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2024-08-17T14:19:39Z

Abelsche Von-Neumann-Algebren auf separablen Hilberträumen

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'''Abelsche Von-Neumann-Algebren''' sind im mathematischen Teilgebiet der [[Funktionalanalysis]] betrachtete [[Von-Neumann-Algebra|Von-Neumann-Algebren]], deren Multiplikation [[Kommutativgesetz|kommutativ]] ist.

== Beispiele ==
* Die Algebra der [[Diagonalmatrix|Diagonalmatrizen]] auf dem endlichdimensionalen [[Hilbertraum]] <math>\Complex^n</math> ist eine abelsche Von-Neumann-Algebra, die offenbar zur Algebra <math>\Complex^n</math> mit der komponentenweisen Multiplikation [[Isomorphismus|isomorph]] ist. Die Unteralgebra der konstanten Vielfachen der [[Einheitsmatrix]] ist ebenfalls eine abelsche Von-Neumann-Algebra.
* Der [[Folgenraum]] <math>\ell^\infty</math> mit der komponentenweisen Multiplikation ist die unendlichdimensionale Verallgemeinerung des ersten Beispiels. Diese abelsche Von-Neumann-Algebra operiert auf dem Hilbertraum <math>\ell^2</math>.
* Ist <math>\lambda</math> das [[Lebesguemaß]] auf dem Einheitsintervall [0,1], so definiert jede Funktion <math>f\in L^\infty([0,1],\lambda)</math> durch die Formel <math>M_f(\xi) := f\cdot \xi</math> einen stetigen [[Linearer Operator|linearen Operator]] <math>M_f: L^2([0,1],\lambda)\rightarrow L^2([0,1],\lambda)</math>. Die Algebra <math>\{M_f; f\in L^\infty([0,1],\lambda)\}</math> ist eine abelsche Von-Neumann-Algebra, die man einfach mit <math>L^\infty[0,1]</math> bezeichnet.

== Abelsche Von-Neumann-Algebren als L<sup>∞</sup>-Algebren ==
Das obige Beispiel der <math>L^\infty</math> ist bis auf Isomorphie bereits der allgemeinste Fall. Es gilt<ref>[[Jacques Dixmier]]: ''Von Neumann algebras.'' North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, I.7.3: ''Structure of abelian von Neumann algebras''</ref>:

Ist <math>A</math> eine abelsche Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum <math>H</math>, so gibt es einen [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakten]] [[Hausdorffraum]] <math>X</math> und ein [[Maß (Mathematik)|positives Maß]] <math>\mu</math> auf <math>X</math> mit [[Träger (Mathematik)|Träger]] <math>X</math>, so dass <math>A</math> isomorph zu <math>L^\infty(X,\mu)</math> ist.
Isomorphie bedeutet dabei [[Isometrie|isometrische]] *-Isomorphie. Ist der Hilbertraum <math>H</math> [[Separabler Raum|separabel]], so kann man <math>X</math> als [[Kompakter Raum|kompakten]], [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] wählen.

Ist umgekehrt <math>(X,\mu)</math> ein [[Maßraum]] mit lokalkompaktem <math>X</math>, so definiert jede Funktion <math>f\in L^\infty(X,\mu)</math> durch die Formel <math>M_f(\xi) := f\cdot \xi</math> einen stetigen linearen Operator <math>M_f: L^2(X,\mu)\rightarrow L^2(X,\mu)</math>. Die Algebra <math>A = \{M_f; f\in L^\infty(X,\mu)\}</math> ist eine abelsche Von-Neumann-Algebra, die isomorph zu <math>L^\infty(X,\mu)</math> ist. <math>A</math> ist maximal unter allen abelschen Von-Neumann-Algebren auf <math>L^2(X,\mu)</math>.

== Abelsche Von-Neumann-Algebren auf separablen Hilberträumen ==
Die Isomorphisklassen der abelschen Von-Neumann-Algebren über einem separablen Hilbertraum lassen sich vollständig überblicken; beschränkt man sich auf maximale Von-Neumann-Algebren, so kann man Isomorphie sogar durch unitäre Äquivalenz ersetzen.<ref>[[Richard Kadison|R.V. Kadison]], [[John Ringrose|J. R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II'', Academic Press (1983), ISBN 0-12-393302-1, Theorem 9.4.1</ref>

Es seien <math>A_n \subset L(\Complex^n)</math> die zu <math>\Complex^n</math> und <math>A_\infty</math> die zu <math>\ell^\infty</math> isomorphe Von-Neumann-Algebren aus obigen Beispielen. Jede maximale abelsche Von-Neumann-Algebra über einem separablen Hilbertraum ist unitär äquivalent zu genau einer der Algebren
* <math>A_n,\quad 1\le n \le \infty</math>
* <math>L^\infty[0,1]</math>
* <math>A_n\oplus L^\infty[0,1], \quad 1\le n \le \infty</math>

Dabei heißen zwei Von-Neumann-Algebren <math>A</math> über <math>H</math> und <math>B</math> über <math>K</math> unitär äquivalent, falls es einen [[Unitärer Operator|unitären Operator]] <math>u:H \rightarrow K</math> gibt, so dass <math>a\mapsto uau^*</math> ein Isomorphismus <math>A\rightarrow B</math> ist.

== Abelsche Von-Neumann-Algebren als C*-Algebren ==
Abelsche Von-Neumann-Algebren sind insbesondere kommutative [[C*-Algebra|C*-Algebren]] und als solche nach dem [[Satz von Gelfand-Neumark]] isomorph zu einer Algebra <math>C(X)</math> stetiger Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum. <math>X</math> ist ein [[extremal unzusammenhängender Raum]]. Die Umkehrung gilt nicht, das heißt, es gibt extremal unzusammenhängende, kompakte Hausdorffräume <math>X</math>, so dass die Algebra <math>C(X)</math> nicht isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra ist.<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II'' Academic Press (1983), ISBN 0-12-393301-3, 5.7.21.</ref>

== Spektralsatz ==
Ist <math>a\in L(H)</math> ein [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierter]], beschränkter linearer Operator auf dem Hilbertraum <math>H</math>, so ist die von <math>a</math> erzeugte Von-Neumann-Algebra abelsch und enthält sämtliche [[Spektralmaß|Spektralprojektionen]] von <math>a</math>. Abelsche Von-Neumann-Algebren sind daher ein natürlicher Rahmen zur Entwicklung der [[Spektralmaß|Spektraltheorie]], was sich auch auf unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren ausdehnen lässt. Dieses Programm wird konsequent in <ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I'', Academic Press (1983), ISBN 0-12-393301-3, Kapitel 5.2 und 5.6</ref> ausgeführt.

== Siehe auch ==
* Abelsche Von-Neumann-Algebren sind [[Typ I Von-Neumann-Algebra|Typ I Von-Neumann-Algebren]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:John von Neumann als Namensgeber]]

Abelsche Von-Neumann-Algebra - Versionsgeschichte

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