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2025-03-24T00:13:01Z

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In der Mathematik ist ein '''abstrakter Zellkomplex''' (auch ''abstrakter Zellenkomplex'') eine abstrakte Menge von „Zellen“ mit einer Binärrelation („enthalten im Abschluss von“) und einer Abbildung in die nichtnegativen [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] („Dimension“). Der Komplex heißt „abstrakt“, weil die „Zellen“ keine Teilmengen eines [[Euklidischer Raum|euklidischen Raumes]] sind, wie dies bei [[Simplizialkomplex]]en oder [[CW-Komplex]]en der Fall ist. Abstrakte Zellkomplexe spielen eine wichtige Rolle in der [[Bildverarbeitung|Bildanalyse]] und in der [[Computergrafik]].

== Motivation ==
In der Topologie verwendet man häufig (geometrische) Zellkomplexe, die aus (offenen oder abgeschlossenen) Zellen zusammengesetzt sind, d. h. Unterräumen homöomorph zu (offenen oder abgeschlossenen) Kugeln im euklidischen Raum. Meist wird vorausgesetzt, dass es sich um einen [[CW-Komplex]] handelt. (Ein noch speziellerer Begriff sind [[Simplizialkomplex]]e.) Unter anderem für Anwendungen in der Bildverarbeitung ist es aber nützlich, statt geometrischer Zellkomplexe abstrakt definierte Zellkomplexe zu verwenden.

== Definition ==
Ein abstrakter Zellkomplex <math>K=(S,\rho,dim)</math> ist gegeben durch
* eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>S</math>,
* eine [[binäre Relation]] <math>\rho</math> auf <math>S</math>,
* eine Funktion <math>dim:S\rightarrow\mathbb N\cup\left\{0\right\}</math>,
welche folgende Axiome erfüllen:
* aus <math>x\rho y</math> und <math>y\rho z</math> folgt <math>x\rho z</math>,
* aus <math>x\rho y</math> folgt <math>dim(x)<dim(y)</math>.
In der Regel wird nach Tucker noch folgendes weiteres Axiom vorausgesetzt:
* Wenn <math>x\rho z</math> und <math>dim(z)-dim(x)>1</math>, dann gibt es ein <math>y\in S</math> mit <math>x\rho y</math> und <math>y\rho z</math>.
Verschiedene Autoren verwenden noch zusätzliche weitere Axiome.

Elemente von <math>S</math> werden als Zellen bezeichnet. Im Spezialfall eines geometrischen Zellkomplexes ist <math>dim(x)</math> die Dimension der Zelle <math>x</math> und <math>x\rho y</math> bedeutet, dass die Zelle <math>x</math> im [[Abgeschlossene Hülle|Abschluss]] der Zelle <math>y</math> liegt.

== Geschichte ==
Die Idee eines abstrakten Zellkomplexes geht auf [[Johann Benedict Listing|J. Listing]] (1862)<ref>J. Listing: ''Der Census räumlicher Complexe.'' In: ''Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.'' Band 10, Göttingen 1862, S. 97–182.</ref> und [[Ernst Steinitz|E. Steinitz]] (1908)<ref>E. Steinitz: ''Beiträge zur Analysis.'' In: ''Sitzungsbericht Berliner Mathematischen Gesellschaft.'' Band 7, 1908, S. 29–49.</ref> zurück. Auch [[Albert William Tucker|A. W. Tucker]] (1933),<ref>A. W. Tucker: ''An abstract approach to manifolds.'' In: ''Annals Mathematics.'' Band 34, 1933, S. 191–243.</ref> [[Kurt Reidemeister|K. Reidemeister]] (1938),<ref>K. Reidemeister: ''Topologie der Polyeder und kombinatorische Topologie der Komplexe.'' Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1938.</ref> [[Pawel Sergejewitsch Alexandrow|P. S. Aleksandrov]] (1956)<ref>P. S. Aleksandrov: ''Combinatorial Topology.'' Graylock Press, Rochester 1956.</ref> sowie R. Klette und A. Rosenfeld (2004)<ref>R. Klette, A. Rosenfeld: ''Digital Geometry.'' Elsevier, 2004.</ref> beschreiben abstrakte Zellkomplexe. Zahlreiche Arbeiten zur Bildverarbeitung verwenden abstrakte Zellkomplexe, Beispiele dafür sind die Lehrbücher von Pavlidis,<ref>Theodosios Pavlidis: ''Structural pattern recognition.'' (Springer Series in Electrophysics, Vol. 1). Springer-Verlag, Berlin/New York 1977, ISBN 3-540-08463-0.</ref> Rosenfeld<ref>Azriel Rosenfeld: ''Picture languages. Formal models for picture recognition.'' (Computer Science and Applied Mathematics). Academic Press, New York/London, 1979, ISBN 0-12-597340-3.</ref> und Serra.<ref>J. Serra: ''Image analysis and mathematical morphology.'' English version revised by Noel Cressie. Academic Press, London 1984, ISBN 0-12-637240-3.</ref> Bei Kovalevsky<ref>Kovalevsky, V., Geometry of Locally Finite Spaces, ISBN 978-3-9812252-0-4</ref> wird eine axiomatische Theorie der lokal endlichen topologischen Räume als Verallgemeinerung der abstrakten Zellkomplexe vorgeschlagen. In Kovalevsky<ref>Kovalevsky, V., Image Processing with Cellular Topology, Springer 2021, ISBN 978-981-16-5771-9</ref> werden effiziente Algorithmen mit Verwendung der abstrakten Zellkomplexe für die Verfolgung, Codierung und Polygonisierung von Begrenzungen, wie auch für die [[Kantendetektion]] beschrieben.

== Literatur ==
* [http://www.jstor.org/stable/1968201 Tucker: An abstract approach to manifolds]
* [https://researchspace.auckland.ac.nz/bitstream/handle/2292/2723/CITR-TR-60.pdf?sequence=1 Klette: Cell complexes through time]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Topologie]]

Abstrakter Zellkomplex - Versionsgeschichte

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