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2025-02-16T20:55:22Z

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Die '''Abbesche Invariante''' (nach [[Ernst Abbe]]; auch '''Invariante der Brechung''', '''Nullvariante''')<ref>{{Internetquelle|titel=Lexikon der Physik, Abbesche Invariante|hrsg=Spektrum.de|url=https://www.spektrum.de/lexikon/physik/abbesche-invariante/10|zugriff=06.04.2014}}</ref> stellt in der [[paraxiale Optik|paraxialen Optik]] den Zusammenhang zwischen objektseitiger und bildseitiger [[Schnittweite]] von [[Lichtstrahl]]en dar, die an einer Fläche [[Brechung (Physik)|gebrochen]] werden:<ref name="Hafer">[[Heinz Haferkorn]]: ''Optik: Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen'', Barth, 1994, ISBN 3-335-00363-2, S. 185/86</ref>

:<math>n \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{s} \right) = n' \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{s'} \right)</math>

mit
* n, n' = [[Brechungsindex]] vor bzw. nach der brechenden Fläche ''(jeweils ' für die Bildseite)''
* r = [[Krümmungsradius]] der brechenden Fläche
* s, s' = objektseitige bzw. bildseitige Schnittweite.

Die Gleichung besagt, dass die lineare Beziehung zwischen Brechungsindex, [[Kehrwert]] des Krümmungsradius und Kehrwert der Schnittweite vor und nach der Brechung eine konstante Größe behält.<ref name="Hodam">Fritz Hodam: ''Technische Optik'', VEB Verlag Technik, 2. Auflage, 1967, S. 42</ref> Bei der Abbildung durch mehrere brechende Flächen hintereinander gibt es für jeden Teilbereich, der eine brechende Fläche enthält, eine Abbesche Invariante.

Diese [[Invariante (Mathematik)|Invariante]] ist eine Grundlage für die Ableitung von Gesetzmäßigkeiten der [[optische Abbildung|optischen Abbildung]] im achsnahen Gebiet.<ref name="Hodam" />

== Herleitung ==
[[Datei:BrechKugel.svg|miniatur|hochkant=2|Herleitung der Abbeschen Invariante]]
In den Dreiecken ACO und ACO' bestehen folgende Beziehungen nach dem [[Sinussatz]]:

:<math> \frac{\sin\epsilon}{\sin(180^\circ-\phi)} = \frac{s - r}{l}</math>   und
:<math> \frac{\sin\epsilon'}{\sin(180^\circ-\phi)} = \frac{s' - r}{l'}</math>  .

Die erste durch die zweite Beziehung geteilt:

:<math> \frac{\sin\epsilon}{\sin\epsilon'} = \frac{l'(s-r)}{l(s'-r)}</math>  .

Mit dem [[Brechungsgesetz]]   n sinε = n' sinε' :

:<math> n\left(\frac{s-r}{l}\right) = n'\left(\frac{s'-r}{l'}\right)</math>  .

Im paraxialen Gebiet sind die Winkel σ und σ' so klein, dass für die Strahllängen l und l' die Schnittweiten s bzw. s' gesetzt werden können. Damit erhält man:

:<math> n\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{s}\right) = n'\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{s'}\right)</math>  .

== Siehe auch ==

* [[Helmholtz-Lagrangesche Invariante]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Paraxiale Optik]]
[[Kategorie:Ernst Abbe als Namensgeber]]

Abbesche Invariante - Versionsgeschichte

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