imported>Christian1985: /* Definition */

2023-06-11T19:44:25Z

Definition

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Eine '''absorbierende Menge''' bezeichnet in der [[Mathematik]] eine [[Teilmenge]] eines [[Vektorraum]]es, die anschaulich so mit Skalaren vergrößert werden kann, dass irgendwann jeder Punkt in ihr enthalten ist und dieser bei weiterer Vergrößerung die Menge auch nicht mehr verlässt.

Absorbierende Mengen treten beispielsweise im Kontext von [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Räumen]] und [[Minkowski-Funktional]]en auf.

== Definition ==
Sei <math> V </math> ein <math> \mathbb K </math>-[[Vektorraum]] (meist <math> \mathbb K=\R </math> oder <math>\mathbb K = \Complex</math>) sowie <math> T \subset V </math>.

Dann heißt die Menge <math> T </math> ''absorbierend'', wenn es zu jedem <math> x \in V </math> eine positive reelle Zahl <math> r >0 </math> gibt, so dass
:<math> \alpha x \in T </math>

für alle <math> \alpha </math> mit <math> |\alpha| < r </math>.

Äquivalent dazu ist die folgende Definition: für alle <math> x \in V </math> existiert ein reelles <math> r > 0 </math>, so dass
:<math> x \in \alpha T </math>

für alle <math> \alpha </math> mit <math> |\alpha| > r </math>. Die Menge <math> T </math> wird also durch <math> \alpha </math> so vergrößert, bis sie jedes Element des Vektorraumes ''absorbiert''.

== Bemerkung ==
Diese zweite Formulierung scheint auf den ersten Blick natürlicher.
Die erstgenannte Definition wird jedoch bevorzugt, da sie sich auf natürliche Weise auf die Definition einer [[Beschränkte Menge|beschränkten Menge]] eines topologischen [[Modul (Mathematik)|Modul]]s übertragen lässt (nämlich eine Menge, die von jeder Nullumgebung absorbiert wird).
Wegen der möglichen Existenz von [[Nullteiler]]n und der möglichen Nichtexistenz von beschränkten Nullumgebungen ist in diesem Fall eine Definition im Sinne der zweiten Formulierung nicht sinnvoll.

== Beispiel ==
In einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] (z. B. in einem [[normierter Raum|normierten Raum]]) ist jede Nullumgebung <math>U</math> absorbierend, denn ist <math>x</math> ein Vektor in <math>V</math>, so ist <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\tfrac{1}{n}x = 0</math>, d. h. <math>\tfrac{1}{n}x\in U</math> für hinreichend große <math>n</math>.

== Einfache Konsequenzen ==

Da <math>r</math> positiv gefordert wird, muss <math>T</math> den [[Nullvektor]] enthalten.

Des Weiteren ist für jede absorbierende Menge immer
:<math> V= \bigcup_{r > 0 } r T </math>

und das [[Minkowski-Funktional]]
:<math> x\mapsto\inf\{\lambda\mid\lambda\geq0,x\in\lambda T\} </math>

ist endlich. Beide Eigenschaften werden teils auch zur Definition genutzt.

== Weblinks ==
*{{MathWorld| id = AbsorbingSet| title = Absorbing Set| author = }}

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]|Titel=Funktionalanalysis|Auflage=7., korrigierte und erweiterte Auflage|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Heidelberg Dordrecht London New York|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-21016-7|DOI=10.1007/978-3-642-21017-4}}

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Absorbierende Menge - Versionsgeschichte

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