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2024-11-17T07:00:43Z

FEHLER!!!

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Eine '''absolut konvergente Reihe''' ist ein Begriff aus der [[Analysis]]. Es handelt sich um eine Verschärfung des Begriffs der [[Grenzwert (Folge)|konvergenten]] [[Reihe (Mathematik)|Reihe]]. Für die absolut konvergenten Reihen bleiben manche Eigenschaften endlicher Summen gültig, die für die größere Menge der konvergenten Reihen im Allgemeinen falsch sind.

== Definition ==

Eine [[Reelle Zahl|reellwertige]] oder [[Komplexe Zahl|komplexwertige]] [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] <math>\textstyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n </math> heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der [[Absoluter Betrag|Absolutbeträge]]
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} |a_n| < \infty</math>
konvergiert, wenn also die Folge der Partialsummen <math>(\sum_{i=0}^n |a_i|)_{n \in \N_0}</math> konvergiert.

Diese Definition wird auch auf [[Normierter Raum|normierte Räume]] verallgemeinert: Eine Reihe in einem normierten Raum heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der [[Norm (Mathematik)|Norm]]en konvergiert.

== Beispiele ==
* Konvergente Reihen, deren Summanden [[fast alle]] nicht negativ sind, sind absolut konvergent.
* Die Reihe
::<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}</math>
:ist wegen
::<math>\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}</math>
:absolut konvergent.

* Die [[Potenzreihe]] der [[Exponentialfunktion]]
::<math>\exp(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}</math>
:ist für jedes komplexe <math>z</math> absolut konvergent.
* Generell gilt, dass eine reelle oder komplexe Potenzreihe im Inneren ihres [[Konvergenzkreis]]es absolut konvergent ist.
* Die alternierende [[harmonische Reihe]]
::<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}</math>
:ist konvergent gegen <math>\ln(2)</math>. Sie ist aber nicht absolut konvergent, denn beim Nachprüfen der definierenden Eigenschaft erhält man
::<math>\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n-1}}{n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math>,
:also die gewöhnliche harmonische Reihe. Diese ist [[bestimmt divergent]] gegen <math>\infty</math>.

== Eigenschaften ==
Jede absolut konvergente Reihe ist (unbedingt) [[Grenzwert (Folge)|konvergent]]. Das gilt sowohl für reellwertige wie für komplexwertige Reihen.
Allgemeiner: In endlich-dimensionalen Räumen ist ''[[unbedingt konvergent]]'' gleichbedeutend mit absolut konvergent.

Es gibt aber Reihen, die konvergent, aber nicht absolut konvergent sind, sie gelten als ''[[bedingt konvergent]]''. In unendlich-dimensionalen Räumen gibt es sogar [[Unbedingte Konvergenz#Satz von Dvoretzky-Rogers|''unbedingt'' konvergente]] Reihen, die nicht absolut konvergieren.

Manche [[Konvergenzkriterium|Konvergenzkriterien]] für Reihen, so das [[Wurzelkriterium]] und das [[Quotientenkriterium]], bedingen die absolute Konvergenz.

=== Umordnungen ===
{{Hauptartikel|Umordnung von Reihen}}
Eine wesentliche Eigenschaft absolut konvergenter Reihen ist, dass man wie bei endlichen Summen die Summanden beliebig vertauschen kann: Jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe <math>s</math>, d. h. jede Reihe, die durch Umordnung der Reihenglieder von <math>s</math> entsteht, ist konvergent und konvergiert gegen den gleichen Grenzwert wie <math>s</math>. Dies ist genau umgekehrt zu konvergenten, aber nicht absolut konvergenten Reihen <math>t</math>: Dort existiert stets eine Umordnung von <math>t</math>, die divergiert.

Ist die Reihe <math>t</math> reellwertig, so gilt die folgende, noch schärfere Aussage ([[Riemannscher Umordnungssatz]]): Zu jeder vorgegebenen Zahl <math>S\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}</math> existiert eine Umordnung der Reihe <math>t</math>, die gegen <math>S</math> (uneigentlich) konvergiert. Die Begründung ist leicht anzugeben, wir beschränken uns auf den Fall <math>S\ne\pm\infty</math>. Man ordnet die Summanden in zwei Folgen
:<math>a_1\geq a_2\geq\dotsb\geq a_n\geq\dotsb>0>\dotsb\geq b_n\geq\dotsb\geq b_2\geq b_1</math>
an (Summanden, die gleich null sind, werden weggelassen). Nun addiert man so lange Folgenglieder aus <math>(a_n)</math>, bis <math>S</math> überschritten wird, dann (negative) Folgenglieder aus <math>(b_n)</math>, bis <math>S</math> wieder unterschritten wird, dann wieder aus <math>(a_n)</math> usw. Das Verfahren ist durchführbar, weil <math>\sum a_n</math> und <math>\sum b_n</math> divergieren (ansonsten wäre die ursprüngliche Reihe absolut konvergent), und die umgeordnete Reihe konvergiert gegen <math>S</math>.

== Verallgemeinerungen ==
Der Begriff der absoluten Konvergenz lässt sich auf [[Normierter Raum|normierte Räume]] verallgemeinern. Gegeben sei eine Folge <math>(x_n)_{n\in\N}</math> von Elementen eines normierten Raumes <math>(X,\|\cdot\|)</math>. Die entsprechende Reihe <math>(s_n)_{n\in\N}</math> wird durch
:<math>s_n:=\sum_{\nu=1}^{n}x_\nu</math>
definiert. Die Reihe heißt absolut konvergent, wenn <math>\textstyle\sum_{\nu=1}^{\infty}\|x_\nu\|</math> konvergiert.

Ist <math>X</math> ein [[Banachraum]], also [[Vollständiger Raum|vollständig]], so ist jede absolut konvergente Reihe auch konvergent. Tatsächlich gilt hiervon auch die Umkehrung: Ist <math>(X,\|\cdot\|)</math> ein normierter Vektorraum und jede absolut konvergente Reihe konvergent, so ist <math>X</math> vollständig, also ein Banachraum.

In beliebigen vollständigen [[Metrischer Raum|metrischen Räumen]] gilt ein verwandtes Resultat. Eine Folge <math>\left(s_n\right)_{n\in\N}</math> ist zumindest dann konvergent, wenn die Summe
:<math>\sum_{\nu=1}^{\infty} d\left(s_{\nu-1},s_{\nu}\right)</math>
konvergiert. Da in obigem Beispiel ja <math>d\left(s_{\nu-1},s_{\nu}\right)=\|x_\nu\|</math>, ergibt sich die absolute Konvergenz daraus als Spezialfall.

== Literatur ==
* Avner Friedman: ''Foundations of Modern Analysis.'' Dover, New York 1970. ISBN 0-486-64062-0.
* Konrad Knopp: ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen''. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Absolute Konvergenz einer Reihe}}

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]
[[Kategorie:Konvergenzbegriff]]

Absolut konvergente Reihe - Versionsgeschichte

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