imported>Christian1985: /* Absolutkonvexe Hülle */

2026-03-01T16:50:43Z

Absolutkonvexe Hülle

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'''Absolutkonvexe Mengen''' spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Räume]], da sie in natürlicher Weise zu [[Halbnorm]]en führen.

== Definition ==

Eine Teilmenge <math>A</math> eines [[Reeller Vektorraum|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen]] [[Vektorraum]]s heißt '''absolutkonvex''', wenn für alle <math>\lambda,\mu \in {\mathbb K}</math> mit <math>|\lambda|+ |\mu| \le 1</math> und alle <math>x,y\in A</math> stets <math>\lambda x + \mu y \in A</math> gilt. Damit ist <math>A</math> genau dann absolutkonvex, wenn <math>A</math> [[Ausgewogene Menge|ausgewogen]] und [[Konvexe Menge|konvex]] ist. (Dabei steht <math>{\mathbb K}</math> für den Körper der reellen oder komplexen Zahlen.)

== Beziehung zu Halbnormen ==

Ist <math>U</math> eine absolutkonvexe [[Umgebung (Mathematik)|Nullumgebung]] des [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraums]] <math>E</math>,
so definiert <math>p_U(x) := \inf\left\{t>0 \,\left|\, x\in tU \right.\right\}</math> eine Halbnorm auf <math>E</math>.
Es gilt
:<math>U^\circ = \left\{x\in E \,\left|\, p_U(x) < 1 \right.\right\} \subset U \subset \left\{x\in E \,\left|\, p_U(x) \le 1 \right.\right\} = \overline{U}</math>.
Man nennt <math>p_U</math> auch das [[Minkowski-Funktional]] zu <math>U</math>.

Leicht zeigt man, dass jeder lokalkonvexe Vektorraum eine [[Nullumgebungsbasis]] aus absolutkonvexen Mengen besitzt. Mit Hilfe der Minkowski-Funktionale kann man die Topologie also auch durch Halbnormen beschreiben. Dies klärt den Zusammenhang zwischen den beiden im Artikel über [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexe Räume]] gegebenen Definitionen.

== Absolutkonvexe Hülle ==

Da [[Durchschnittsmenge|Durchschnitte]] absolutkonvexer Mengen offenbar wieder absolutkonvex sind, ist jede Menge <math>M</math> eines reellen oder komplexen Vektorraums in einer kleinsten absolutkonvexen Menge enthalten. Diese nennt man die '''absolutkonvexe Hülle''' <math>\Gamma M</math> von <math>M</math>.
Es gilt
:<math>\Gamma M = \left\{\sum_{j=1}^n\lambda_j x_j \,\left|\, \lambda_j \in {\mathbb{K}},\, \sum_{j=1}^n\left|\lambda_j\right| \le 1,\, x_j \in M,\, n\in{\mathbb{N}} \right.\right\}.</math>

== Quelle ==

*R. Meise, D. Vogt: ''Einführung in die Funktionalanalysis'', Vieweg, 1992, ISBN 978-3-528-07262-9

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Absolutkonvexe Menge - Versionsgeschichte

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