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2025-07-08T06:32:06Z

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Unter der '''Ableitung einer Menge''' versteht man in der [[Mathematik]] die Menge aller [[Häufungspunkt#Häufungspunkte und Berührpunkte einer Menge|Häufungspunkte]] dieser Menge. Vorausgesetzt wird dabei, dass auf der Menge ein [[Abstand]]sbegriff oder allgemeiner eine [[topologischer Raum|Topologie]] definiert ist.<ref>Zur Geschichte der Einführung des Begriffes ''Mengenableitung'' durch [[Georg Cantor|G. Cantor]] siehe ''[[Ordinalzahl#Geschichte der Entdeckung|Ordinalzahl: Geschichte der Entdeckung]]''.</ref> Ein gleichbedeutender Ausdruck ist die '''Derivierte'''<ref name="Ri">[[Willi Rinow]]: ''Lehrbuch der Topologie'' (= ''[[Hochschulbücher für Mathematik]].'' Bd. 79). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975.</ref> der Menge. Heißt die Menge <math>M</math>, so sind Zeichen für ihre Ableitung <math>M^\prime</math>, <math>M^{\rm{d}}</math> oder, für die erste Ableitung, <math>M^{(1)}</math>.

== Geschichte ==
Das Konzept wurde von [[Georg Cantor]] 1872<ref>Cantor, ''Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen'', Mathematische Annalen, Band 5, 1872, S. 123–132</ref> eingeführt und in seinen ersten Schriften zur Begründung der Mengenlehre benutzt, anfangs für die Untersuchung von Fourierreihen. Er betrachtete die aufeinanderfolgenden Ableitungen einer Punktmenge und bezeichnete <math>M^{(n)}</math> als Punktmenge n-ter Art, wenn <math>M^{(n+1)}</math> leer ist. Insbesondere führte die Folge der Ableitungen Cantor auf die Einführung [[Transfinite Arithmetik|transfiniter]] Ordinalzahlen.<ref>Ilgauds, Purkert,''Georg Cantor'', Teubner 1985, S. 25</ref> Bildet man die Folge der Ableitungen einer Menge, so sind die niedrigeren Ableitungen in den höheren enthalten und die Menge der Punkte, die in allen Ableitungen enthalten ist, kann als Ableitung der Ordnung „Unendlich“ (<math>\infty</math>) aufgefasst werden, <math>M^{\infty}</math>, später von ihm <math>\omega</math> genannt. Von da aus kann man dann weiter mit Ableitungen von <math>M^{\infty}</math> fortfahren (siehe [[Ordinalzahl]]). Das veröffentlichte er zwar noch nicht 1872, besaß die Idee aber seit 1870.

== Höhere Mengenableitungen ==
Höhere Mengenableitungen werden induktiv definiert: Die <math>n</math>-te Ableitung <math>M^{(n)}</math> ist die Ableitung der <math>(n-1)</math>-ten Ableitung <math>M^{(n-1)}</math>. Die [[abgeschlossene Hülle]] von <math>M</math> wird auch als die nullte Ableitung von <math>M</math> bezeichnet. Allgemeiner wird für jede isolierte [[Ordinalzahl]] <math>\xi</math> die <math>\xi</math>-te Ableitung <math>M^{(\xi)}</math> durch <math>M^{(\xi)}=(M^{(\xi-1)})^{(1)}</math> und für jede [[Limeszahl]] <math>\xi</math> durch <math>M^{(\xi)}=\textstyle{\bigcap_{\eta<\xi}}M^{(\eta)}</math> definiert.<ref name="Kur1">[[Kazimierz Kuratowski]]: ''Topology.'' Band 1. New edition, revised and augmumented. Academic Press u. a., New York NY u. a. 1966, ISBN 0-12-429201-1, § 9., § 24.IV.</ref>

=== Beispiel ===
Für eine Menge <math>M \subseteq \Q</math> definiere <math>1/M = \{1/m\}_{m \in M}</math> und <math>x \pm M = \{x \pm m\}_{m \in M}</math>.<br/>
Für eine Menge <math>M \subseteq \Q</math> und <math>a \in M</math> definiere <math>M_{< a} = \{\, m \in M \;|\; m < a \,\}</math> und analog <math>M_{>a}</math>.<br/>
Sei <math>X = (-1 - 1/\N) \cup (-1/\N) \cup \{0\} \cup (1/\N) \cup (1 + 1/\N) = \bigl\{{-2}, -\tfrac32, -\tfrac43, \dots, -1, -\tfrac12, -\tfrac13, \dots, 0, \dots, +\tfrac13, +\tfrac12, +1, \dots, +\tfrac43, +\tfrac32, +2 \bigr\}</math>. Die offenen Teilmengen von <math>X</math> sind <math>X</math> oder <math>X</math> ohne einen Mittelteil, der <math>0</math> enthält, also <math>X\setminus [-a, +b]</math> für <math>a,b \in \Q_{\ge 0}</math>. (Eine [[Basis (Topologie)|Basis]] ist <math>\{ X \} \cup \{X_{< x}\}_{x \in X_{<0}} \cup \{X_{>x}\}_{x \in X_{>0}}</math>.)

Jede offene Umgebung einer positiven Zahl enthält alle größeren Zahlen und jede offene Umgebung einer negativen Zahl enthält alle kleineren Zahlen. Die einzige [[offene Menge]], die <math>0</math> enthält, ist <math>X</math> selbst. Daher sind <math>-2</math> und <math>+2</math> die einzigen Elemente von <math>X</math>, die keine Häufungspunkte sind: <math>\{-2\}</math> und <math>\{+2\}</math> sind offene Mengen. Die Mengenableitung <math>X^{(1)}</math> ist also <math>X^{(1)} = X \setminus \{-2, +2\}</math>. Die Mengenableitung schneidet also die Endpunkte ab:
* <math>X^{(1)} = X \setminus \{-2, +2\} = \bigl\{ {-\tfrac32}, -\tfrac43, \dots, -1, -\tfrac12, -\tfrac13, \dots, 0, \dots, +\tfrac13, +\tfrac12, +1, \dots, +\tfrac43, +\tfrac32 \bigr\}</math>,
* <math>X^{(2)} = X \setminus \bigl\{{-2}, -\tfrac32, +\tfrac32, +2\bigr\} = \bigl\{{-\tfrac43}, \dots, -1, -\tfrac12, -\tfrac13, \dots, 0, \dots, +\tfrac13, +\tfrac12, +1, \dots, +\tfrac43 \bigr\}</math>,
* <math>X^{(3)} = X \setminus \bigl\{{-2}, -\tfrac32, -\tfrac43, +\tfrac43, +\tfrac32, +2\bigr\} = \bigl\{{-\tfrac54}, \dots, -1, -\tfrac12, -\tfrac13, \dots, 0, \dots, +\tfrac13, +\tfrac12, +1, \dots, +\tfrac54 \bigr\}</math>,
* …
* <math>X^{(n)} = X \setminus \bigl\{ {-2}, \dots, -\tfrac{n+1}{n}; +\tfrac{n+1}{n}, \dots, +2 \bigr\} = \bigl\{ {-\tfrac{n+2}{n+1}}, \dots, -1, -\tfrac12, -\tfrac13, \dots, 0, \dots, +\tfrac13, +\tfrac12, +1, +\tfrac{n+2}{n+1} \bigr\}</math>.

Folglich ist
:<math>X^{(\omega)} = \bigcap_{n=1}^\infty X^{(n)} = \{-1, -\tfrac12, -\tfrac13, \dots, 0, \dots, +\tfrac13, +\tfrac12, +1\}</math>.
Diese Menge hat die Endpunkte <math>-1</math> und <math>+1</math>, somit gilt:
* <math>X^{(\omega+1)} = X^{(\omega)} \setminus \{-1, +1\} = \bigl\{ {-\tfrac12}, -\tfrac13, \dots, 0, \dots, +\tfrac13, +\tfrac12 \bigr\}</math>,
* <math>X^{(\omega+2)} = X^{(\omega)} \setminus \bigl\{{-1}, -\tfrac12, +\tfrac12, +1\bigr\} = \bigl\{ {-\tfrac13}, \dots, 0, \dots, +\tfrac13 \bigr\}</math>,
* <math>X^{(\omega+3)} = X^{(\omega)} \setminus \bigl\{{-1}, -\tfrac12, -\tfrac13, +\tfrac13, +\tfrac12, +1\bigr\} = \bigl\{ {-\tfrac14}, \dots, 0, \dots, +\tfrac14 \bigr\}</math>,
* …
* <math>X^{(\omega+n)} = X^{(\omega)} \setminus \bigl\{{-1}, \dots, -\tfrac{1}{n}; +\tfrac{1}{n}, \dots, +1\bigr\} = \bigl\{ {-\tfrac{1}{n+1}}, \dots, 0, \dots, +\tfrac{1}{n+1} \bigr\}</math>.

Folglich ist
:<math>X^{(\omega + \omega)} = X^{(\omega\cdot2)} = \{0\}</math>
und
:<math>X^{(\omega\cdot2+1)} = \emptyset</math>.

Analog erreicht für breitere Anfangsmengen <math>X</math> (von <math>-n</math> bis <math>+n</math>) erst <math>X^{(\omega\cdot n+1)} = \emptyset</math>. Werden die Intervalle gequetscht, ergeben sich beliebige abzählbare Ordinalzahlen <math>\alpha</math>, die notwendig sind, damit <math>X^{(\alpha)} = \emptyset</math>.

== Eigenschaften ==
Die Ableitung einer Menge kann leer sein. In einem [[T1-Raum|T<sub>1</sub>]]-Raum gelten folgende Regeln:<ref name="Kur1" />
* <math>(M\cup N)^{(1)}=M^{(1)}\cup N^{(1)}</math>
* <math>M^{(1)}\setminus N^{(1)}\subseteq (M\setminus N)^{(1)}</math>
* <math>( M^{(1)} )^{(1)} \subseteq M^{(1)}</math>
* <math>\textstyle \left(\bigcap_{t\in T} M_t \right)^{(1)} \subseteq \bigcap_{t\in T} M_t^{(1)}</math>
* <math>\textstyle \bigcup_{t\in T} M_t^{(1)} \subseteq \left(\bigcup_{t\in T} M_t \right)^{(1)}</math>
* <math>M\subseteq N\ \Rightarrow\ M^{(1)}\subseteq N^{(1)}</math>
* <math>\overline{M}=M\cup M^{(1)}</math>
* <math>\overline{M}^{(1)}=\overline{M^{(1)}}=M^{(1)}</math>
* <math>\eta<\xi \Rightarrow M^{(\eta)}\supseteq M^{(\xi)}.</math>

Eine Menge <math>M</math> ist genau dann [[Perfekte Menge|perfekt]], wenn <math>M^{(1)}=M</math>. Der [[Insichdichter Kern|insichdichte Kern]] einer Menge ist der Durchschnitt seiner Ableitungen.<ref name="Naas">[[Josef Naas]], [[Hermann Ludwig Schmid]]: ''Mathematisches Wörterbuch. Mit Einbeziehung der theoretischen Physik.'' 2 Bände. 3. Auflage, unveränderter Nachdruck. Akademie-Verlag u. a., Berlin u. a. 1979, ISBN 3-519-02400-4 (Bd. 1).</ref>

== Räume mit abzählbarer Basis ==
Sei <math>\operatorname{cp}(M)</math> die Menge der [[Kondensationspunkt (Mathematik)|Kondensationspunkte]] von <math>M</math>.
In einem topologischen Raum mit abzählbarer Basis gilt:
* '''Erster Satz von Lindelöf'''<ref name="Al">[[Pawel Sergejewitsch Alexandrow]]: ''Lehrbuch der Mengenlehre.'' 6., überarbeitete Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main u. a. 1994, ISBN 3-8171-1365-X.</ref>: <math>\operatorname{card}(M\setminus \operatorname{cp}(M))<\aleph_1</math>,
* '''Satz von Cantor-Bendixson, I'''<ref name="Dist">Oliver Deiser: ''Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen'' (= ''Springer-Lehrbuch''). Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-45387-1.</ref>: Jede abgeschlossene Menge lässt sich als Vereinigung von einer perfekten und einer höchstens abzählbaren Menge darstellen. In [[Polnischer Raum|polnischen Räumen]] ist diese Darstellung eindeutig.
Daraus ergibt sich als Folgerung:
* Jede abgeschlossene Menge ist entweder höchstens abzählbar oder hat die Mächtigkeit des Kontinuums.

Ein möglicher Beweis verwendet
* '''Satz von Cantor-Bendixson, II'''<ref name="Al" />: In Räumen mit abzählbarer Basis endet für jede Teilmenge die Folge ihrer Ableitungen immer mit einer perfekten Menge, d. h. für jede Menge <math>M</math> existiert eine Ordinalzahl <math>\xi<\Omega</math>, so dass <math>M^{(\xi)}=M^{(\xi+1)}</math>.

Die kleinste derartige Ordinalzahl heißt Cantor-Bendixsonscher Grad der Menge.

Der zweite Satz von Cantor-Bendixson ist eine Verallgemeinerung des ersten. Man betrachte die auf <math>M</math> durch <math>X</math> induzierte Topologie. Wenn <math>\beta</math> der Cantor-Benidixsonsche Grad der Menge <math>M</math> in diesem Raum ist, dann ist
: <math>M = \bigcup_{\alpha < \beta}(M^{(\alpha)} \setminus M^{(\alpha+1)}) \cup M^{(\beta)}</math>.
Die Mengen <math>M^{(\alpha)} \setminus M^{(\alpha+1)}</math> bestehen nur aus isolierten Punkten und sind höchstens abzählbar. Die Menge
: <math>\bigcup_{\alpha < \beta}(M^{(\alpha)} \setminus M^{(\alpha+1)})</math>
ist als Vereinigung von höchstens abzählbar vielen höchstens abzählbaren Mengen selbst höchstens abzählbar. Die Menge <math>M^{(\beta)}</math> ist wegen <math>M^{(\beta)}=M^{(\beta+1)}</math> perfekt.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]

Ableitung einer Menge - Versionsgeschichte

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