imported>Aka: /* Literatur */ https

2021-04-24T15:48:37Z

Literatur: https

Neue Seite

{{Dieser Artikel|behandelt die abelsche Identität für die Wronski-Determinante. Für die abelsche Identität als Umformung einer Summe von Produkten jeweils zweier Faktoren siehe [[abelsche partielle Summation]].}}

Die '''abelsche Identität''' ist ein Ausdruck für die [[Wronski-Determinante]] zweier [[Lineare Abhängigkeit|linear unabhängiger]] homogener Lösungen einer [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung|linearen gewöhnlichen Differentialgleichung]] zweiter Ordnung. Die Beziehung wurde 1827 von dem norwegischen Mathematiker [[Niels Henrik Abel]] (1802–1829) hergeleitet.

== Aussage ==
Gegeben sei die lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung
:<math>y''(x)-a_1(x)y'(x)-a_0(x)y(x) = 0</math>.
Für die [[Wronski-Determinante]] von zwei Lösungen der Differentialgleichung gilt dann
:<math>W(x) = W(x_0)\ \exp\left(\int_{x_0}^x a_1(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)</math>.

== Beweis ==
Nach Definition ist <math>W(x) = \det\Phi(x)</math>, worin <math>\Phi</math> ein [[Fundamentalsystem (Mathematik)|Fundamentalsystem]] für die Differentialgleichung
:<math>Y'(x) = A(x)Y(x)</math> mit <math>A(x) := \begin{pmatrix}0&1\\a_0(x)&a_1(x)\\\end{pmatrix}</math>
ist. Gemäß der [[Liouvillesche Formel|liouvilleschen Formel]] gilt
:<math>W(x) = W(x_0)\ \exp\left(\int_{x_0}^x \mathrm{Spur} (A(\xi))\ \mathrm{d}\xi\right) = W(x_0)\ \exp\left(\int_{x_0}^x a_1(\xi)\,\mathrm{d}\xi\right)</math>.
<div align="right"><math>\Box</math></div>

== Anwendung ==
Die abelsche Identität erlaubt es, die [[Wronski-Determinante]] bei bekanntem Wert an der Stelle <math>x_0</math> für alle anderen <math>x</math> zu berechnen. Insbesondere ist die Wronski-Determinante konstant, wenn <math>a_1(x)\equiv 0</math> gilt. Aufgrund der Beziehung, die die Wronski-Determinante zwischen zwei linear unabhängigen Lösungen herstellt, erlaubt sie unter Umständen, die eine aus der anderen zu berechnen.

== Literatur ==
* W. Boyce, R. Di Prima: ''Elementary differential equations and boundary value problems.'' Wiley, New York 1969.
* {{Literatur
|Autor=[[Gerald Teschl]]
|Titel=Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems
|Reihe=Graduate Studies in Mathematics
|BandReihe=140
|Verlag=American Mathematical Society
|Ort=Providence
|Datum=2012
|ISBN=978-0-8218-8328-0
|Online=[https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ mat.univie.ac.at]}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id = AbelsDifferentialEquationIdentity |title = Abel’s Differential Equation Identity}}

{{SORTIERUNG:Abelsche Identitat}}

[[Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen]]
[[Kategorie:Niels Henrik Abel]]

Abelsche Identität - Versionsgeschichte

imported>Aka: /* Literatur */ https