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{{Begriffsklärungshinweis}}

Die '''Addition''' ({{laS|additio}}, von ''addere'' „hinzufügen“), umgangssprachlich auch '''Plus-Rechnen''' oder '''Und-Rechnen''' genannt, ist eine der vier [[Grundrechenart]]en in der [[Arithmetik]]. Die Addition basiert auf dem Vorgang des [[Zählen]]s. Deshalb verwendet man für den Vorgang, eine Addition auszuführen, neben '''Addieren''' auch den Ausdruck '''Zusammenzählen'''. Das [[Rechenzeichen]] für die Addition ist das [[Pluszeichen]] „+“. Die Addition bildet zusammen mit der [[Subtraktion]] die Rechenart 1. Stufe, wegen der Rechenzeichen + und - auch ''Strichrechnung'' genannt.<ref>H. Athen, J. Bruhn: Lexikon der Schulmathematik Band 1, Aulis Verlag, Köln 1976, S. 25</ref>

Beispiel: ''2 + 3 = 5'' wird gelesen als „zwei plus drei (ist) gleich fünf“ oder [[umgangssprachlich]] „zwei und drei ergibt fünf“.

== Sprachregelungen ==
Die Elemente einer Addition werden '''Summanden''' und das Ergebnis [[Summe]] genannt:

: erster Summand + zweiter Summand = Summe

Bis hinein ins [[Geschichte der Mathematik|20. Jahrhundert]] konnten sich außerdem die Bezeichnungen ''Augend'' für den ersten und ''Addend'' für den zweiten Summanden halten, welche inzwischen sehr selten sind:

: Augend + Addend = Summe

== Grundregeln und Eigenschaften ==
[[Datei:AdditionRules-2.svg|mini|Zusammenhang zwischen den Vorzeichen der Summe und den Summanden]]

Die Addition kann in allen [[Zahlenbereich]]en ausgeführt werden.

=== Kommutativgesetz ===
Der Wert einer [[Summe]] ist unabhängig von der Reihenfolge der Summanden. Sowohl <math>6 + 7</math> als auch <math>7 + 6</math> ergeben als Ergebnis <math>13</math>. Man nennt diese Eigenschaft das [[Kommutativgesetz]] oder Vertauschungsgesetz der Addition. Für alle [[Zahl]]en <math>a</math> und <math>b</math> gilt damit
:<math>a + b = b + a</math>.

=== Assoziativgesetz ===
Bei der Addition dürfen Klammern umgesetzt oder weggelassen werden, ohne dass sich der Wert der Summe ändert. Man nennt diese Eigenschaft das [[Assoziativgesetz]] oder Verbindungsgesetz der Addition. Für alle Zahlen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> gilt:
:<math>(a + b) + c = a + (b + c)</math>.
Da es bei der Addition mehrerer Zahlen daher auf die [[Klammer (Zeichen)|Klammern]] nicht ankommt, lässt man sie oft weg und schreibt kurz
:<math>a + b + c</math>.

=== Neutralität der Null ===
Die Zahl [[Null]] mit dem Symbol <math>0</math> ist das [[Neutrales Element|neutrale Element]] der Addition. Für alle Zahlen <math>a</math> gilt
:<math>a + 0 = 0 + a = a.</math>
Die Null ist die einzige Zahl mit dieser Eigenschaft.

=== Gegenzahl ===
Die Gegenzahl (bzw. das additive [[Inverses Element|Inverse]]) zu einer Zahl <math>a</math> ist diejenige Zahl <math>b</math> für die <math>a + b = 0</math> gilt. Zum Beispiel ist <math>-2</math> die Gegenzahl zu <math>2</math>. Man schreibt <math>-a</math> für die Gegenzahl von <math>a</math> und es gilt dann

:<math>a + (-a) = (-a) + a = 0</math>.

=== Distributivgesetze ===
Im Zusammenspiel der Addition mit der [[Multiplikation]] gelten die [[Distributivgesetz]]e. Für alle Zahlen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> gilt
:<math>a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)</math>,
:<math>(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)</math>.

Demnach kann durch Ausmultiplizieren ein Produkt in eine Summe umgewandelt werden und umgekehrt durch [[Ausklammern]] eine Summe in ein Produkt.

=== Kürzungsregeln ===
Durch Addition einer Zahl zu beiden Seiten einer [[Gleichung]] oder [[Ungleichung]] ändert sich der [[Wahrheit]]sgehalt einer Gleichung nicht. Für alle Zahlen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> gilt
:<math>a = b \; \Leftrightarrow \; a + c = b + c</math>,
:<math>a < b \; \Leftrightarrow \; a + c < b + c</math>,
:<math>a > b \; \Leftrightarrow \; a + c > b + c</math>.
Dieses Addieren ist ein Spezialfall einer [[Äquivalenzumformung]].

=== Lösung von Gleichungen ===
Die [[Umkehroperation]] der Addition ist die [[Subtraktion]]. Zur Subtraktion gelangt man über die Frage nach der Lösung elementarer Gleichungen der Form

:<math>a + x = b</math>,

wobei <math>a</math> und <math>b</math> gegebene Zahlen sind und die Zahl <math>x</math> gesucht ist. Wegen der Kürzungsregel ist die Lösung eindeutig, sofern sie existiert. Somit kann <math>x</math> als Definition für die Subtraktion <math>b - a</math> dienen. Es gilt dann

:<math>a + (b-a) = b</math>.

In den natürlichen Zahlen ist die Gleichung <math>a + x = b</math> genau dann lösbar, wenn <math>a \leq b</math> ist. Für <math>a \geq b</math> ist jedoch die umgekehrte Gleichung

:<math>b + x = a</math>

lösbar. In den ganzen Zahlen ist erstere Gleichung immer lösbar und es gilt

:<math>x = b - a = b + (-a)</math>,

was durch Einsetzen und Anwendung der Rechenregeln als [[Lösung (Mathematik)|Lösung]] verifiziert werden kann.

== Definition der Addition aus den Peano-Axiomen ==
Ausgehend von den [[Peano-Axiome]]n lässt sich die Addition auf den ''natürlichen Zahlen'' folgendermaßen definieren:
* <math>n + 0 = n</math>
* <math>n + m' = (n + m)'</math>
<math>n'</math> bezeichnet den [[Nachfolger (Mathematik)|Nachfolger]] von <math>n</math>, der aufgrund der Peano-Axiome eindeutig bestimmt ist. Da 1 der Nachfolger von 0 ist, gilt
* <math>n + 1 = n + 0' = (n+0)' = n'.</math>
Der Nachfolger von <math>n</math> stimmt also mit <math>n+1</math> überein.

== Schriftliche Addition ==
Die schriftliche Addition ist eines der grundlegenden Rechenverfahren, die bereits in den ersten Grundschuljahren erlernt werden. Die Beherrschung der schriftlichen Addition ist auch Voraussetzung für das Erlernen der schriftlichen Multiplikation.

Bei dem Verfahren, das u. a. im deutschsprachigen Raum an den Grundschulen gelehrt wird, werden die zu addierenden Zahlen in der Darstellung des [[Dezimalsystem]]s so übereinander geschrieben, dass entsprechende Stellen untereinander stehen (Einer über Einern, Zehner über Zehnern usw.). Die Ziffern werden dann – von rechts nach links – Stelle für Stelle addiert; das Zwischenergebnis wird unten notiert, jedoch nur die [[Einerstelle]]. Ist das Zwischenergebnis mehrstellig, so entstehen [[Übertrag|Überträge]], die beim Abarbeiten der jeweils nächsten Spalte berücksichtigt werden müssen. Für die Durchführung des Verfahrens ist es erforderlich, Zahlen zwischen 0 und 9 miteinander addieren zu können.

Beispiel:
<gallery>
Traditional Addition Step 1.JPG|2+1=3|verweis=datei:Traditional_Addition_Step_1.JPG
Traditional Addition Step 2.JPG|5+7=12<br />Die 1 wird als Übertrag der nächsten (links benachbarten) Ziffernspalte zugeschlagen.|verweis=datei:Traditional_Addition_Step_2.JPG
Traditional Addition Step 3.JPG|1+6+4=11|verweis=datei:Traditional_Addition_Step_3.JPG
</gallery>

=== Schriftliches Addieren von Dezimalzahlen ===
Hierbei schreibt man die Zahlen so untereinander, dass das [[Dezimalkomma]] genau untereinander steht. Man kann sich das Komma wegdenken und später beim Ergebnis an derselben Stelle wieder dazuschreiben. Falls die Summanden unterschiedlich viele Nachkommastellen besitzen, werden an die Nachkommastellen so viele Nullen angefügt, bis alle Summanden die gleiche Anzahl an Nachkommastellen haben.

== Weitere Notationsmöglichkeit ==
Summen können auch mittels des Summensymbols <math>\Sigma</math> (nach dem großen [[Griechisches Alphabet|griechischen Buchstaben]] [[Sigma]]) notiert werden:

:<math> \sum_{i=m}^n x_i = x_m + x_{m+1} + x_{m+2} + \dotsb + x_{n-1} + x_n </math>

Unter das Sigma wird die Zähl[[Variable (Mathematik)|variable]] (in diesem Fall <math>i</math>) geschrieben. Ihr kann ein Startwert (hier: <math>m</math>) durch die Verbindung mit einem [[Gleichheitszeichen]] zugewiesen werden. Erfolgt diese Zuweisung nicht, so bedeutet das eine Summierung über alle möglichen <math>i</math>. Über dem Sigma steht der Endwert (hier: <math>n</math>). Zwischen dem Startwert und dem Endwert wird die Zählvariable jeweils um Eins erhöht. Um die Summe berechnen zu können, müssen <math>n</math> und <math>m</math> ganze Zahlen sein. Im Fall <math>n=m</math> besteht die Summe aus einem Summanden, im Fall <math>n<m</math> wird sie als 0 definiert.

Bildet man eine Summe aus unendlich vielen Ausdrücken, so wird diese unendliche [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] genannt. Ein Beispiel ist die [[Leibniz-Reihe]]:

:<math>\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dots = \frac{\pi}{4}</math>.

Das Symbol <math>\infty</math> steht dabei für [[unendlich]]. Der Umgang mit dem Summensymbol sowie einige häufig vorkommende Summen werden im Artikel [[Summe]] beschrieben.

== Siehe auch ==
* [[Konstruktion_mit_Zirkel_und_Lineal#Algebraische_Operationen|Addition zweier Zahlen mit Zirkel und Lineal]]
* [[Addierstift]]
* [[Addierwerk]]
* [[Pythagoreische Addition]]
* [[Rechenmaschine]]
* [[Zahlenmauer]]
* [[Zahlenschieber]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Addition}}
{{Wiktionary}}
{{Wiktionary|addieren}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4296282-1}}

[[Kategorie:Addition| ]]

Addition - Versionsgeschichte

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