imported>Thomas Dresler: Kommasetzung

2024-01-04T22:16:51Z

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Als '''absolute Geometrie''' im engsten Sinn wird die Gesamtheit der geometrischen [[Satz (Mathematik)|Sätze]] über einen [[Dimension (Mathematik)|dreidimensionalen]] Raum bezeichnet, die man allein aufgrund der Axiome der Verknüpfung ([[Inzidenzaxiom]]en) (H-I), der [[Seiteneinteilung|Anordnung]] (H-II), der [[Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz]] (H-III) und der Stetigkeit (H-V) – also ohne das [[Parallelenaxiom]] – herleiten kann. Die in Klammern genannten Bezeichnungen sind hier Axiomengruppe I, II, III und V in [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie]]. In einem weiteren Sinne zählt man auch zweidimensionale Modelle, die den Axiomengruppen H-I bis H-III in ihrer zweidimensionalen Form genügen, die sogenannten '''Hilbert-Ebenen''', zur absoluten Geometrie, dies sind (in den Hauptfällen) euklidische oder hyperbolische Ebenen über [[Pythagoreischer Körper|pythagoreischen Körpern]].<ref name="Hauptfall">Die Hauptfälle sind hier Ebenen über Körpern, Nebenfälle sind Teilebenen dieser Ebenen, die die Axiome erfüllen, aber nur durch Koordinaten aus gewissen Teilringen „ihres“ Körpers koordinatisiert sind. Bachmann (1973) §20.13 Hilbert-Ebenen.</ref>

Es handelt sich also um die Menge der Sätze, die sowohl in der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]] als auch in den [[Nichteuklidische Geometrie|nichteuklidischen Geometrien]] Gültigkeit haben, oder anders ausgedrückt um den „gemeinsamen Unterbau“ dieser Geometrien.

Beispielsweise gehören einige [[Kongruenzsatz|Kongruenzsätze]] zur absoluten Geometrie, der Satz über die [[Winkelsumme]] im Dreieck und der [[Satz des Pythagoras]] jedoch nicht. In [[Euklids Elemente]]n werden die ersten 28 Sätze ohne das Parallelenaxiom bewiesen und zählen somit zur absoluten Geometrie im engeren Sinn.

== Geschichte ==
Der Begriff „absolute Geometrie“ geht auf einen der Begründer der nichteuklidischen Geometrien, den ungarischen Mathematiker [[János Bolyai]] zurück. Dieser beschäftigte sich um 1830 mit der Frage der ''Unabhängigkeit des Parallelenaxioms'' von den anderen Axiomen der euklidischen Geometrie, wie sie in dem Werk [[Elemente (Euklid)|Elemente]] von [[Euklid]] formuliert sind. Neben [[Carl Friedrich Gauß]] fand Bolyai als erster ein Modell für eine [[nichteuklidische Geometrie]], genauer eine [[hyperbolische Geometrie]].<ref name="BachmannVW">Bachmann (1973) Vorwort zur zweiten Auflage.</ref>

Da die Axiomatik Euklids modernen mathematischen Ansprüchen nicht genügte, wurde die Diskussion über absolute und nichteuklidische Geometrie erst durch [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie]] 1899 auf eine tragfähige Grundlage gestellt. Auf dieser Grundlage begründete [[Johannes Hjelmslev]] 1907 die Theorie der Hilbert-Ebenen. [[Max Dehn]] nannte 1926 diese axiomatische Begründung der absoluten Geometrie durch Hjelmslev „den höchsten Punkt, den die moderne Mathematik über Euklid hinausgehend in der Begründung der Elementargeometrie erreicht hat“.<ref name="BachmannVW" /> Damals besaß man aber noch keinen Überblick über die Modelle für diese Ebenen. Im Jahr 1960 konnte W. Pejas alle Hilbert-Ebenen algebraisch beschreiben<ref>{{Literatur |Autor=W. Pejas |Titel=Die Modelle des Hilbertschen Axiomensystems der absoluten Geometrie |Sammelwerk=Math. Ann. |Band=147 |Datum=1961 |Seiten=110-119}}</ref> und damit diese klassische Theorie, die absolute Geometrie im engeren Sinn, zu einem gewissen Abschluss bringen. Alle Hilbertebenen sind in den Hauptfällen<ref name="Hauptfall" /> entweder euklidisch oder hyperbolisch.

Hjelmslev selbst verallgemeinerte in den Jahren 1929–1949 die absolute Geometrie mit seiner „Allgemeinen Kongruenzlehre“ zu einer ''Geometrie der Spiegelungen''.<ref name="BachmannVW" /> Die Grundidee ist dabei, anstelle von Axiomen über Punkte und Geraden Axiome über die [[Bewegung (Mathematik)|Bewegungsgruppe]] zugrunde zu legen. Auf dieser Grundidee baut [[Friedrich Bachmann (Mathematiker)|Friedrich Bachmann]] mit seinem „Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff“<ref>Bachmann (1973)</ref> auf. Dies führt bei ihm zum Begriff der [[Metrische absolute Geometrie|metrischen absoluten Geometrie]]. Endliche Modelle dieser Geometrie sind immer euklidisch, unendliche Modelle können in den Hauptfällen<ref name="Hauptfall" /> euklidisch, hyperbolisch oder elliptisch oder auch unter leicht abgeschwächten Bedingungen [[Minkowski-Raum|minkowskisch]]<ref>Für die Minkowskische Geometrie muss die Forderung nach der ''Existenz von Verbindungsgeraden'', Axiom 1 abgeschwächt werden.</ref> sein. Jede ebene oder räumliche metrische absolute Geometrie lässt sich in eine durch sie bestimmte [[projektiv-metrische Geometrie]] der entsprechenden Dimension einbetten.<ref>Bachmann (1973) § 6.10 Begründung der metrischen Geometrie</ref>

== Axiomatik ==
Es existiert keine allgemein anerkannte Axiomatik der absoluten Geometrie. Die in der Einleitung genannten Hilbertschen Axiome ''ohne Parallelenaxiom'' werden oft als Diskussionsgrundlage verwendet, wobei dann einzelne Axiome abgeschwächt oder ganz weggelassen werden. Historisch bedingt ist das dadurch, dass die ganze Theorie ihren Ausgangspunkt in der Diskussion des Parallelenaxioms und seiner Unabhängigkeit ''bei Euklid'' hatte. Und die bekannteste ''moderne'' Axiomatik im Sinne Euklids<ref>Ob aber ein Gedanke in Richtung des Hilbertschen Axioms V.II der linearen Vollständigkeit ''vor'' den ersten Schritten zur Fundierung der Analysis und der reellen Zahlen überhaupt greifbar sein konnte, darf bezweifelt werden.</ref> war und ist die Hilbertsche.
Ein wörtliches Zitat von Bachmann dazu:
: „Während etwa durch das Hilbertsche Axiomensystem der euklidischen Geometrie die axiomatische Fundierung einer seit langem erforschten Theorie vollzogen wurde, gibt es nicht eine so fest umrissene Theorie, deren Axiomatisierung durch unser Axiomensystem<ref>gemeint ist hier seine Axiomatik für die [[metrische absolute Geometrie]] nach Bachmann (1973).</ref> geleistet werden soll. ...“<ref>Bachmann (1973), S. 25</ref>

Alle wesentlichen Unterschiede zwischen einer Geometrie ''mit'' Parallelenaxiom und einer ''ohne'' ([[Nichteuklidische Geometrie]]) treten bereits in zwei Dimensionen vergleichbar zu höheren Dimensionen auf – ganz anders als bei der ebenfalls in der Geometrie seit dem 19. Jahrhundert diskutierten Problematik des [[Satz von Desargues|Satzes von Desargues]], der eben ''nur'' in zweidimensionalen Räumen unabhängig von den üblichen Axiomen ist. Daher beschränken sich viele Axiomensysteme auf den ebenen Fall. Dann werden von den Inzidenzaxiomen (H-I) einige überflüssig und man kann sich auf I-1 bis I-3 beschränken:

=== Inzidenzaxiome für eine Ebene ===
* '''I.1.''' Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g.
* '''I.2.''' Irgend zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden bestimmen diese Gerade.
* '''I.3.''' Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte, in einer Ebene gibt es stets wenigstens drei nicht auf einer Geraden gelegene Punkte.

Dies sind Existenz und Eindeutigkeit der [[Verbindungsgerade]]n und ein Reichhaltigkeitsaxiom – es ist klar, dass dieses „absolute Minimum für eine absolute Geometrie“ noch zu allgemein ist.

=== Anordnung und Kongruenz ===
Daher werden in der Regel noch Axiome aus den Gruppen II (Anordnung) und III (Kongruenz) hinzugenommen. Die volle Axiomengruppe II der Anordnung schließt elliptische Ebenen aus. Das Problem der Kongruenz lässt sich durch die Idee umgehen, dass man statt der Deckungsgleichheit (von Figuren der Ebene) die ''Gruppe der [[Kongruenzabbildung]]en'' als durch ''Spiegelungen'' erzeugte Gruppe beschreibt. Dies eben ist die Grundidee der im geschichtlichen Abschnitt dieses Artikels genannten ''Geometrie der Spiegelungen'' von Hjelmslev. Ein neueres Axiomensystem, das der absoluten Geometrie formal ''nur'' Axiome über Spiegelungen und die von Spiegelungen erzeugte Gruppe zugrunde legt, ist die [[metrische absolute Geometrie]].

=== Axiome des Zirkels ===
Hilberts Axiome der Stetigkeit (Gruppe V bei Hilbert) werden in der absoluten Geometrie oft nicht gefordert (zum Beispiel bei Hjelmslev) oder durch schwächere '''Axiome des Zirkels'''<ref>Klotzek (2001) 1.2.4, ''Axiome des Zirkels und ihre Bedeutung beim Konstruieren''</ref> ersetzt. Damit können in der absoluten Geometrie die gleichen [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Konstruktionen mit Zirkel und Lineal]] ausgeführt werden, wie wenn die Axiome der Stetigkeit gefordert werden. Im Spezialfall der euklidischen Geometrie (mit Parallelenaxiom) entspricht dies der Verallgemeinerung vom gewöhnlichen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] über den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]], in dem beliebige [[Stetige Funktion|stetige]] „Linien“ sich schneiden, wenn sie es anschaulich tun sollten, zu einem Raum über einem [[Euklidischer Körper|euklidischen Körper]], in dem dies für Kegelschnitte, also insbesondere für Kreise und Geraden gilt.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Friedrich Bachmann (Mathematiker)|Friedrich Bachmann]]
|Titel=Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff
|Auflage=2. ergänzte
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin / Heidelberg / New York
|Datum=1973
|ISBN=3-540-06136-3}}
* {{Literatur
|Autor=[[Richard Baldus]], [[Frank Löbell]]
|Titel=Nichteuklidische Geometrie
|Reihe=Sammlung Göschen
|BandReihe=970/970a
|Auflage=3
|Ort=Berlin
|Datum=1954}}
* {{Literatur
|Autor=[[David Hilbert]]
|Titel=Grundlagen der Geometrie
|Auflage=14.
|Verlag=Teubner
|Ort=Stuttgart/Leipzig
|Datum=
|ISBN=3-519-00237-X
|Online={{archive.org|grunddergeovon00hilbrich}} – Ausgabe von 1903}}
* {{Literatur
|Autor=Jeremy Gray
|Titel=Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic
|Auflage=2.
|Verlag=Oxford University Press
|Ort=Oxford
|Datum=1989
|ISBN=978-0-19-853935-3}}
* {{Literatur
|Autor=Benno Klotzek
|Titel=Euklidische und nichteuklidische Elementargeometrien
|Auflage=1.
|Verlag=Harri Deutsch
|Ort=Frankfurt am Main
|Datum=2001
|ISBN=3-8171-1583-0}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4193046-0}}

[[Kategorie:Absolute Geometrie| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Absolute Geometrie - Versionsgeschichte

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