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2022-06-29T17:58:33Z

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'''Abgeschlossene Operatoren''' werden in der [[Funktionalanalysis]], einem [[Teilgebiet der Mathematik]], betrachtet. Es handelt sich dabei um [[Linearer Operator|lineare Operatoren]] mit einer bestimmten topologischen Eigenschaft, die schwächer als [[Beschränkter Operator|Stetigkeit]] ist. Diese spielen eine bedeutende Rolle in der für die [[Quantenmechanik]] wichtigen Theorie der dicht-definierten Operatoren.

== Definition ==

Seien <math>X</math> und <math>Y</math> [[Normierter Raum|normierte Räume]], <math>D\subset X</math> ein Unterraum und <math>T:D\rightarrow Y</math> ein linearer Operator. Man nennt <math>\{(x,Tx); x\in D\}\subset X\times Y</math> den [[Funktionsgraph|Graphen]] von <math>T</math> und bezeichnet ihn mit <math>G(T)</math>. Der Graph von <math>T</math> ist ein [[Untervektorraum]] des normierten Raums <math>X\times Y</math>.

Man nennt <math>T</math> '''abgeschlossen''', wenn der Graph <math>G(T)</math> ein [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossener]] Untervektorraum ist.

Man nennt <math>T</math> '''abschließbar''', wenn der abgeschlossene Untervektorraum <math>\overline{G(T)}\subset X\times Y</math> der Graph eines linearen Operators ist; dieser lineare Operator wird dann der Abschluss von <math>T</math> genannt und mit <math>\overline{T}</math> bezeichnet.

Der Begriff des Graphen einer Funktion bzw. eines Operators ist eigentlich entbehrlich, denn in einer mengentheoretischen Definition der [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] ist die Funktion durch ihren Graphen definiert. Dann kann man direkt von der Abgeschlossenheit bzw. vom Abschluss von <math>T</math> reden.

== Charakterisierungen ==

* Mit obigen Bezeichnungen ist <math>T \colon D\rightarrow Y</math> genau dann abgeschlossen, wenn folgendes gilt:
:Ist <math>(x_n)_n</math> eine Folge in <math>D</math> mit <math>x_n\rightarrow x \in X</math> und <math>Tx_n\rightarrow y\in Y</math>, so ist <math>x\in D</math> und <math>Tx=y</math>.
:Dies findet man häufig als Definition der Abgeschlossenheit von Operatoren. Es handelt sich dabei lediglich um die Charakterisierung der Abgeschlossenheit von <math>G(T)</math> im [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] <math>X\times Y</math> mittels Folgen.

* Sind <math>X</math> und <math>Y</math> Banachräume, so ist ein linearer Operator <math>T \colon D\rightarrow Y</math> genau dann abgeschlossen, wenn der Definitionsbereich mit der durch <math>\|x\|_T :=\|x\|+\|Tx\|</math> definierten, sogenannten ''Graphennorm'' vollständig ist.

* Weiter ist <math>T \colon D\rightarrow Y</math> genau dann abschließbar, wenn Folgendes gilt: Ist <math>(x_n)_n</math> eine Folge in <math>D</math> mit <math>x_n\rightarrow 0</math> und konvergiert <math>(Tx_n)_n </math> gegen ein <math>y\in Y</math>, so ist <math>y=0</math>.

== Beispiele ==

* Sei <math>C[0,1]</math> der [[Banachraum]] der stetigen Funktionen <math>[0,1]\rightarrow {\mathbb C}</math> mit der [[Supremumsnorm]], <math>D</math> der Unterraum der [[Differentialrechnung|stetig differenzierbaren]] Funktionen und <math>T:D\rightarrow C[0,1]</math> sei der Ableitungsoperator, d. h. <math>Tf=f\,'</math>. Dieser Operator ist abgeschlossen. Das ist offenbar äquivalent zu einem bekannten Satz aus der elementaren Analysis über Grenzwerte differenzierbarer Funktionen, der im Artikel [[Gleichmäßige Konvergenz]] unter ''Differenzierbarkeit'' besprochen ist.

* Ist <math>\ell^2</math> der [[Folgenraum]] der quadratisch summierbaren Folgen mit der üblichen [[Hilbertraum]]-Norm, <math>D:=\left\{(x_n)_n\in \ell^2; \sum_{n=1}^\infty n^2|x_n|^2 < \infty\right\}</math> und ist <math>T:D\rightarrow \ell^2</math> definiert durch <math>T(x_n)_n := (nx_n)_n</math>, so ist <math>T</math> ein abgeschlossener Operator, der nicht stetig ist.

* Wir betrachten wieder den Hilbertraum <math>\ell^2</math>. Sei <math>D</math> der [[Dichte Teilmenge|dichte]] Untervektorraum aller endlichen Folgen. Dann ist der durch <math>T(x_n)_n := \left(\sum_{n=1}^\infty n x_n,0,0,\ldots\right)</math> definierte Operator <math>T:D\rightarrow\ell^2</math> nicht abschließbar. (Man beachte, dass die Reihe in obiger Definition stets endlich ist, <math>T</math> also wohldefiniert ist.)

* Ist <math>T:X\rightarrow Y</math> stetig, so ist <math>T</math> abgeschlossen, denn aus <math>x_n \to x</math> und <math>Tx_n \to y</math> folgt wegen der Stetigkeit sofort <math>Tx=y</math>. Sind <math>X</math> und <math>Y</math> Banachräume, so gilt die Umkehrung. Das ist gerade die Aussage des berühmten [[Satz vom abgeschlossenen Graphen|Satzes vom abgeschlossenen Graphen]].

== Hilberträume ==

Seien <math>X</math> und <math>Y</math> Hilberträume und <math>T:D\rightarrow Y</math> wie oben. Man sagt, <math>T</math> sei dicht-definiert, wenn der Untervektorraum <math>D\subset X</math> dicht liegt. In diesem Fall ist der [[Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] <math>T^*</math> von <math>T</math> erklärt. Dies vereinfacht die Untersuchung abschließbarer bzw. abgeschlossener Operatoren, denn es gelten folgende Aussagen für einen dicht-definierten Operator <math>T:D\rightarrow Y</math>:
* <math>T</math> ist genau dann abschließbar, wenn <math>T^*</math> dicht-definiert ist.
* Ist <math>T</math> abschließbar, so gilt <math>\overline{T}^* = T^*</math> und <math>T^{**}=\overline{T}.</math>
* Ist <math>T</math> abgeschlossen, so ist <math>T^*T</math> ein [[selbstadjungierter Operator]].

== Anwendungen ==

In der Quantenmechanik ist der Nachweis der Selbstadjungiertheit dicht-definierter Operatoren in Hilberträumen von fundamentaler Bedeutung, denn solche Operatoren sind genau die quantenmechanischen [[Observable]]n. Häufig ist der Nachweis, dass der in Rede stehende Operator [[Symmetrischer Operator|symmetrisch]] ist, recht einfach. Dann kann folgender Satz weiter helfen:

Sei <math>X</math> ein Hilbertraum, <math>D\subset X</math> ein dichter Unterraum und <math>T:D\rightarrow X</math> ein abgeschlossener und symmetrischer Operator. Dann sind folgende Aussagen äquivalent, wobei <math>I:X\rightarrow X</math> der identische Operator sei.
* <math>T</math> ist selbstadjungiert.
* Die Operatoren <math>T^* \pm iI</math> sind [[Injektivität|injektiv]].
* Die Operatoren <math>T \pm iI</math> sind [[Surjektivität|surjektiv]].
* Die Operatoren <math>T \pm iI</math> haben dichtes Bild in <math>X</math>.

Dabei ist ''i'' die imaginäre Einheit, und der Definitionsbereich von <math>T^* \pm iI</math>, bzw. <math>T \pm iI</math> ist der von <math>T^*</math> bzw. <math>T</math>.

In der Quantenmechanik betrachtet man oft nicht die selbstadjungierten Operatoren auf ihrem kompletten Definitionsbereich, sondern nur auf einem Unterraum, dessen Elemente angenehme Eigenschaften haben. So schränkt man in <math>L^2</math>-Räumen definierte Operatoren <math>T:D\rightarrow L^2</math> gerne auf Räume differenzierbarer Funktionen ein, z. B. auf Räume beliebig oft differenzierbarer Funktionen, insbesondere wenn die betrachteten Operatoren [[Differentialoperator]]en sind. Dabei wählt man solche Untervektorräume <math>D_0</math>, so dass der Abschluss des eingeschränkten Operators <math>T|_{D_0}</math> wieder <math>T</math> ist. Solche Unterräume <math>D_0</math> nennt man einen ''wesentlichen Bereich'' oder ''Kern'' von <math>T</math>, was nicht mit dem [[Kern (Algebra)|Nullraum]], den man auch Kern nennt, verwechselt werden darf. Viele quantenmechanische Rechnungen werden nur auf solchen Kernen ausgeführt, anschließend setzt man die gefundenen Beziehungen zwischen Operatoren durch die Abschluss-Operation fort.

== Quellen ==
* [[Richard Kadison|R.V. Kadison]], [[John Ringrose|J. R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras'', 1983, ISBN 0-12-393301-3
* [[Hans Triebel|H. Triebel]]: ''Höhere Analysis'', Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-87144-583-5
* John B. Conway: ''A Course in Functional Analysis.'' Springer Science & Business Media, 2007, ISBN 978-0-387-97245-9, S. 304 ({{Google Buch|BuchID=ix4P1e6AkeIC|Seite=304}}).

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Lineare Abbildung]]

Abgeschlossener Operator - Versionsgeschichte

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