden nun addiert und somit in einer Gleichung zusammengefasst:

:<math>\begin{matrix}
(5x - 9x) & + & (3y - 3y) & = & 5 + 3 \\
- 4x & + & 0y & = & 8 \\
-4x & & & = & 8
\end{matrix}</math>

Anschließend löst man nach der verbliebenen Variablen <math>x</math> auf und erhält <math>x = -2</math>. Dieser Wert wird nun in Gleichung <math>(\text{I})</math> eingesetzt:
:<math>5 \cdot (-2) + 3y = 5
</math>
Durch Auflösen erhält man den Wert der zweiten Variablen als <math>y=5</math>. Die [[Lösungsmenge]] ist somit <math>\mathbb{L}=\{(-2|5)\}</math>.

=== Nichtlineares Gleichungssystem ===
Es wird das folgende nichtlineare Gleichungssystem betrachtet:
: <math>\begin{align}
& (\text{I}) & x^2 + 2y & = 9\\
& (\text{II})& -2x^2 + 2y & = 6
\end{align}</math>
Um die quadratischen Terme zu eliminieren, wird Gleichung <math>(\text{II})</math> durch 2 geteilt und man erhält das gleichwertige Gleichungssystem

:<math>\begin{align}
& (\text{I}) & x^2 + 2y & = 9\\
& (\text{II'})& -x^2 + y & = 3
\end{align}</math>
Durch die Addition <math>(\text{I}) + (\text{II'})</math> erhält man die Gleichung <math> 3y = 12</math>, woraus sofort <math>y=4</math> folgt. Einsetzen z. B in Gleichung <math>(\text{I})</math> liefert
:<math>x^2 +8 =9</math>.
Durch Auflösen erhält man die Werte der zweiten Variable als <math>x_1 = 1</math> und <math>x_2 = -1</math>. Die Lösungsmenge ist somit
:<math>\mathbb{L}=\{(-1;4), (1;4)\}</math>.

== Siehe auch ==
* [[Einsetzungsverfahren]]
* [[Gleichsetzungsverfahren]]

== Literatur ==

* Jens Kunath: ''Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I''. 2. Auflage. Springer Spektrum, 2023, ISBN 978-3-662-67811-4, S. 12–17.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Additionsverfahren (Mathematik) - Versionsgeschichte

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