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Das '''abelsche Integral''' ist ein [[Integralrechnung|Integral]] mit einem Integranden, der eine bestimmte Form aufweist. Benannt sind diese Integralausdrücke nach dem Mathematiker [[Niels Henrik Abel]]; sie werden besonders in der [[Funktionentheorie]] oder in der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] untersucht.

== Definition ==
Sei <math>R</math> eine [[rationale Funktion]] in zwei Variablen. Dann ist das abelsche Integral ein Integralausdruck der Form
:<math>\int_a^b R(z, w(z))\,\mathrm{d}z,</math>
wobei <math>w</math> eine [[algebraische Funktion]] von <math>z</math> ist. Der Wert des Integrals hängt im Allgemeinen von der Wahl der [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] ab, welche <math>a</math> mit <math>b</math> verbindet.

In der algebraischen oder komplexen Geometrie verallgemeinert man diese Integralausdrücke mit Hilfe rationaler [[Differentialform|Differentialformen]] auf kompakte [[Riemannsche Fläche|riemannsche Flächen]]. Man spricht von einem abelschen Integral erster Art, wenn die Differentialform [[Holomorphe Differentialform|holomorph]] ist, von zweiter Art, wenn alle [[Polstelle]]n von der [[Polstelle#Ordnung einer Polstelle|Ordnung]] größer oder gleich zwei sind, und von der dritten Art sonst.

Diese Integrale sind eine Verallgemeinerung der aus der [[Funktionentheorie]] bekannten [[Elliptisches Integral|elliptischen Integrale]]. Diese erhält man für den Spezialfall <math>\textstyle w(z)=\sqrt{P(z)}</math> mit <math>P(z)</math> einem [[Polynom]] dritten oder vierten [[Grad (Polynom)|Grad]] ohne mehrfache [[Nullstelle]]n.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=P. Griffiths, J. Harris |Titel=Principles of Algebraic Geometry |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=1994 |ISBN=0-471-05059-8 |Sprache=en}}
* {{Literatur |Autor=[[Carl Gottfried Neumann|C. Neumann]] |Titel=Vorlesungen über Riemann’s Theorie der Abel’schen Integrale |Auflage=2. |Verlag=B. G. Teubner |Ort=Leipzig |Datum=1884}}

== Weblinks ==
* [http://www.zeno.org/Lueger-1904/A/Abelsche+Integrale+und+Abelsche+Funktionen Abelsche Integrale und Abelsche Funktionen]
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Abelian_integral Springer Online Reference Abelian Integral]

[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Niels Henrik Abel]]

Abelsches Integral - Versionsgeschichte

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