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2024-02-02T07:25:09Z

Diskussion:Lagrange-Punkte#Schreibweise mit Tiefstellung

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Als '''abarischen Punkt''' (von [[Altgriechische Sprache|altgriechisch]] {{lang|grc|ἀ-}} ''a-'' „un-, ohne“ und {{lang|grc|βαρύς}} ''barýs'' „schwer“) bezeichnet man in der Physik den Punkt zwischen zwei [[Masse (Physik)|Massen]], in dem sich ihre [[Gravitation|Anziehungskräfte]] aufheben. Dieser Punkt liegt grundsätzlich näher an der leichteren Masse. Da der abarische Punkt aus geometrischen Gründen immer auf der Verbindungslinie zwischen beiden [[Massenmittelpunkt]]en liegt, reduziert sich das Problem auf ein eindimensionales.

== Abgrenzung ==
Da im abarischen Punkt zwischen zwei einander umkreisenden [[Himmelskörper]]n keine Gravitationskraft wirkt, wirkt an diesem Punkt auch keine Kraft der [[Zentrifugalkraft]] eines Körpers entgegen. Deshalb kann sich ein Körper ohne Antrieb nicht dauerhaft auf dem abarischen Punkt zwischen zwei Himmelskörpern bewegen. Für die [[Raumfahrt]] ist der abarische Punkt deswegen weitgehend irrelevant. Seine Berechnung spielt vor allem eine Rolle als Übungsaufgabe im schulischen Physikunterricht.

Eine synchrone Umlaufbahn eines Körpers zwischen zwei Himmelskörpern ist im [[Lagrange-Punkt]] L1 möglich. Dieser liegt etwas näher am massenreicheren Himmelskörper als der abarische Punkt, so dass dessen etwas größere Anziehungskraft einen Körper im Lagrange-Punkt L1 in einer Umlaufbahn halten kann. Der abarische Punkt darf auch nicht mit dem gemeinsamen [[Baryzentrum]] verwechselt werden, welches immer näher am Schwerpunkt des massereicheren Objekts liegt. Das Baryzentrum des Systems Erde–Mond (der [[Erde-Mond-Schwerpunkt]]) liegt beispielsweise im [[Erdinneres|Erdinneren]].

== Berechnung ==
Die Berechnung des abarischen Punkts erfolgt über die Gleichsetzung der Anziehungskräfte <math>F</math>, die die beiden Massen auf einen Versuchskörper der Masse <math>m_\mathrm{K\ddot orper}</math> im abarischen Punkt ausüben. Die Masse des Versuchskörpers kürzt sich bei der Berechnung heraus und ist somit irrelevant.

=== Beispiel ===
Berechnung des abarischen Punktes zwischen [[Erde]] und [[Mond]]:

:<math>\begin{align}
F_\text{Erde} & = F_\text{Mond}\\
\Leftrightarrow \gamma \cdot \frac{m_\mathrm{K\ddot orper} \cdot M_\text{Erde}}{r_1^2} & = \gamma \cdot \frac{m_\mathrm{K\ddot orper} \cdot M_\text{Mond}}{r_2^2}\\
\Leftrightarrow \frac{M_\text{Erde}}{r_1^2} & = \frac{M_\text{Mond}}{r_2^2}
\end{align}</math>

mit
* der [[Gravitationskonstante]]n <math>\gamma</math> aus dem [[Newtonsches Gravitationsgesetz|Newtonschen Gravitationsgesetz]]
* dem Abstand <math>r_1</math> des [[Erdmittelpunkt]]es (Geozentrum) vom abarischen Punkt
* dem Abstand <math>r_2</math> des [[Mondzentrum|Mondmittelpunktes]] vom abarischen Punkt.

Da die Masse der Erde ca. 81-mal größer als die des Mondes ist:

::<math>M_\text{Erde} \approx 81 \cdot M_\text{Mond}</math>

gilt:
:<math>\Rightarrow \frac{M_\text{Erde}}{M_\text{Mond}} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right) ^2 = 81 \quad \Rightarrow \quad r_1 = 9 \cdot r_2</math>

Der abarische Punkt des Erde-Mond-Systems liegt somit bei etwa 1/10 des Gesamtabstands <math>r_1 +r_2</math> zwischen Mond- und Erdmittelpunkt. Mit der Näherung, dass der Abstand der beiden [[Himmelskörper]] ungefähr 60 [[Erdradius|Erdradien]] beträgt, erhält man, dass der abarische Punkt im System Mond–Erde bei 54 Erdradien vom Erdmittelpunkt bzw. bei 6 Erdradien vom Mondmittelpunkt liegt. Der abarische Punkt befindet sich also im [[Weltraum]] zwischen den beiden Himmelskörpern, und zwar wesentlich näher beim Mond als bei der Erde.

== Siehe auch ==
* [[Zweikörperproblem]]

[[Kategorie:Himmelsmechanik]]

Abarischer Punkt - Versionsgeschichte

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