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2023-12-13T06:31:26Z

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Die '''abelsche Integralgleichung''' ist eine spezielle volterrasche [[Integralgleichung]] 1. Art. Sie hat die Form:

:<math> f(h) = \int _0 ^{h} \frac{u (y)}{ \sqrt{h-y} }\, \mathrm dy </math>.

wobei <math>f</math> vorgegeben und <math>u</math> die gesuchte Funktion ist. Die volterrasche Integralgleichung 1. Art ist allgemeiner als

:<math> f(h) = \int _0 ^{h} u (y) K (h,y) \mathrm dy </math>

definiert mit einer [[Integralkern|Kernfunktion]] <math>K</math>. Speziell für Kernfunktionen <math>K</math> der Form

:<math>K(h,y) =\frac {1}{{(h-y)}^a}</math>

mit <math>0 < a < 1</math> gibt es eine allgemeine Lösungsmethode durch Rückführung auf die Formel für die [[Eulersche Betafunktion]]. Es ergibt sich:

:<math> u(y) =\frac {\sin (\pi a)}{\pi} \frac {\mathrm d}{\mathrm dy} \int_0^{y} {(y-x)}^{(a-1)} f(x) \mathrm dx</math>

Bei der abelschen Integralgleichung ist <math>a =\tfrac {1}{2}</math>.

Der durch die Verallgemeinerung der abelschen Integralgleichung für <math>0 < a < 1</math> ausgedrückte Zusammenhang zwischen den Funktionen <math>f</math> und <math>u</math> wird auch als '''Abel-Transformation''' bezeichnet, das heißt <math>f</math> ist die Abel-Transformierte von <math>u</math>. Die durch die erwähnte Lösungsmethode für <math>0 < a < 1</math> gelieferte Formel für <math>u</math> ergibt die Umkehrformel der Abeltransformation.

== Anwendung und Geschichte ==
[[Niels Henrik Abel]] untersuchte 1823 als einer der ersten Integralgleichungen, und zwar in Zusammenhang mit einem mechanischen Problem. Bis dahin war die Mechanik vorwiegend von [[Differentialgleichungen]] bestimmt. Abel betrachtete einen Körper, der sich unter dem Einfluss der [[Schwerkraft]] entlang einer in einer vertikalen Ebene gelegenen Kurve von <math> P1(x_0,y_0) </math> nach (0,0) bewegt.

Ausgehend von der [[Mechanik|klassischen]] Formel für Geschwindigkeit<ref>{{Internetquelle |autor=Francesco Mainardi |url=https://appliedmath.brown.edu/sites/default/files/fractional/19%20Abel%20Integral%20Equations.pdf |titel=Abel Integral Equations |werk=Lecture Notes on Mathematical Physics |hrsg=Department of Physics, University of Bologna |datum=2012-02 |seiten=12 |sprache=en |abruf=2023-12-11}}</ref>

:<math> v = \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}= -\sqrt{2g(y_0- y)} </math>

kommt man durch Integration über die Strecke auf die Fallzeit

:<math> T(y_0) = \int _0 ^l \frac {\mathrm ds}{\sqrt{2g(y_0-y)}} </math>.

Durch die Substitution <math> s=f(y) \, \Rightarrow \, f'(y) = \mathrm ds/ \mathrm dy \, \Rightarrow \, \mathrm ds = f'(y) \cdot \mathrm dy </math> zu der endgültigen Form:

:<math> T(y_0) = \frac{1} { \sqrt{2g} } \int _0 ^{y_0} \frac{f'(y)}{ \sqrt{y_0-y} }\, \mathrm dy </math>.

Kennt man die Kurve <math>f(y)</math>, erhält man so die Fallzeit. Abel betrachtete auch das umgekehrte Problem: ist die Fallzeit vorgegeben, erhält man eine abelsche Integralgleichung für die unbekannte Funktion <math>f'(y)</math>.

Weitere Anwendungen der abelschen Integralgleichung bzw. der Abel-Transformation gibt es in der Astrophysik, in der Geophysik ([[Gustav Herglotz|Herglotz]]-[[Emil Wiechert|Wiechert]]-Methode der Bestimmung der Geschwindigkeitsverteilung aus Ankunftszeiten von seismischen Wellen) und beispielsweise in der Bestimmung der Atmosphären-Daten von Planeten durch [[Radio-Okkultation]]. Wie in der ursprünglichen Anwendung sind das typische [[inverses Problem|inverse Probleme]].

== Literatur ==
* Rudolf Gorenflo, Sergio Vessella ''Abel Integral Equations – Analysis and Applications'', Springer, Lecture Notes in Mathematics, Bd. 1461, 1991
* Flügge ''Methoden der mathematischen Physik'', Bd. 1, Springer Verlag, S. 130
* Tricomi ''Integral Equations'', Interscience, 1957, S. 39f
* [[Rudolf Rothe]] ''Zur Abelschen Integralgleichung'', Mathematische Zeitschrift, Band 33, 1931, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN266833020_0033 Online]

== Weblinks ==
* {{MathWorld | id = AbelTransform | title = Abel Transform}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Niels Henrik Abel]]

Abelsche Integralgleichung - Versionsgeschichte

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