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2025-03-22T08:19:54Z

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Die '''Abstrakte Algebra''' ist das Teilgebiet der [[Mathematik]], das sich mit einzelnen [[Algebraische Struktur|algebraischen Strukturen]] wie [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]], [[Ring (Algebra)|Ringen]], [[Körper (Algebra)|Körpern]], [[Modul (Mathematik)|Moduln]] und nicht zuletzt den [[Algebra über einem Körper|Algebren]] beschäftigt<ref>{{Literatur |Autor=Gregory T. Lee |Titel=Abstract algebra : an introductory course |Ort=Cham |Datum=2018 |ISBN=978-3-319-77649-1}}</ref> und deren Eigenschaften untersucht. Die Bezeichnung „abstrakte“ Algebra dient der Abgrenzung zu anderen [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebieten der Mathematik]], die, historisch bedingt, ebenfalls als [[Algebra]] bezeichnet werden,<ref>{{Literatur |Autor=H.-W. Alten, A. Djafari Naini, B. Eick, M. Folkerts, H. Schlosser |Titel=4000 Jahre Algebra |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-38238-3 |DOI=10.1007/978-3-642-38239-0}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Jeremy Gray |Titel=A history of abstract algebra: from algebraic equations to modern algebra |Ort=Cham, Switzerland |Datum=2018 |ISBN=978-3-319-94773-0}}</ref> wie etwa die [[elementare Algebra]] der Schulmathematik.

In der [[Geschichte der Mathematik]] tauchten algebraische Strukturen zuerst in anderen Teilgebieten der Mathematik auf, wurden dann axiomatisch spezifiziert und schließlich als eigenständige Gebilde in der abstrakten Algebra untersucht. Deshalb hat die abstrakte Algebra viele Verbindungen zu allen Zweigen der Mathematik. Durch den abstrakten Zugang lassen sich beispielsweise übergeordnete [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]] entdecken, die dann in mehreren, eigentlich ganz verschiedenen Objekten existieren. Ein moderner Ansatz ist die [[Kategorientheorie]]. Anwendungen findet die abstrakte Algebra beispielsweise in der [[Darstellungstheorie]] oder bei [[Schema (algebraische Geometrie)|Schemata]].

Als erstes Lehrbuch der modernen abstrakten Algebra gilt das Werk ''[[Moderne Algebra]]'' von [[Bartel Leendert van der Waerden]], das aus den Vorlesungen von [[Emil Artin]] und [[Emmy Noether]] entstand.

Die Methoden der abstrakten Algebra werden insbesondere in der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]], [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] und [[Algebraische Zahlentheorie|algebraischen Zahlentheorie]] eingesetzt.

== Aufbau ==

Eine kurze Übersicht über die abstrakte Algebra und weiterführende Gebiete.

:[[Gruppentheorie]]
::[[Endliche Gruppe]]
::[[Geometrische Gruppentheorie]]
:[[Ringtheorie]]
::[[Kommutative Algebra]]
:[[Körpertheorie]]
::[[Körpererweiterung]]
:::[[Galoistheorie]]

Weiterführende Fachgebiete
:[[Algebraische Geometrie]]
:[[Algebraische Topologie]]
:[[Algebraische Zahlentheorie]]
:[[Darstellungstheorie]]
:[[Homologische Algebra]]
:[[Kategorientheorie]]
:[[Lie-Theorie]]

== Literatur ==
* ''dtv-Atlas zur Mathematik'', Bd. 1, 2. Auflage 1976, S. 70 ff.
* ''Abstract Algebra'', Pierre-Antoine Grillet, (2007, ISBN 978-0-387-71567-4)
* ''Algebra'', [[Serge Lang]] (2002, ISBN 978-0-387-95385-4)
* ''Abstract Algebra'', Gregory T. Lee (2018, ISBN 978-3-319-77648-4)
* Abstract Algebra, David R. Finston, Patrick J. Morandi (2014, ISBN 978-3-319-04497-2)

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathematik: Algebra}}

== Einzelnachweise ==
<references />
{{Normdaten|TYP=s|GND=4061777-4}}

[[Kategorie:Algebra| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Abstrakte Algebra - Versionsgeschichte

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