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In der [[Analysis]] ist die '''absolute Stetigkeit''' einer Funktion eine Verschärfung der Eigenschaft der [[stetige Funktion|Stetigkeit]]. Der Begriff wurde 1905 von [[Giuseppe Vitali]] eingeführt<ref name=Vitali_1984>Giuseppe Vitali: ''Opere sull'analisi reale e complessa.'' Edizioni Cremonese, Bologna 1984</ref><ref>Jürgen Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2, S. 281.</ref> und erlaubt eine Charakterisierung von [[Lebesgue-Integral]]en.

== Definition ==
Es sei <math>I \subset \R</math> ein endliches [[Reelle Zahl|reelles]] [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] und <math>f \colon I \to \Complex</math> eine [[komplexwertige Funktion]] auf <math>I</math>.

Die Funktion <math>f</math> heißt ''absolut stetig'', falls es für jedes <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> gibt, so dass für jede endliche [[Folge (Mathematik)|Folge]] [[paarweise disjunkt]]er Teilintervalle <math>\{]x_k,y_k[\}_{1 \le k \le n}</math> von <math>I</math>, deren Gesamtlänge <math>\textstyle\sum_{k=1}^n (y_k-x_k)\,<\delta</math> ist, gilt
:<math>\sum_{k=1}^n \left|f(y_k)-f(x_k)\right| <\varepsilon.</math>

== Beziehung zu anderen Stetigkeitsbegriffen ==

Absolut stetige Funktionen sind [[gleichmäßig stetig]] und damit insbesondere [[Stetige Funktion#Stetigkeit reeller Funktionen|stetig]].
Die Umkehrung gilt nicht, so ist die [[Cantor-Verteilung|Cantor-Funktion]] stetig, aber nicht absolut stetig.
Andererseits ist jede [[Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetige]] Funktion auch absolut stetig.

== Absolute Stetigkeit von Maßen ==

Von besonderer Bedeutung für die [[Maßtheorie]] sind die [[Reellwertige Funktion|reellwertigen]] absolut stetigen Funktionen.
Es bezeichne <math>\lambda</math> das [[Lebesgue-Maß]].
Für [[monoton steigend]]e reellwertige Funktionen <math>f \colon I = [a,b] \to \R</math> sind folgende Eigenschaften äquivalent:

# ''Die Funktion <math>f</math> ist absolut stetig auf <math>I</math>''.
# ''Die Funktion <math>f</math> bildet <math>\lambda</math>-[[Nullmenge]]n wieder auf Nullmengen ab, d. h. für alle [[messbare Menge]]n <math>A \subseteq I</math> gilt <math>\lambda(A) = 0 \implies \lambda(f(A)) = 0</math>''.
# ''Die Funktion <math>f</math> ist <math>\lambda</math>-[[fast überall]] [[Differenzierbarkeit#Reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen|differenzierbar]], die [[Ableitungsfunktion]] <math>f' \in L^1(\lambda)</math> ist [[Lebesgueintegral#Integration beliebiger messbarer Funktionen und Integrierbarkeit|integrierbar]] und für alle <math>x \in I</math> gilt <math>\textstyle f(x) - f(a) = \int_a^x f'(t) \ \mathrm d \lambda(t)</math>.''

Daraus folgt ein enger Zusammenhang zwischen den absolut stetigen Funktionen und den [[Absolut stetiges Maß|absolut stetigen Maßen]], dieser wird durch die [[Verteilungsfunktion (Maßtheorie)|Verteilungsfunktion]]en vermittelt.

: ''Ein Maß <math>\mu</math> ist genau dann absolut stetig bzgl. <math>\lambda</math>, wenn jede [[Einschränkung (Mathematik)|Einschränkung]] der Verteilungsfunktion von <math>\mu</math> auf ein endliches Intervall <math>I \subset \R</math> eine absolut stetige Funktion auf <math>I</math> ist.''

Zwei Maße nennt man ''äquivalent'', wenn beide absolut stetig bezüglich einander sind
:<math>\mu \sim \lambda \iff\mu \ll \lambda \wedge\lambda\ll \mu</math>.

== Lebesgue-Integrale ==

Die absolut stetigen Funktionen finden auch Anwendung in der [[Integralrechnung|Integrationstheorie]], sie dienen dort dazu den [[Fundamentalsatz der Analysis#Der Hauptsatz für Lebesgue-Integrale|Fundamentalsatz der Analysis]] auf Lebesgue-Integrale auszudehnen.
Jenseits der obigen Äquivalenz sind nämlich '''auch nicht-monotone''' absolut stetige Funktionen fast überall differenzierbar und es gilt <math>\textstyle f(x) - f(a) = \int_a^x f' \, \mathrm d \lambda</math>.
Außerdem ist <math>f</math> ''schwach differenzierbar'' und die [[schwache Ableitung]] stimmt (fast überall) mit <math>f'</math> überein.
Dies liefert tatsächlich eine Charakterisierung der Lebesgue-Integrierbarkeit, denn die folgende Umkehrung gilt ebenfalls für beliebige Funktionen:

: ''Besitzt eine Funktion <math>f \colon I = [a,b] \to \R</math> eine integrierbare Ableitungsfunktion <math>f' \in L^1</math> und gilt für alle <math>x \in I</math>, dass <math>\textstyle f(x) - f(a) = \int_a^x f'(t) \ \mathrm d \lambda(t)</math>, so ist <math>f</math> notwendig absolut stetig auf <math>I</math>.''

== Optimale Steuerung ==

In der Theorie der [[Optimale Steuerung|optimalen Steuerungen]] wird gefordert, dass die [[Phasenraum|Lösungstrajektorien]] absolut stetig sind.

== Literatur ==

* [[Jürgen Elstrodt]]: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2.
* {{Literatur | Autor=[[Walter Rudin]] | Titel=Real and Complex Analysis | Auflage=3. | Verlag=McGraw-Hill | Ort=New York | Sprache=en|Jahr=1987 }}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]

Absolut stetige Funktion - Versionsgeschichte

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