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2026-03-03T17:54:12Z

Euklidischer Abstand

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{{Begriffsklärungshinweis}}
[[Datei:01 Abstand zweier Punkte.svg|rechts|300px]]
Der '''Abstand''' (auch '''Entfernung''' oder '''Distanz)''' zweier [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] ist die [[Länge (Mathematik)|Länge]] der kürzesten Verbindung dieser Punkte. Im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] ist das die Länge der [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] zwischen den beiden Punkten.

Der Abstandsbegriff lässt sich von Punkten auf [[Geometrische Figur|geometrische Objekte]] (z. B. Geraden oder Ebenen) verallgemeinern, da sich diese als [[Menge (Mathematik)|Punktmengen]] auffassen lassen. Unter dem Abstand zweier geometrischer Objekte versteht man im Allgemeinen die Länge der kürzesten Verbindungslinie der beiden Objekte, also der Abstand der beiden einander nächstliegenden Punkte. Werden nicht die einander nächstliegenden Punkte zweier Objekte betrachtet, so wird dies explizit angegeben oder ergibt sich aus dem Zusammenhang, wie beispielsweise der Abstand der geometrischen Mittelpunkte oder der [[Geometrischer Schwerpunkt|geometrischen Schwerpunkte]].

Die [[Metrischer Raum|Metrik]] ist der Teil der Mathematik, der sich mit der Abstandsmessung beschäftigt.

Der ''Abstand'', die ''Entfernung'', die ''Distanz'' zwischen zwei Werten einer Größe oder zwischen zwei [[Zeitpunkt]]en wird bestimmt, indem man den Absolutbetrag ihrer [[Subtraktion|Differenz]] bildet, das heißt, indem sie voneinander abgezogen werden und vom Ergebnis der Absolutbetrag gebildet wird. Der gemessene Abstand ist unabhängig vom gewählten [[Referenzpunkt]] des [[Koordinatensystem]]s, nicht aber von dessen Skalierung ''(siehe auch [[Maßstabsfaktor]])''.

In der [[Beobachtende Astronomie|beobachtenden Astronomie]] wird der scheinbare Abstand am Himmel zwischen zwei Himmelsobjekten als ''[[Winkelabstand]]'' angegeben.

Der Abstand zweier [[Mengentheorie|Mengen]] im euklidischen Raum (oder allgemeiner in einem [[Metrischer Raum|metrischen Raum]]) kann über die [[Hausdorff-Metrik]] definiert werden.

== Euklidischer Abstand ==
{{Hauptartikel|Euklidischer Abstand}}
Der Abstand zweier Punkte <math>A</math> und <math>B</math> auf einer Geraden mit den Koordinaten <math>a</math> bzw. <math>b</math> ist der Absolutbetrag <math>|a-b|</math>. Dieser Betrag lässt sich auch schreiben als

:<math>d(A,B)=\sqrt{(a-b)^2}</math>.
[[Datei:01-Abstand zweier Punkte.svg|mini|hochkant=1.3|Der Abstand zweier Punkte in der Ebene]]
Sind zwei Punkte der Ebene in kartesischen Koordinaten <math>A=(a_1, a_2)</math> und <math>B=(b_1, b_2)</math> gegeben, so beträgt der Abstand zwischen <math>A</math> und <math>B</math> nach dem [[Satz des Pythagoras]]<ref name=":0">{{Literatur |Autor=[[Andreas Filler]] |Titel=Elementare Lineare Algebra |Reihe=Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-8274-2412-9 |Seiten=55}}</ref>

:<math> d(A,B) = \sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}</math>.

Für zwei Punkte <math>A = (a_1, a_2 , a_3)</math> und <math>B = (b_1, b_2, b_3)</math> des (dreidimensionalen) Raumes erhält man durch die doppelte Anwendung des Pythagoras<ref name=":0" />

:<math> d(A,B) = \sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2}</math>.

Dieser Abstandsbegriff wird für höherdimensionale Räume in sinnfälliger Weise verallgemeinert, indem man für zwei Punkte <math>A = ( a_1 , \dotsc, a_n) \in \R^n</math> und <math>B = ( b_1 , \dotsc, b_n )\in \R^n</math> den (euklidischen) Abstand zweier Punkte definiert als<ref>{{Literatur |Autor=[[Otto Forster]], Florian Lindemann |Titel=Analysis 2 |Auflage=12. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2025 |ISBN=978-3-658-45811-9 |Seiten=7}}</ref>

: <math> d(A,B) = \sqrt{(a_1-b_1)^2+ \cdots + (a_n - b_n)^2}</math>.

Der Abstand eines Punkts von einer [[Gerade]]n oder einer ebenen Fläche ist sein Abstand zum [[Fußpunkt]] des darauf gefällten [[Lot (Mathematik)|Lots]], der von einer gekrümmten Linie ist stets ein Abstand von einer ihrer [[Tangente]]n.

Berechnungsmöglichkeiten für die Abstände von Punkten zu Geraden oder Ebenen sind in der [[Formelsammlung analytische Geometrie]] aufgeführt.
=== Abstand in der Ebene ===
==== Abstand zwischen Punkt und Gerade ====
[[Datei:Abstand-Punkt-Gerade-Lot.svg|mini|Von allem Geradenpunkten liegt der Lotfußpunkt <math>L</math> am nächsten an <math>P</math>.]]
[[Datei:01 Abstand Ebene Punkt-Gerade.svg|mini|hochkant=1.3|Beispiel: Abstand <math>d(P,g)</math> zwischen Punkt <math>P</math> und Geraden <math>g</math> in der Ebene]]
Der Abstand <math>d(P,g)</math> eines Punktes <math>P</math> von einer Geraden <math>g</math> ist die kleinste Entfernung, die ein Punkt der Geraden <math>g</math> von <math>P</math> haben kann. Von allen Geradenpunkten liegt der Fußpunkt <math>L</math> des [[Lot (Mathematik)|Lots]] von <math>P</math> auf <math>g</math> am nächsten zu <math>P</math>. Denn für jeden anderen Geradenpunkt <math>A</math> gilt mit dem [[Satz des Pythagoras]] (siehe Skizze)

:<math>|AP|^2 = |AL|^2 + |LP|^2 > |LP|^2.</math>

Also entspricht <math>d(P,g)</math> der Länge des Lots von <math>P</math> auf <math>g</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Harald Scheid, Wolfgang Schwarz |Titel=Elemente der Geometrie |Auflage=4. |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2007 |ISBN=978-3-8274-1697-1 |Seiten=9}}</ref> In der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] ermittelt man den Abstand eines Punktes <math>P</math> von einer Geraden <math>g</math> folglich, indem man das Lot von <math>P</math> auf <math>g</math> fällt und anschließend die Länge der Lotstrecke misst.

In der analytischen Geometrie lässt sich der Abstand zwischen einem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>P(x_0, y_0)</math> und einer [[Gerade]]n <math>g</math> mit der [[Allgemeine Koordinatenform#Allgemeine Koordinatenform einer Geradengleichung|Koordinatengleichung]] <math>ax + by + c = 0</math> berechnen als

:<math>d(P,g) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}</math>.

Der Lotfußpunkt hat die [[Koordinatensystem|Koordinaten]]

:<math>(x, y) = \left(\frac{b(bx_0 - ay_0) - ac}{a^2 + b^2}, \; \frac{a(-bx_0 + ay_0) - bc}{a^2 + b^2}\right).</math>

Wenn die Gerade <math>g</math> durch die Punkte <math>(x_1, y_1)</math> und <math> (x_2, y_2)</math> verläuft, gilt:

:<math>a = y_2 - y_1</math>
:<math>b = x_1 - x_2</math>
:<math>c = x_2y_1 - x_1y_2</math>

Diese Werte können in die [[Formel]]n eingesetzt werden.<ref>{{MathWorld |id=Point-LineDistance2-Dimensional |title=Point-Line Distance–2-Dimensional}}</ref>

'''Beispiel'''

Eingesetzte Werte für Gerade <math>g\colon a = -3,\; b = 4,\; c = 10</math> und für Punkt <math>P\colon x_0 = 4,\; y_0 = 6</math>

:<math>d(P,g) = \frac{|(-3) \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 10|}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} = \frac{22}{5} = 4{,}4</math>

=== Abstand im dreidimensionalen Raum ===
Für die Konstruktion des Abstandes bedarf es als zusätzliches Hilfsmittel einer [[Dynamische Geometrie|Dynamischen-Geometrie-Software (DGS).]]

==== Abstand zwischen Punkt und Gerade ====
Der Abstand zwischen dem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>P_0 = (x_0, y_0, z_0)</math> und der [[Gerade]]n <math>g</math>, die durch die Punkte <math>P_1 = (x_1, y_1, z_1)</math> und <math>P_2 = (x_2, y_2, z_2)</math> verläuft, beträgt mit den Ortsvektoren <math>\vec{p}_0,\; \vec{p}_1,\; \vec{p}_2</math>:<ref>{{MathWorld |id=Point-LineDistance3-Dimensional |title=Point-Line Distance–3-Dimensional}}</ref>

:<math>d(P_0,g) = \frac{\left|(\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_1 - \vec{p}_0)\right|}{\left|\vec{p}_2 - \vec{p}_1\right|} = \frac{\left|(\vec{p}_0 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_0 - \vec{p}_2)\right|}{\left|\vec{p}_2 - \vec{p}_1\right|}</math>

Dabei steht <math>\times</math> für das [[Kreuzprodukt]] der Vektoren und <math> \left| \quad \right|</math> für den [[Vektor#Länge/Betrag eines Vektors|Betrag des Vektors]].

'''Beispiel'''
[[Datei:01 Abstand Raum Punkte-Gerade.png|mini|hochkant=1.5|Beispiel: Abstand <math>d(P_0,g)</math> zwischen Punkt <math>P_0</math> und Gerade <math>g</math> im Raum]]
Konstruktion des Abstandes <math>d(P_0,g)</math>.

Gegeben sind die Koordinaten der Punkte <math>P_1 = \left(3{,}5 \mid 2{,}5 \mid 0\right)</math> und <math>P_2 = \left(-1 \mid 7 \mid 0\right)</math>, durch die die Gerade <math>g</math> verläuft, und der Punkt <math>P_0 = \left(5 \mid 6 \mid 3{,}5\right)</math>.

Nach dem Einzeichnen der Geraden <math>g</math> durch <math>P_1</math> und <math>P_2</math> sowie des Punktes <math>P_0</math> werden die [[Vektor#Definition|Verbindungsvektoren]] <math>\vec{p}_1,\;\vec{p}_2</math> und <math>\vec{p}_0</math> eingezeichnet. Eine abschließend errichtete [[Orthogonalität|Senkrechte]] auf die Gerade <math>g</math> durch den Punkt <math>P_0</math> liefert den Abstand <math>d(P_0,g) = 4{,}974\ldots</math>

'''Berechnung'''

Diese Werte, in die Formel eingesetzt, ergeben

:<math>d(P_0,g) = \frac{\left|(\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_1 - \vec{p}_0)\right|}{\left|\vec{p}_2 - \vec{p}_1\right|}
= \frac{\left|\begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ -3{,}5 \\ -3{,}5 \end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}\right|}
= \frac{\left|\begin{pmatrix} -15{,}75 \\ -15{,}75 \\ 22{,}5 \end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}\right|}
</math>
:<math>= \frac{\left|\sqrt{(-15{,}75)^2 + (-15{,}75)^2 + 22{,}5^2}\right|}{\left|\sqrt{(-4{,}5)^2 + 4{,}5^2 + 0^2}\right|}
= 4{,}974\ldots</math>

==== Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden ====
{{Hauptartikel|Windschiefe}}

Zwei windschiefe Geraden (<math>g_1,\;g_2</math>), wobei die eine durch die Punkte <math>P_1 = (x_1, y_1, z_1)</math> und <math>P_2 = (x_2, y_2, z_2)</math> und die andere durch die Punkte <math>P_3 = (x_3, y_3, z_3)</math> und <math>P_4 = (x_4, y_4, z_4)</math> verläuft, haben mit den Vektoren <math>\vec{p}_1,\; \vec{p}_2,\; \vec{p}_3,\; \vec{p}_4</math> folgenden Abstand:<ref>{{MathWorld |id=Line-LineDistance |title=Line-Line Distance}}</ref>

:<math>d(g_1,g_2) = \frac{\left|(\vec{p}_3 - \vec{p}_1) \cdot ((\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_4 - \vec{p}_3))\right|}{\left|(\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_4 - \vec{p}_3)\right|}</math>

Dabei steht <math>\cdot</math> für das [[Skalarprodukt]] der beiden Vektoren.

'''Beispiel'''
[[Datei:01 Abstand Raum Gerade-Gerade.png|mini|hochkant=1.5|Beispiel: Konstruktion des Abstandes <math>d(g_1,g_2)</math> zwischen zwei windschiefen Geraden <math>g_1</math> und <math>g_2</math> im Raum]]
Konstruktion des Abstandes <math>d(g_1,g_2)</math> mithilfe einer Hilfsebene.

Gegeben seien die Koordinaten der vier Punkte <math>P_1 = \left(3{,}5 \mid 2{,}5 \mid 0\right),\; P_2 = \left(-1 \mid 7 \mid 0\right),\; P_3 = \left(5 \mid 6 \mid 3{,}5\right)</math> und <math>P_4 = \left(0{,}2 \mid 2{,}5 \mid 6\right).</math>

Nach dem Einzeichnen der Geraden <math>g_1</math> durch <math>P_1</math> und <math>P_2</math> sowie <math>g_2</math> durch <math>P_3</math> und <math>P_4</math> werden zunächst die [[Vektor#Definition|Verbindungsvektoren]] <math>\vec{p}_1,\; \vec{p}_2,\; \vec{p}_3</math> und <math>\vec{p}_4</math> eingezeichnet. Für das Bestimmen der Hilfsebene wird eine Parallele zu <math>g_2</math> durch <math>P_1</math> gezogen und anschließend der Punkt <math>A</math> beliebig auf der Parallelen markiert. Mithilfe der somit gegebenen drei Punkte <math>A, P_1</math> und <math>P_2</math> wird die Ebene <math>E</math> generiert. Es folgt das Fällen des Lots vom Punkt <math>P_3</math> auf die Ebene <math>E</math> mit Fußpunkt <math>B</math> und eine Parallele zu <math>g_2,</math> die <math>g_1</math> in <math>C</math> (rot) schneidet. Abschließend liefert die Parallele zu <math>\overline{P_3B}</math> ab dem Punkt <math>C</math> bis zur Geraden <math>g_2</math> den Schnittpunkt <math>D</math> und somit den Abstand: <math>d(g_1,g_2) = 4{,}605\ldots</math>

'''Berechnung'''

Diese Werte eingesetzt in die Formel ergeben
:<math>d(g_1,g_2) = \frac{\left|(\vec{p}_3 - \vec{p}_1) \cdot ((\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_4 - \vec{p}_3))\right|}{\left|(\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_4 - \vec{p}_3)\right|}
= \frac{\left|\begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 3{,}5 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -4{,}8 \\ -3{,}5 \\ 2{,}5 \end{pmatrix}\right)\right|}{\left|\begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -4{,}8 \\ -3{,}5 \\ 2{,}5 \end{pmatrix}\right|}
= \frac{\left|\begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 3{,}5 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11{,}25 \\ 11{,}25 \\ 37{,}35 \end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix} 11{,}25 \\ 11{,}25 \\ 37{,}35 \end{pmatrix}\right|}
</math>
:<math>= \frac{\left|186{,}975\right|}{\left|\sqrt{11{,}25^2 + 11{,}25^2 + 37{,}35^2}\right|}
= 4{,}605\ldots</math>

==== Abstand zwischen Punkt und Ebene ====
Der Abstand zwischen dem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>P_0 = (x_0, y_0, z_0)</math> und der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] <math>E</math> mit der [[Koordinatenform#Allgemeine Koordinatenform einer Ebenengleichung|Koordinatenform]] <math>ax + by + cz - f = 0</math><ref group="A" name="Konstante f">Um eine Doppelbezeichnung der Konstanten <math>d</math> zu vermeiden, wurde mit passendem Vorzeichen <math>-f</math> gewählt.</ref> beträgt:<ref group="A" name="Konstante f" />

:<math>\ (1)\;\; d(P_0,E) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - f|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}</math>

Für die einzusetzenden Werte gilt:

:<math>\begin{align}
&\left(2\right)\;\; a = y_1z_2 - y_2z_1 + y_2z_3 - y_3z_2 + y_3z_1 - y_1z_3 \\
&\left(3\right)\;\; b = z_1x_2 - z_2x_1 + z_2x_3 - z_3x_2 + z_3x_1 - z_1x_3 \\
&\left(4\right)\;\; c = x_1y_2 - x_2y_1 + x_2y_3 - x_3y_2 + x_3y_1 - x_1y_3 \\
&\left(5\right)\;\; f = x_1y_2z_3 - x_1y_3z_2 + x_2y_3z_1 - x_2y_1z_3 + x_3y_1z_2 - x_3y_2z_1 \\
\end{align}</math>

Wenn drei Punkte <math>P_1 = (x_1, y_1, z_1)</math>, <math>P_2 = (x_2, y_2, z_2)</math>, <math>P_3 = (x_3, y_3, z_3)</math> gegeben sind, die eine Ebene <math>E</math> bestimmen (siehe [[Dreipunkteform]]), dann lässt sich der Abstand mithilfe der Vektoren <math>\vec{p}_1,\; \vec{p}_2,\; \vec{p}_3</math> mit folgender [[Formel]] berechnen:<ref>{{MathWorld |id=Point-PlaneDistance |title=Point-Plane Distance}}</ref><ref group="A">Im Gegensatz zur Formel aus dem englischen Sprachraum wurde für den Abstand die Bezeichnung <math>d</math> statt <math>D</math> gewählt.</ref>

:<math>\ (6)\;\; d(P_0,E) = \left|\frac{(\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_3 - \vec{p}_1)}{\left|(\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_3 - \vec{p}_1)\right|} \cdot (\vec{p}_0 - \vec{p}_1) \right|</math>

'''Beispiel'''
[[Datei:01 Abstand Raum Punkt-Ebene.png|mini|hochkant=1.5|Beispiel: Konstruktion des Abstandes <math>d(P,E)</math> zwischen dem Punkt <math>P</math> und der Ebene <math>E</math> im Raum]]

Konstruktion des Abstandes <math>d(P,E)</math>.<ref>{{Internetquelle |autor=R. Verfürth |url=https://www.ruhr-uni-bochum.de/num1/files/lectures/MBBI1.pdf#page=37&zoom=auto,-13,632 |titel=I.5.7. Parameterfreie Darstellungen einer Ebene. Beispiel I.5.6. |titelerg=Mathematik für Maschinenbauer, Bauingenieure und Umwelttechniker I |werk=Ruhr-Uni-Bochum.de |datum=2006-12 |seiten=37–39 |format=PDF |abruf=2026-02-24}}</ref>

Gegeben seien die Koordinaten der drei Punkte der Ebene <math>E</math> mit <math>A = \left(1 \mid 0 \mid 0\right),\; B = \left(2 \mid 1 \mid 1\right),\; C = \left(3 \mid 0 \mid 2\right)</math> sowie des außerhalb liegenden Punktes <math>P = \left(4 \mid 5 \mid -3\right).</math>

Nach dem Eintragen der Punkte <math>A, B</math> und <math>C</math> sowie des außerhalb liegenden Punktes <math>P</math> kann die Ebene <math>E\colon 2x - 2z - 2 = 0</math> generiert werden. Anschließend fällt man das Lot vom Punkt <math>O</math> des [[Koordinatensystem|Koordinatenursprungs]] auf die Ebene <math>E</math> mit dem Fußpunkt <math>D.</math> Durch die Punkte <math>O</math> und <math>D</math> verläuft auch der, aus der Parameterdarstellung von <math>E</math> ermittelbare, [[Normalenvektor]] mit <math>\vec n = \left(2 \mid 0 \mid -2\right).</math> Abschließend liefert die Parallele zu <math>\overline{OD}</math> ab dem Punkt <math>P</math> bis zur Ebene <math>E</math> den Abstand:

:<math>d(P,E) = 3 \cdot \sqrt{2} = 4{,}2426\ldots</math>

'''Berechnung'''

Ermittlung der einzusetzenden Werte für Formel <math>(1)</math>:

:<math>\begin{align}
&\left(2\right)\;\; a = 0 \cdot 1 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 2 - 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 - 0 \cdot 2 = 2 \\
&\left(3\right)\;\; b = 0 \cdot 2 - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 0 \cdot 3 = 0 \\
&\left(4\right)\;\; c = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 0 - 1 \cdot 0 = -2 \\
&\left(5\right)\;\; f = 1 \cdot 1 \cdot 2 - 1 \cdot 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0 \cdot 2 + 3 \cdot 0 \cdot 1 - 3 \cdot 1 \cdot 0 = 2 \\
\end{align}</math>

Diese Werte, eingesetzt in <math>(1)</math>, ergeben schließlich

:<math>\ (1)\;\; d(P_0,E) = \frac{|2 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + (-2) \cdot (-3) - 2|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2}} = 3 \cdot \sqrt{2} = 4{,}2426\ldots</math>

Das Ergebnis gleicht dem des Beispiels.

== Andere Definitionen ==
Die Definition des [[Euklidischer Abstand|euklidischen Abstands]] kann mithilfe von [[Metrik (Mathematik)|Metriken]] verallgemeinert werden. Der euklidische Abstand ist der [[Euklidische Norm|euklidischen Norm]] (2-Norm) eines [[Vektorraum]]s, z. B. des [[Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[Euklidischer Raum|euklidischen Raums]], zugeordnet, siehe [[Metrischer Raum#Beispiele|Metrischer Raum – Beispiele]].

=== Manhattan-Metrik ===
{{Hauptartikel|Manhattan-Metrik}}
[[Datei:Manhattan distance.svg|mini|Die Linien in rot, blau und gelb sind drei Beispiele für die Manhattan-Metrik zwischen den zwei schwarzen Punkten (je 12 Einheiten lang). Die grüne Linie stellt zum Vergleich den euklidischen Abstand dar, der eine Länge von <math>6 \sqrt{2} \approx 8{,}5</math> Einheiten hat.]]
Die sogenannte Manhattan-Metrik ist eine [[Metrischer Raum|Metrik]], in der der Abstand <math>d</math> zwischen zwei [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] <math>A</math> und <math>B</math> als die [[Summe]] der [[Absolutbetrag|absoluten]] [[Subtraktion|Differenzen]] ihrer Einzel[[koordinaten]] definiert wird:<ref>{{MathWorld |id=TaxicabMetric |title=Taxicab Metric}}</ref>

:<math>d(A,B) = \sum_{i} \left|A_i - B_i\right|</math>

Die Manhattan-Metrik ist die von der [[Summennorm]] (1-Norm) eines [[Vektorraum]]s erzeugte Metrik.

Weil die Wege zwischen zwei Punkten immer [[rechtwinklig]] entlang den horizontalen und vertikalen Linien (Straßen) verlaufen, aber nicht durch die quadratischen „Gebäudeblöcke“, ist der Abstand zwischen zwei Punkten nicht kleiner und im Allgemeinen größer als der [[Euklidischer Abstand|euklidische Abstand]]. Der Abstand zwischen zwei Punkten mit ganzzahligen [[Koordinatensystem|Koordinaten]] (Kreuzungen) ist immer eine [[ganze Zahl]].

So ist beispielsweise in der nebenstehenden Grafik die Manhattan-Metrik in einem [[zweidimensional]]en [[Raum (Mathematik)|Raum]], sodass sich

:<math>d(A,B) = \left|A_1 - B_1\right| + \left|A_2 - B_2\right| = \left|0 - 6\right| + \left|0 - 6\right| = \left|-6\right| + \left|-6\right| = 12</math>

ergibt, wobei <math>A = (A_1, A_2) = (0, 0)</math> und <math>B = (B_1, B_2) = (6, 6)</math> die schwarz markierten Punkte sind.

== Abstandsmessung auf gekrümmten Flächen ==
Auf der [[Kugeloberfläche]] wird der Abstand entlang von [[Großkreis]]en bestimmt und im [[Gradmaß]] oder [[Bogenmaß]] angegeben. Zur Berechnung des Abstandes siehe [[Orthodrome]].

Auf dem [[Erdellipsoid]] oder anderen [[Konvexe Menge|konvexen]] Flächen benutzt man die [[geodätische Linie]] oder den [[Normalschnitt]].

In der [[Geodäsie]] und den [[Geowissenschaften]] spricht man eher von Distanz oder Entfernung, die metrisch angegeben wird.

== Siehe auch ==
* [[Entfernungsmaß]]
* [[Entfernungsmessung]]
* [[Geodätische Distanz]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Distance between two points|Abstand|audio=0|video=0}}
{{Wiktionary|Abstand}}
{{Wikiquote|Abstand}}

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4228463-6}}

[[Kategorie:Euklidische Geometrie]]
[[Kategorie:Navigation]]
[[Kategorie:Dimensionale Messtechnik]]
[[Kategorie:Messgröße]]

Abstand - Versionsgeschichte

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