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2021-11-26T13:30:52Z

Definition

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Ein '''absorbierendes Element''' ist ein spezielles Element einer [[Algebraische Struktur|algebraischen Struktur]].

== Definition ==
Es sei <math>A</math> die Trägermenge einer algebraischen Struktur mit einer [[zweistellige Verknüpfung|zweistelligen Verknüpfung]] <math>*</math>, also ein [[Magma (Mathematik)|Magma]]. Ein Element <math>o_l \in A</math> heißt ''linksabsorbierend'' (bezüglich <math>*</math>), wenn für alle <math>a \in A</math> gilt:
:<math>o_l*a = o_l</math>.
Analog heißt ein Element <math>o_r \in A</math> ''rechtsabsorbierend'' (bezüglich <math>*</math>), wenn für alle <math>a \in A</math> gilt:
:<math>a*o_r = o_r</math>.
Ein Element, das sowohl links- als auch rechtsabsorbierend ist (bezüglich <math>*</math>), nennt man ''absorbierend'' (bezüglich <math>*</math>), manchmal auch '''Nullelement''' (so wird aber häufig auch das [[Neutrales Element|neutrale Element]] einer additiv notierten Halbgruppe genannt!).

== Eigenschaften ==
Zu einer zweistelligen Verknüpfung <math>*</math> auf einer Menge <math>A</math> gibt es höchstens ein absorbierendes Element <math>o \in A</math>, denn für absorbierende Elemente <math>o,o' \in A</math> gilt:
:<math>o' = o'*o = o</math>.

Ein links- oder rechts-absorbierendes Element <math>o \in A</math> ist immer [[Idempotenz|idempotent]]:
:<math>o = o*o</math>.

In einer [[Quasigruppe]] (und damit auch in einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]) <math>(A,*)</math> mit mindestens zwei Elementen <math>a,b \in A</math> mit <math>a \ne b</math> gibt es kein (links-/rechts-)absorbierendes Element <math>o \in A</math>, denn sonst hätte <math>o*x=o</math> bzw. <math>x*o=o</math> mindestens die zwei Lösungen <math>a,b</math>, wäre somit nicht, wie für Quasigruppen gefordert, eindeutig lösbar.

== Beispiele ==

Ein bekanntes Beispiel ist die Null, die in [[Ring (Algebra)#Folgerungen|''jedem'' Ring]], so auch im Ring <math>\Z</math> der [[ganze Zahl|ganzen Zahlen]], bezüglich der [[Multiplikation]] absorbierendes Element ist: jede Zahl mit Null multipliziert ergibt Null.

Eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] besitzt genau dann ein absorbierendes Element, wenn es sich um die triviale Gruppe, bestehend aus nur einem Element, handelt.

In jedem beschränkten [[Verband (Mathematik)|Verband]] gibt es zu beiden Verknüpfungen ein absorbierendes Element: Beispielsweise ist in der [[Aussagenlogik]] die wahre Aussage bezüglich der [[Aussagenlogik#Nichtausschließendes Oder – Disjunktion|Verknüpfung mit „oder“]] absorbierendes Element, die falsche Aussage ist bezüglich der [[Aussagenlogik#Und-verknüpfte Aussagen – Konjunktion|Verknüpfung mit „und“]] absorbierendes Element.

== Siehe auch ==

* [[Neutrales Element]]
* [[Inverses Element]]

== Literatur ==

* U. Hebisch; H. J. Weinert: ''Halbringe – Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik''. Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-519-02091-2.

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Verbandstheorie]]

Absorbierendes Element - Versionsgeschichte

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