imported>Petrus3743: /* Geometrische Konstruktionen */

2026-03-18T17:39:43Z

Geometrische Konstruktionen

Neue Seite

{{Dieser Artikel|befasst sich mit der geometrischen Figur '''Achteck'''. Für die scherzhaft so bezeichnete Bedürfnisanstalt siehe [[Café Achteck]].}}
[[Datei:Regular polygon 8 annotated.svg|rahmenlos|rechts|hochkant=1.2|Regelmäßiges (konvexes) Achteck]]

Ein '''Achteck''' (auch '''Oktogon''' oder '''Oktagon''', von lat. ''octogonum, octagonum, octagonon,'' von [[Altgriechische Sprache|griech.]] ὀκτάγωνον ''oktágōnon'') ist eine [[geometrische Figur]] und ein Vieleck ([[Polygon]]) mit acht [[Ecke]]n und acht Seiten. Achtecke lassen sich, wie alle Polygone, die keine [[Dreieck]]e sind, in [[Konvexe Menge|konvexe, konkave]] und [[Polygon#Weitere Typen|überschlagene]] Achtecke einteilen. Im Abschnitt „Variationen“ wird dies näher beschrieben und im Anschluss daran das regelmäßige Achteck ausführlich dargestellt.

== Variationen ==
[[Datei:Achtecke.svg|mini|hochkant=0.8|Bild 2<br />'''Oben:''' konkaves Achteck<br />'''Unten:''' überschlagenes Achteck]]
<div class="tright" style="clear:none;">[[Datei:01-Achteck-unregelmäßig.svg|mini|hochkant=0.8|Bild 1<br />Unregelmäßiges Achteck]]</div>
Das Achteck ist darstellbar als:
* konvexes Achteck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Achteck kann [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßig]] (Einleitungsbild) oder unregelmäßig (Bild 1) sein.
:* Das regelmäßige Achteck ist bestimmt durch acht Punkte auf einem virtuellen oder realen Kreis. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten [[Strecke (Geometrie)|Strecken]], auch ''Seiten'' oder ''Kanten'' genannt, verbunden.
* konkaves Achteck (Bild 2), in dem mindestens ein [[Innenwinkel]] größer als 180° ist.
* überschlagenes Achteck (Bild 2): Ein überschlagenes Achteck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
[[Datei:01-Sehnenachteck.svg|mini|hochkant=0.8|Bild 4<br />Sehnenachteck]]
<div class="tright" style="clear:none;">[[Datei:01-Achteck-Stern-8-3-5.svg|mini|hochkant=0.8|Bild 3<br />Regelmäßiges überschlagenes Achteck,<br />Stern <math>\left\{8/3\right\}{,}\ \left\{8/5\right\}</math>]]</div>

:* Das regelmäßige überschlagene Achteck (Bild 3) ergibt sich, wenn beim Verbinden der acht [[Eckpunkt]]e jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten [[Sehne (Geometrie)|Sehnen]] gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen [[Stern (Geometrie)|Sterne]] mit [[Schläfli-Symbol]]en <math>\left\{n/k\right\}</math>, wobei <math>n</math> die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder <math>k</math>-te [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] verbunden wird.

::Es gibt nur einen regelmäßigen Achtstrahlstern, auch [[Achterstern]] oder ''Oktogramm'' genannt.

::Die „Sterne“ mit den Symbolen {8/2} und {8/6} sind [[Quadrat]]e. Legt man diese zwei Quadrate mit ihren Achs- und Diagonallinien übereinander und dreht sie anschließend relativ zueinander um 45°, siehe die weißen Dreiecke im Stern, ergibt sich ein [[Achtort]].
* Sehnenachteck (Bild 4), in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen [[Umkreis]] liegen, aber die Seitenlängen möglicherweise ungleich sind.
:Ein besonderes Sehnenachteck ist das sog. Putnam-Achteck, das 1978 in der [[William Lowell Putnam Competition]], einem bedeutenden Mathematikwettbewerb in den USA, als Aufgabe präsentiert wurde.<ref>[https://josmfs.net/wordpress/wp-content/uploads/2019/04/Putnam-Octagon-Problem-181112.pdf Putnam Octagon Problem] abgerufen am 8. August 2023</ref> Es besitzt vier aufeinanderfolgende Seiten der Längenmaßzahl 3 und weitere vier aufeinanderfolgende Seiten der Längenmaßzahl 2 (Bild 5). Seine Flächenmaßzahl beträgt nach Umordnung der Teildreiecke und Anwendung des Satzes des Pythagoras (Bild 6)
:<math>(2\cdot\sqrt{2}+3)^2-4\cdot\frac{1}{2} \cdot \left( \sqrt{2} \right)^2=12\cdot\sqrt{2}+13</math>.<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte'', Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag [[Berlin]] [[Heidelberg]] 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 160: ''Die Fläche eines Putnam-Achtecks (Problem B1, 39. William Lowell Putnam-Mathematik-Wettbewerb 1978)''</ref>
<div style="float:left;">[[Datei:Putnam-Achteck 1.svg|mini|hochkant=0.75|Bild 5<br />Putnam-Achteck mit Umkreis]]</div>
<div style="float:left;">[[Datei:Putnam-Achteck 2.svg|mini|hochkant=0.8|Bild 6<br />Putnam-Achteck nach Umordnung der Teildreiecke]]</div>
{{Absatz}}
== Regelmäßiges Achteck ==
=== Formeln ===
{{Hauptartikel|Regelmäßiges Polygon#Kenngrößen|titel1=Regelmäßiges Polygon - Kenngrößen}}
{| class="wikitable"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF"| Mathematische Formeln zum regelmäßigen Achteck
|-
|'''[[Kreiswinkel|Zentriwinkel]]'''
|<math> \alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ </math>
| rowspan="10" |[[Datei:Achteck.svg|rahmenlos|hochkant=1.3|regelmäßiges Achteck mit dessen Größen]]
|-
|'''[[Innenwinkel]]'''
|<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 135^\circ </math>
|-
|'''[[Inkreis]]radius'''
|<math> r_i = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \cdot a \approx 1{,}207 \cdot a </math>
|-
|'''[[Umkreis]]radius'''
|<math> r_u = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \cdot a \approx 1{,}307 \cdot a </math>
|-
|'''Radiusverhältnis'''
|<math> \frac{r_i}{r_u} = \frac12\sqrt{2+\sqrt2}\approx 0{,}92388</math>
|-
| rowspan="3" |Länge der '''[[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]]'''
|<math> d_1 = 2 \cdot r_\mathrm u = \sqrt{4 + 2 \sqrt{2}} \cdot a \approx 2{,}613 \cdot a </math>
|-
|<math> d_2 = 2 \cdot r_\mathrm i = (1 + \sqrt{2}) \cdot a \approx 2{,}414 \cdot a</math>
|-
|<math> d_3 = \sqrt{2} \cdot r_\mathrm u = \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot a \approx 1{,}848 \cdot a </math>
|-
| rowspan="2" |'''[[Flächeninhalt]]'''
|<math> A = (2 + 2 \cdot \sqrt{2}) \cdot a^2 \approx 4{,}828 \cdot a^2</math>
|-
|<math> A = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot r_\mathrm u^2 \approx 2{,}828 \cdot r_\mathrm u^2</math>
|}

=== Flächenberechnung ===
Zerlege das regelmäßige Achteck in 8 [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklige Dreiecke]]. Der von deren Schenkeln eingeschlossene [[Winkel]] beträgt 360°/8 = 45°. Die beiden Basiswinkel des [[Dreieck]]es betragen je 67,5°. Die Höhe halbiert das gleichschenklige Dreieck. Es entsteht durch Einzeichnen der [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] ein [[rechtwinkliges Dreieck]] mit den Winkeln 67,5°, 22,5° und 90°. Folgende Lösungsansätze gehen von diesem rechtwinkligen Dreieck aus, dabei gilt:

* <math>a</math> ist die Seitenlänge des Achtecks.
* <math>a'</math> ist die halbe Seitenlänge des Achtecks.
* <math>r_\mathrm i</math> ist der [[Radius]] des [[Inkreis]]es.
* <math>r_\mathrm u</math> ist der Radius des [[Umkreis]]es.
* <math>A</math> ist der [[Flächeninhalt]] des Achtecks.
* <math>A'</math> ist der Flächeninhalt des [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecks]].

'''Gegeben sei der Radius <math>r_\mathrm i</math> des Inkreises:'''<br />Der gesuchte Schenkel (Gegenkathete zum spitzen Winkel) lässt sich durch den [[Tangens und Kotangens|Tangens]] von 22,5° ermitteln:

:<math>a' = r_\mathrm i \cdot \tan 22{,}5^\circ</math>

Den [[Flächeninhalt]] des [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecks]] erhält man durch

:<math>A' = \frac{a' \cdot r_\mathrm i}{2} = \frac{(r_\mathrm i \cdot \tan 22{,}5^\circ) \cdot r_\mathrm i}{2} = \frac{r_\mathrm i^2 \cdot \tan 22{,}5^\circ}{2}</math>

Das [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklige Dreieck]] hat die doppelte Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, das Achteck die achtfache Fläche des gleichschenkligen Dreiecks:

:<math>A = 2 \cdot 8 \cdot A' = 16 \cdot \left(\frac{r_\mathrm i^2 \cdot \tan 22{,}5^\circ}{2}\right) = 8 \cdot r_\mathrm i^2 \cdot \tan 22{,}5^\circ</math>

'''Gegeben sei die Seitenlänge <math>a</math> des Achtecks:'''<br />Analog zur obigen Betrachtung lässt sich der [[Radius]] <math>r_\mathrm i</math> des [[Inkreis]]es mit Hilfe des [[Tangens und Kotangens|Tangens]] von 22,5° ermitteln, <math>a'</math> sei die Hälfte von <math>a</math>:

:<math>r_\mathrm i = \frac{a'}{\tan 22{,}5^\circ}</math>

Die [[Flächeninhalt]] des [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecks]] erhält man durch

:<math>A' = \frac{a' \cdot r_\mathrm i}{2} = \frac{a'^2}{2 \cdot \tan 22{,}5^\circ}</math>

Setzt man <math>A'</math> in die Formel für die Gesamtfläche ein, erhält man

:<math>A = 8 \cdot 2 \cdot A' = 16 \cdot \frac{a'^2}{2 \cdot \tan 22{,}5^\circ} = \frac{8 \cdot a'^2}{\tan 22{,}5^\circ} = \frac{2 \cdot a^2}{\tan 22{,}5^\circ}</math>

'''Gegeben sei der Radius <math>r_\mathrm u</math> des Umkreises:'''<br />Das [[Verhältnis (Mathematik)|Verhältnis]] <math>a'</math> zu <math>r_\mathrm u</math> entspricht dem [[Sinus und Kosinus|Sinus]] des [[Spitzer Winkel|spitzen Winkels]]:

:<math>a' = r_\mathrm u \cdot \sin 22{,}5^\circ</math>

Der [[Radius]] <math>r_\mathrm i</math> des [[Inkreis]]es beträgt

:<math>r_\mathrm i = \frac{a'}{\tan 22{,}5^\circ} = \frac{r_\mathrm u \cdot \sin 22{,}5^\circ}{\tan 22{,}5^\circ} = r_\mathrm u \cdot \cos 22{,}5^\circ</math>

Die [[Flächeninhalt]] des [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecks]] erhält man durch

:<math>A' = \frac{a' \cdot r_\mathrm i}{2} = \frac{r_\mathrm u^2 \cdot \sin 22{,}5^\circ \cdot \cos 22{,}5^\circ}{2}</math>

Setzt man <math>A'</math> in die Formel für die Gesamtfläche ein, erhält man

:<math>A = 8 \cdot 2 \cdot A' = 16 \cdot \left(\frac{r_\mathrm u^2 \cdot \sin 22{,}5^\circ \cdot \cos 22{,}5^\circ}{2}\right) = 8 \cdot r_\mathrm u^2 \cdot \sin 22{,}5^\circ \cdot \cos 22{,}5^\circ</math>

bzw. mit den [[Additionstheoreme (Trigonometrie)|Additionstheoremen]] für die [[Winkelfunktionen]]

:<math>A = 4\cdot r_\mathrm u^2 \cdot \sin 45^\circ</math>

=== Geometrische Konstruktionen ===
==== Bei gegebenem Umkreis ====

Konstruieren kann man ein regelmäßiges Achteck, indem man bei einem [[Quadrat]] die [[Symmetrieachse]]n mithilfe der [[Mittelsenkrechte]]n <math>M_\mathrm S</math> konstruiert und deren Schnittpunkte mit dem [[Umkreis]], mit den Ecken des Quadrats verbindet.

Eine Alternative zeigt die Animation.
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01-Achteck.svg|mini|220px|Achteck, konstruiert aus einem Quadrat, Umkreisdurchmesser durch Diagonale <math>d_1</math> vorgegeben]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:OctagonConstructionAni.gif|mini|Konstruktion eines regelmäßigen Achtecks bei gegebenem Umkreis]]</div>
{{Absatz}}
==== Bei gegebener Seitenlänge ====
[[Datei:01-Achteck-Seite-gegeben.svg|hochkant=1.1|mini|Konstruktion eines regelmäßigen Achtecks bei gegebener Seitenlänge, [[:Datei:01-Achteck-Seite-gegeben Animation.gif|siehe Animation.]]]]
Die Konstruktion ist nahezu gleich der des regelmäßigen [[Sechzehneck#Bei gegebener Seitenlänge|Sechzehnecks bei gegebener Seitenlänge]].

Zuerst werden die beiden Endpunkte der [[Seitenlänge]] <math>a</math> mit <math> A</math> und <math>B</math> bezeichnet. Beide sind [[Eckpunkt]]e des entstehenden Achtecks. Es folgen ein [[Kreisbogen]] mit dem [[Radius]] <math>a</math> um den [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>B</math> und ein zweiter mit gleichem Radius um den Punkt <math>A</math>, dabei ergeben sich die beiden [[Schnittpunkt]]e <math>I</math> und <math>J</math>. Es geht weiter mit der [[Halbgerade]]n ab <math>I</math> durch <math>J</math> und dem Zeichnen einer [[Parallelität (Geometrie)|Parallelen]] zu <math>\overline{IJ} </math> ab dem Punkt <math>B</math>, die den Kreisbogen um <math>B</math> in <math>K</math> schneidet. Nun wird der Punkt <math>K</math> mit <math>A</math> verbunden, dabei entsteht der Schnittpunkt <math>L</math>. Anschließend wird die Halbgerade ab <math>B</math> durch <math>L</math> gezogen, dabei schneidet sie die Halbgerade ab <math>I</math> in <math>M</math>. Somit ist der [[Mittelpunkt]] <math>M</math> des entstehenden Achtecks bestimmt. Die zweite Halbgerade ab <math>A</math> durch <math>M</math> führt zum [[Zentriwinkel]] <math>45 ^\circ </math>. Nach dem Einzeichnen des [[Umkreis]]es um <math>M</math> und durch <math>A</math> ergeben sich die Ecken <math>C, E, F</math> und <math>H</math> des Achtecks. Jetzt die zwei noch fehlende Seitenlängen <math>a</math> auf den Umkreis abtragen, sie ergeben die Ecken <math>D</math> und <math>G</math>, und abschließend die benachbarten Ecken zu einem fertigen Achteck miteinander verbinden.

Der [[Mittelpunktswinkel]] <math>\mu</math> mit der Winkelweite <math>45^\circ</math> ergibt sich aus den ähnlichen [[Dreieck]]en <math>\Delta BLA \sim \Delta ABM:</math>
: <math>\mu = \angle{BAL} = \angle{AMB} = 45^\circ.</math>

=== Parkettierungen mit regelmäßigen Achtecken ===
Eine bestimmte [[archimedische Parkettierung]] enthält regelmäßige Achtecke und [[Quadrat]]e. Diese [[Parkettierung]] ist periodisch, [[Drehsymmetrie|drehsymmetrisch]] und [[Translationssymmetrie|translationssymmetrisch]] und enthält ausschließlich [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßige Polygone]].
<gallery>
Tiling Semiregular 4-8-8 Truncated Square.svg|[[Archimedische Parkettierung]] mit regelmäßigen Achtecken und Quadraten
</gallery>

=== Polyeder mit regelmäßigen Achtecken ===
Einige [[Polyeder]] haben regelmäßige Achtecke als [[Seitenfläche]]n, zum Beispiel der [[Hexaederstumpf]] und das [[Großes Rhombenkuboktaeder|Große Rhombenkuboktaeder]]. Die genannten Polyeder sind [[Archimedischer Körper|archimedische Körper]].
<gallery>
Truncatedhexahedron.svg|[[Hexaederstumpf]]
Truncatedcuboctahedron.jpg|[[Großes Rhombenkuboktaeder]]
</gallery>

=== Vorkommen ===
<gallery heights="160" widths="200" perrow="5">
Main mosaic ceiling, Aachen Cathedral, Germany.jpg|[[Oktogon (Architektur)]]
Table pliante.jpg|Gartentisch
Berlin Cafe Achteck.jpg|[[Café Achteck]]
Weltliche Schatzkammer Wien (169)pano2.jpg|[[Reichskrone]] in der [[Wiener Schatzkammer]]
STOP sign.jpg|[[Stoppschild]]
</gallery>

== Siehe auch ==
* [[Silberner Schnitt]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Octagons|Achteck}}
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4761762-7}}

[[Kategorie:Polygon]]

Achteck - Versionsgeschichte

imported>Petrus3743: /* Geometrische Konstruktionen */