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2025-08-25T06:13:17Z

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Im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Algebra]] ist eine '''abelsche Erweiterung''' eine [[galoissch]]e [[Körpererweiterung]] mit [[abelsche Gruppe|abelscher]] [[Galoisgruppe]]. Im Spezialfall einer [[zyklische Gruppe|zyklischen]] Galoisgruppe liegt eine ''zyklische Erweiterung'' vor.

Die [[Klassenkörpertheorie]] beschreibt die abelschen Erweiterungen von [[Zahlkörper|Zahlkörpern]], [[Funktionenkörper|Funktionenkörpern]] von algebraischen Kurven über [[endlicher Körper|endlichen Körpern]] und [[lokaler Körper|lokalen Körpern]].

Erweiterungen, die durch [[Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] von [[Einheitswurzel|Einheitswurzeln]] hervorgehen, sind abelsch, also beispielsweise alle algebraischen Erweiterungen [[endlicher Körper]]. Wenn ein Körper <math>K</math> bereits eine primitive <math>n</math>-te Einheitswurzel enthält und die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] <math>p</math> von <math>K</math> kein Teiler von <math>n</math> ist, so ist auch jede Erweiterung durch Adjunktion einer <math>n</math>-ten Wurzel eines Elementes von <math>K</math> abelsch, genannt [[Kummer-Erweiterung]]. Adjungiert man alle <math>n</math>-ten Wurzeln eines Elements, so ist die Erweiterung im Allgemeinen nicht mehr abelsch, sondern ein [[semidirektes Produkt]], da die Galoisgruppe auf den Wurzeln und den <math>n</math>-ten Einheitswurzeln operiert. Die [[Kummer-Theorie]] beschreibt die abelschen Erweiterungen eines Körpers, und der [[Satz von Kronecker-Weber]] besagt, dass für <math>K = \mathbb{Q}</math> die abelschen Erweiterungen genau die sind, die in den [[Kreisteilungskörper]]n enthalten sind.

== Weblinks ==
*{{MathWorld |id=AbelianExtension |title=Abelian Extension}}

[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Niels Henrik Abel]]

Abelsche Erweiterung - Versionsgeschichte

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