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2024-08-23T12:40:00Z

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In der [[Mathematik]] ist die '''abelsche partielle Summation''' (nach [[Niels Henrik Abel]]), oder kurz '''partielle Summation''', eine bestimmte Umformung einer [[Summe]] von [[Multiplikation|Produkten]] jeweils zweier Zahlen. Trotz ihrer Einfachheit handelt es sich dabei um eine der innerhalb der [[Analysis]] bedeutendsten Techniken bezüglich des Umgangs mit Summen oder [[Reihe (Mathematik)|unendlichen Reihen]].

Besonders im Umfeld bestimmter Funktionenreihen, wie [[Potenzreihe|Potenz-]] und [[Dirichlet-Reihe]]n, ist die partielle Summation von Nutzen. Zum Beispiel gelingt mit ihr der Nachweis der Existenz einer (eindeutig bestimmten) [[Dirichletreihe#Konvergente Dirichletreihen|Konvergenzabszisse]] zu einer Dirichlet-Reihe, falls diese irgendwo konvergiert, während dies mit Methoden wie der [[Dreiecksungleichung]] nicht möglich ist. Innerhalb der [[Analytische Zahlentheorie|analytischen Zahlentheorie]] kommt sie ferner beim Umgang mit asymptotischen Ausdrücken, wie etwa äquivalenten Formulierungen des [[Primzahlsatz]]es, zum Einsatz.

== Aussage ==

Es seien <math>n</math> eine [[natürliche Zahl]] und <math>a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n</math> [[reelle Zahl|reelle]] oder [[komplexe Zahl]]en. Dann gilt
: <math>\sum_{k=1}^{n}a_k b_k = A_n b_n + \sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1})</math>
mit
: <math>A_k = a_1 + a_2 + \dotsb + a_k.</math>

Die Aussage besitzt eine gewisse formale Ähnlichkeit zur [[Partielle Integration|partiellen Integration]], wenn man die Entsprechung zwischen Summen und Integralen sowie zwischen Differenzen und Ableitungen berücksichtigt. Dies motiviert die Bezeichnung.

== Abelsche Ungleichung ==

Ist <math>(b_k)</math> eine [[Monoton fallende Folge|monoton fallende]] [[Folge (Mathematik)|Folge]] mit positiven Folgegliedern, d. h. gilt
: <math>b_1\geq b_2\geq b_3\geq\dotsb\geq b_n>0,</math>
und sind die Zahlen <math>a_k</math> beliebig reell (oder [[komplexe Zahl|komplex]]), so gilt
: <math>\bigg|\sum_{k=1}^na_kb_k\bigg|\leq b_1\cdot\max_{k=1,\ldots,n}|A_k|.</math>
(Zur Notation „max“ siehe [[größtes und kleinstes Element]].)

Diese Aussage folgt direkt durch Anwendung der [[Dreiecksungleichung]] auf die rechte Seite der oben angegebenen Gleichung für die abelsche partielle Summation.

Abel benutzte diese Ungleichung, um zu beweisen, dass eine [[Potenzreihe]]
: <math>a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dotsb,</math>
die für eine bestimmte positive reelle Zahl <math>x=x_0</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]], auch für jede kleinere positive Zahl <math>x<x_0</math> konvergent ist und auf <math>0<x<x_0</math> eine [[Stetige Funktion|stetige]] Funktion darstellt. Der wesentliche Schritt dabei ist die Umformung
: <math>a_mx^m + a_{m+1}x^{m+1} + \dotsb = \Big(\frac x{x_0}\Big)^m\cdot a_mx_0^m + \Big(\frac x{x_0}\Big)^{m+1}\cdot a_{m+1}x_0^{m+1} + \dotsb,</math>
und da <math>(x/x_0)^k</math> eine monoton fallende Folge ist, kann man die Summe auf der rechten Seite nach der abelschen Ungleichung durch
: <math>\bigg|\frac x{x_0}\bigg|^m\cdot\sup_{k\geq m}\bigg|\sum_{\nu=m}^k a_\nu x_0^\nu\,\bigg|</math>
nach oben abschätzen, und die beiden Faktoren werden für großes <math>m</math> beliebig klein.

== Literatur ==

* [[Niels Henrik Abel]]: ''Untersuchungen über die Reihe''
:: <math>\textstyle 1+\frac m1\cdot x+\frac{m\,\cdot\,(m-1)}{1\,\cdot\,2}\cdot\,x^2+\frac{m\cdot \,(m-1)\,\cdot\,(m-2)}{1\,\cdot\,2\,\cdot\,3}\cdot \,x^3+\dotsb</math>
: In: [[Crelles Journal|''J. Reine Angew. Math.'']] 1 (1826), S. 311–331.
: Die abelsche Ungleichung zusammen mit der relevanten Umformung findet sich als Lehrsatz III auf S. 314.
* [[Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis Teil 1.'' 10. Auflage, Springer Fachmedien, 1992, ISBN 978-3-519-32231-3.
* [[Konrad Knopp]]: ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen.'' 6. Auflage, Springer-Verlag, Berlin u. a. 1996, S. 322 f. ISBN 3-540-59111-7.
* [[Gérald Tenenbaum]]: ''Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory'' (= Graduate Studies in Mathematics. Band 163). Third Edition, American Mathematical Society, Providence (R.I.) 2015, ISBN 978-0-8218-9854-3.

== Weblinks ==

* [https://mathworld.wolfram.com/AbelsInequality.html Abelsche Ungleichung]

[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]
[[Kategorie:Niels Henrik Abel]]

Abelsche partielle Summation - Versionsgeschichte

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