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2026-03-02T21:29:44Z

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Die '''Achsenabschnittsform''' ist in der [[Mathematik]] eine spezielle Form einer [[Geradengleichung]] oder [[Ebenengleichung]]. Bei der Achsenabschnittsform wird eine [[Gerade]] in der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] oder eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] über ihre ''Achsenabschnitte'' beschrieben. Das sind die Stellen, an denen die Gerade bzw. Ebene die Achsen des Koordinatensystems schneidet.

== Achsenabschnittsform einer Geraden in der Ebene ==
[[Datei:Line equation qtl6.svg|mini|Achsenabschnittsform einer Geradengleichung]]

=== Darstellung ===
In der Achsenabschnittsform wird eine Gerade in der Ebene mithilfe der Achsenabschnitte <math>x_0</math> und <math>y_0</math> beschrieben. Die Gerade besteht dann aus denjenigen Punkte, deren [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesische Koordinaten]] <math>(x,y)</math> die Gleichung

:<math>\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} = 1</math>.

erfüllen.<ref>{{Literatur |Autor=Arnfried Kemnitz |Titel=Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2013 |ISBN=978-3-663-10763-7 |Seiten=151 |Online=https://www.google.de/books/edition/Mathematik_zum_Studienbeginn/woqIBwAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=achsenabschnittsform+gerade&pg=PA251&printsec=frontcover |Abruf=2025-03-16}}</ref> Verläuft die Gerade parallel zu einer der Koordinatenachsen, dann fällt der jeweilige Schnittpunkt und damit auch der entsprechende Term in der Achsenabschnittsform weg. Für eine Parallele zur <math>x</math>-Achse lautet die Achsenabschnittsform also <math>y/y_0 = 1</math> und für eine Parallele zur <math>y</math>-Achse <math>x/x_0 = 1</math>. Die Achsenabschnittsform ist nicht definiert, wenn die Gerade durch den [[Koordinatenursprung]] verläuft.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Michael Jung |Titel=Ebene Trigonometrie & Analytische Geometrie: Grundlagen und Anwendungen für Geodäsie, Kartographie und verwandte Disziplinen |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2024 |ISBN=978-3-658-03262-3 |Seiten=188 |Online=https://www.google.de/books/edition/Ebene_Trigonometrie_Analytische_Geometri/1Wo0EQAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=achsenabschnittsform+gerade&pg=PA189&printsec=frontcover |Abruf=2025-03-16}}</ref>

Wird die Achsenabschnittsform nach <math>y</math> aufgelöst, ergibt sich

:<math>y = -\frac{y_0}{x_0} \cdot x + y_0</math>,

wobei das Verhältnis <math>-y_0 / x_0</math> der [[Steigung]] der Geraden entspricht.

=== Beispiel ===
Die Gerade, welche die <math>x</math>-Achse an der Stelle <math>x_0=6</math> und die <math>y</math>-Achse an der Stelle <math>y_0=3</math> schneidet, wird beschrieben durch die Gleichung
:<math>\frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1</math>.

=== Anschaulich-geometrische Herleitung ===
[[Datei:Achsenabschnittsform-Herleitung-geometrisch.svg|mini|Herleitung mithilfe des Strahlensatzes]]
Die Achsenabschnittsform lässt sich anschaulich-geometrisch mithilfe des [[Strahlensatz|2. Strahlensatzes]] herleiten:<ref>{{Literatur |Titel=Lehr- und Übungsbuch Mathematik. Band III: Analytische Geometrie, Vektorrechnung und Infinitesimalrechnung |Auflage=10. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Ort= |Datum=1978 |ISBN=3-87144-041-8 |Seiten=34}}</ref> Ist <math>g</math> eine Gerade mit den Achsenabschnitten <math>x_0</math> und <math>y_0</math> und <math>P(x|y)</math> ein Punkt auf der Geraden, so gilt (siehe Abbildung)

:<math>\frac{y}{y_0} = \frac{x_0 - x}{x_0}</math>.

Hieraus folgt mit elementaren Termumformungen die Abschnittsgleichung

:<math>\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} = 1</math>.

=== Algebraische Herleitung ===
Aus der [[Allgemeine Koordinatenform#Allgemeine Koordinatenform einer Geradengleichung|allgemeinen Koordinatenform]] <math>a x + b y = c \;</math> einer Gerade erhält man mittels Division durch <math>c</math><ref name=":0" />
:<math>\frac{a x}{c} + \frac{b y}{c} = 1 \quad</math>bzw. <math>\quad \frac{x}{\;\frac{c}{a} \;} + \frac{y}{\; \frac{c}{b} \;} = 1</math>.
Setzt man nun noch <math>x_0 = c/a</math> und <math>y_0 = c/b</math>, so hat die letzte Gleichung die Achsenabschnittsform.

Aus den weiteren Formen von Geradengleichungen, der [[Normalenform#Normalenform einer Geradengleichung|Normalenform]], der [[Hessesche Normalform#Hessesche Normalform einer Geradengleichung|Hesseschen Normalform]], der [[Parameterform#Parameterform einer Geradengleichung|Parameterform]] und der [[Zweipunkteform]], wird zunächst die zugehörige allgemeine Koordinatenform der Gerade ermittelt (siehe [[Koordinatenform#Berechnung|Berechnung der allgemeinen Koordinatenform]]) und daraus dann die Achsenabschnittsform.

== Achsenabschnittsform einer Ebene ==
[[Datei:Plane equation qtl5.svg|mini|Achsenabschnittsform einer Ebenengleichung]]

=== Darstellung ===
Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Achsenabschnittsform durch drei reelle Zahlen <math>x_0</math>, <math>y_0</math> und <math>z_0</math> beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren kartesische Koordinaten <math>(x,y,z)</math> die Gleichung
:<math>\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} + \frac{z}{z_0} = 1</math>
erfüllen. Hierbei ist <math>x_0</math> die Stelle, an welcher die Ebene die <math>x</math>-Achse schneidet, und analoge Bedeutung haben die Zahlen <math>y_0</math> und <math>z_0</math>.<ref name=":1">{{Literatur |Autor=Franka Miriam Brückler |Titel=Mathematische Grundlagen der Kristallographie: für Mathematiker und Naturwissenschaftler |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2019 |ISBN=978-3-662-58959-5 |Seiten=35 |Online=https://www.google.de/books/edition/Mathematische_Grundlagen_der_Kristallogr/bieeDwAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=achsenabschnittsform+ebene&pg=PA35&printsec=frontcover |Abruf=2025-03-16}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Michael Jung |Titel=Ebene Trigonometrie & Analytische Geometrie: Grundlagen und Anwendungen für Geodäsie, Kartographie und verwandte Disziplinen |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2024 |ISBN=978-3-658-03262-3 |Seiten=590 |Online=https://www.google.de/books/edition/Ebene_Trigonometrie_Analytische_Geometri/1Wo0EQAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=achsenabschnittsform+ebene&pg=PA875&printsec=frontcover |Abruf=2025-03-16}}</ref> Die Schnittpunkte selbst werden ''Spurpunkte'' genannt, ihre Verbindungsstrecken liegen im Allgemeinfall auf den [[Spurgerade]]n und bilden das [[Spurdreieck]]. Liegt die Ebene parallel zu einer oder zwei Koordinatenachsen, dann fallen die jeweiligen Spurpunkte und damit auch die entsprechenden Terme in der Achsenabschnittsform weg. Die Achsenabschnittsform ist nicht definiert, wenn die Ebene den Koordinatenursprung enthält.

=== Beispiel ===
Die Ebene, welche die <math>x</math>-Achse an der Stelle <math>x_0=2</math>, die <math>y</math>-Achse an der Stelle <math>y_0=3</math> und die <math>z</math>-Achse an der Stelle <math>z_0=-1</math> schneidet, wird beschrieben durch die Gleichung
:<math>\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z = 1</math>.
=== Algebraische Herleitung ===
Aus der [[Koordinatenform#Allgemeine Koordinatenform einer Ebenengleichung|allgemeinen Koordinatenform]] <math>ax+by+cz=d</math> einer Ebene erhält man die Achsenabschnittsform mittels Division durch <math>d</math> als
:<math>x_0 = \frac{d}{a}, ~ y_0 = \frac{d}{b}, ~ z_0 = \frac{d}{c}</math>.
Hat eine Ebene keinen Achsenabschnitt, da sie parallel zu einer Achse liegt, führt diese Rechnung zu einer Division durch null.<ref name=":1" />

Aus den weiteren Formen von Ebenengleichungen, der [[Normalenform#Normalenform einer Ebenengleichung|Normalenform]], der [[Hessesche Normalform#Hessesche Normalform einer Ebenengleichung|Hesseschen Normalform]], der [[Parameterform#Parameterform einer Ebenengleichung|Parameterform]] und der [[Dreipunkteform]], wird zunächst die zugehörige Koordinatenform der Ebene ermittelt (siehe [[Koordinatenform#Berechnung 2|Berechnung der Koordinatenform]]) und daraus dann die Achsenabschnittsform.

== Anwendung ==
Die Achsenabschnittsform wird beispielsweise in der [[Kristallographie]] bei den [[Millersche Indizes|Millerschen Indizes]] zur Bezeichnung von Kristallflächen verwendet.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Steffen Goebbels, Stefan Ritter
|Titel=Mathematik verstehen und anwenden
|Verlag=Springer
|Datum=2011
|ISBN=978-3-8274-2762-5}}
* Jens Kunath: ''Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I''. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2023, ISBN 978-3-662-67811-4, S. 217–219.

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Analytische Geometrie]]

Achsenabschnittsform - Versionsgeschichte

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