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'''ARMA-Modelle''' (ARMA, [[Akronym]] für: '''''A'''uto'''R'''egressive-'''M'''oving '''A'''verage'', {{deS}} ''autoregressiver gleitender Durchschnitt'', oder ''autoregressiver [[gleitender Mittelwert]]'') bzw. '''autoregressive Modelle der gleitenden Mittel''' und deren Erweiterungen ('''ARMAX-Modelle''' und '''ARIMA-Modelle''') sind lineare, zeitdiskrete Modelle für [[stochastischer Prozess|stochastische Prozesse]]. Sie werden zur statistischen [[Zeitreihenanalyse|Analyse von Zeitreihen]] besonders in den Wirtschafts-, Sozial- und Ingenieurwissenschaften eingesetzt. Die [[Spezifikation (Statistik)|Spezifikation]], Schätzung, Validierung und praktische Anwendung von ARMA-Modellen werden im [[Box-Jenkins-Methode|Box-Jenkins-Ansatz]] behandelt. Als wichtigste Anwendung gilt die kurzfristige [[Vorhersagemodell|Vorhersage]]. Diese Modelle haben die Form von [[lineare Differenzengleichung|linearen Differenzengleichungen]] und dienen dazu, '''lineare stochastische Prozesse''' abzubilden bzw. komplexere Prozesse zu approximieren.

== Mathematische Darstellung ==
Fließen in ein ARMA-Modell sowohl vergangene [[Rauschen (Physik)|Rauschterme]] als auch vergangene Werte der [[Zeitreihenanalyse|Zeitreihe]] selbst ein, spricht man auch von einem gemischten ARMA-Modell. Sind es nur aktuelle und vergangene Rauschterme, handelt es sich um ein (reines) Moving-Average- oder MA-Modell. Wenn neben dem aktuellen Rauschterm nur vergangene Werte der Zeitreihe selbst einfließen, handelt es sich um ein (reines) autoregressives oder AR-Modell.

=== {{Anker|MA-Modell}} Moving-Average- oder MA-Modell ===
: <math>y_t = c + \varepsilon_t + \sum_{j=1}^q b_j \varepsilon_{t-j}</math>

Das zu modellierende Signal <math>y_t</math> ist durch ein gewichtetes, [[gleitender Mittelwert|gleitendes Mittel]] (''Moving Average'') von Rauschtermen <math>\varepsilon_{t-j},j=1,...,q,</math> in der aktuellen und den <math>q</math> Vorperioden sowie einer Konstanten <math>c</math> gegeben. Die sogenannten MA-Koeffizienten <math>b_j,j=1,\ldots,q,</math> geben an, mit welchem Gewicht der Rauschterm in das Signal einfließt.

Bezüglich der Rauschterme <math>\varepsilon_t</math> wird angenommen, dass sie zeitlich voneinander unabhängig und identisch (meist Gauß-)verteilt sind, mit Erwartungswert 0 und der Varianz <math>0<\sigma^2<\infty</math>.

{{Siehe auch|Filter mit endlicher Impulsantwort}}

=== {{Anker|AR-Modell}} Autoregressives oder AR-Modell ===
: <math>y_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p a_i y_{t-i}</math>

Das Signal setzt sich aus einer Konstanten, einem Rauschterm und einem gewichteten, gleitenden Mittel der <math>p</math> vorhergehenden Signalwerte zusammen, wobei die AR-Koeffizienten <math>a_i, i=1,\ldots,p,</math> die Gewichte sind.

{{Siehe auch|Filter mit unendlicher Impulsantwort}}

=== ARMA-Modell ===
: <math>y_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p a_i y_{t-i} + \sum_{j=1}^q b_j \varepsilon_{t-j}</math>

Dieses Modell wird auch als ''ARMA(p, q)''-Modell bezeichnet, wobei p und q, jeweils die autoregressive und die Moving-Average-Ordnung des Prozesses angeben. Reine AR(p)- bzw. MA(q)-Modelle sind also spezielle ARMA-Modelle mit q=0 bzw. p=0.

Mit Hilfe des sogenannten Verschiebungs- oder Lag-Operators <math>L</math> (von ''lag'', „Zeitverschiebung“)

: <math>L^d x_t = x_{t-d}</math>

schreibt man kürzer auch

: <math> a(L)y_t = c + b(L)\varepsilon_t</math>

wobei <math>a(\cdot)</math> und <math>b(\cdot)</math> jeweils Polynome (der Grade p und q) sind

: <math>a(x) = 1 - a_1 x - \cdots - a_p x^p</math>,

: <math>b(x) = 1+ b_1 x + \cdots + b_q x^q</math>.

=== Alternative Darstellungen ===
==== Reine MA-Darstellung ====
Haben <math>a</math> und <math>b</math> keine gemeinsamen Nullstellen, so kann man einen ARMA-Prozess genau dann als einen MA(<math>\infty</math>)-Prozesses auszudrücken, wenn <math>|z| > 1</math> für alle Nullstellen <math>z \in \mathbb{C}</math> von <math>a</math>. Das heißt, unter diesen Voraussetzungen hat der Prozess eine Darstellung der Form

: <math>y_t=\frac{c}{a(L)} + \frac{b(L)}{a(L)}\varepsilon_t = \mu + \sum_{j=0}^{\infty} c_j \varepsilon_{t-j}</math>

wobei der Erwartungswert von <math>y_t</math> durch <math>\mu=c/a(L)</math> und die Koeffizienten der reinen MA-Darstellung <math>c_j</math> durch das Polynom <math>c(L)=b(L)/a(L)</math> gegeben sind.

==== Reine AR-Darstellung ====
Analog zur reinen MA-Darstellung ist die reine AR-Darstellung. Sie erfordert, dass der Prozess invertierbar ist, also die Nullstellen des MA-Polynoms <math>b(L)</math> größer eins sind. Dann gilt

: <math>d(L)y_t=\frac{a(L)}{b(L)}y_t=\frac{c}{b(L)} + \varepsilon_t</math>

bzw.

: <math>y_t = \nu + \varepsilon_t + \sum_{j=1}^{\infty} d_j y_{t-j}</math>

== Spezialfälle ==
=== Weißes Rauschen ===
Einen ARMA(0,0)-Prozess <math>y_t = c + \varepsilon_t </math>, wobei es sich bei <math>y_t</math> um den Rauschterm (möglicherweise plus einer Konstanten) handelt, nennt man [[Weißes Rauschen]].

=== Random Walk ===
Ein [[Random Walk]] ist ein AR-Prozess erster Ordnung (p=1), bei dem der AR-Koeffizient den Wert 1 hat, also

: <math>y_t = c + y_{t-1} + \varepsilon_t </math>

Gilt für die Konstante <math>c \neq 0</math>, dann spricht man auch von einem ''Random Walk mit Drift'', andernfalls von einem ''Random Walk ohne Drift''. Ein Random Walk ist stets integriert von der Ordnung 1.

== Modellierung ==
Die ARMA-Modellierung folgt in der Praxis meist der [[Box-Jenkins-Methode]], die aus den Schritten Modellidentifikation, -schätzung, -validierung und -anwendung besteht.

=== Identifikation ===
Ziel der Identifikation ist es, die ARMA-Spezifikationsparameter d, p und q zu bestimmen. Zur Bestimmung von d, der notwendigen Differenzenordnung, können [[Dickey-Fuller-Test|Einheitswurzeltests]] verwendet werden. Für die ARMA-Ordnungen p und q werden häufig die [[Autokorrelationsfunktion]] (AKF) und die [[partielle Autokorrelationsfunktion]] herangezogen sowie Kriterien zur Modellselektion, wie das [[Informationskriterium#Akaikes Informationskriterium|Akaike-Informationskriterium]] oder das [[Informationskriterium#Bayessches Informationskriterium|bayessche Informationskriterium]].

=== Schätzung ===
Die Schätzung der Modellparameter erfolgt meist durch [[Maximum-Likelihood-Schätzung]] oder [[Methode der kleinsten Quadrate|Kleinste-Quadrate-Schätzung]]. Im Fall von reinen AR-Modellen ist der Kleinste-Quadrate-Schätzer ein linearer Schätzer; ansonsten ist eine nichtlineare Kleinste-Quadrate-Schätzung erforderlich.

=== Validierung ===
Um die Geeignetheit eines geschätzten Modells zu beurteilen, können verschiedene Kriterien herangezogen werden. In der Regel wird geprüft, ob die Residuen, also die geschätzten <math>\varepsilon_t</math> unkorreliert sind und sich wie weißes Rauschen verhalten. Darüber hinaus kann auch die Prognosegüte evaluiert werden. Erscheint ein Modell nicht adäquat, kann ein erneutes Durchlaufen des Identifikations- und Schätzschrittes ggf. Abhilfe schaffen.

=== Anwendung ===
Nach erfolgreicher Validierung kann die Modellanwendung betrieben werden. Häufig ist das die Kurzfristprognose. Eine Einschritt-Prognose erhält man zum Beispiel, indem man die Differenzengleichung des geschätzten ARMA-Modells eine Periode in die Zukunft schiebt und den [[bedingte Erwartung|bedingten Erwartungswert]] berechnet. Für Mehrschritt-Prognosen kann dies rekursiv wiederholt werden.

== Erweiterungen ==
ARMA-Modelle werden in Anwendungen typischerweise als Modelle für [[Stationärer stochastischer Prozess|stationäre stochastische Prozesse]] und von diesen erzeugten Zeitreihen verwendet. Verschiedene Erweiterungen dienen der Modellierung nicht-stationärer stochastischer Prozesse oder multivariater stochastischer Prozesse. Stationarität bedeutet in diesem Zusammenhang, dass Erwartungswert und Varianz zeitunabhängig sind.

=== ARIMA-Modell ===
Bei nicht-[[Stationärer stochastischer Prozess|stationären]] Zeitreihen kann unter Umständen durch Differenzenbildung Stationarität induziert werden. Die erste Differenz von <math>y_t</math> ist durch <math>\Delta y_t = y_t - y_{t-1}</math> definiert, wobei <math>\Delta = 1-L</math> der sogenannte Differenzen-Operator ist. Modelliert man nicht <math>y_t</math>, sondern die d-te Differenz <math>\Delta^d y_t</math> als ARMA(p, q)-Modell, dann spricht man von einem integrierten ARMA-Modell der Ordnungen p, d, und q, oder kurz: einem ''ARIMA(p,d,q)''-Modell. Werte für die ursprüngliche, undifferenzierte Zeitreihe erhält man durch d-faches Integrieren („Anti-Differenzenbildung“) von <math>\Delta^d y_t</math>.

=== ARMAX-Modell ===
Werden eine oder mehrere [[Exogene und endogene Variable|exogene Variablen]] benötigt, um die Zeitreihe <math>y_t</math> zu modellieren, dann spricht man von einem ARMAX-Modell. Im Falle einer exogenen Variable <math>x_t</math> gilt dann:

: <math>a(L)y_t = c + b(L)\varepsilon_t + e(L)x_t</math>

wobei das Polynom <math>e(L)</math> die Lag-Struktur beschreibt, mit der die exogene Variable <math>x_t</math> die zu erklärende Variable <math>y_t</math> beeinflusst.

=== Saisonale ARMA- und ARIMA-Modelle ===
In Wirtschafts- aber auch anderen Zeitreihen treten häufig saisonale Effekte auf. Beispiele sind monatliche Arbeitslosenzahlen, quartalsweise Einzelhandelsumsätze etc. Um diese zu berücksichtigen, können zusätzlich saisonale AR- bzw. MA-Komponenten spezifiziert werden. Liegen Daten mit einer saisonalen Spanne <math>s</math> (z. B. <math>s=12</math> für Monatsdaten und <math>s=4</math> für Quartalsdaten) vor, dann hat das saisonale ARMA-Modell die Form

: <math>a_S(L^s)a(L)y_t = c + b_S(L^s)b(L)\varepsilon_t</math>

wobei
:<math>a_S(L^s)= 1-a_{S,1}L^s - \cdots - a_{S,P}L^{Ps}</math>
das saisonale AR-Polynom der Ordnung <math>P</math> ist und
:<math>b_S(L^s)= b_{S,0}+b_{S,1}L^s + \cdots + b_{S,Q}L^{Qs}</math>
das saisonale MA-Polynom der Ordnung <math>Q</math>.

In Kurzform: <math>\text{ARMA}(p,q)\text{x}(P,Q,s)</math>.
Die Kombination von ARIMA-Modellen mit saisonalen Modellen führt zu SARIMA-Modellen.

=== VARMA-Modell ===
VARMA-Modelle sind eine mehrdimensionale Verallgemeinerung der ARMA-Modelle. [[Vektorautoregressive Modelle|VAR-Modelle]] sind lineare, zeitdiskrete Modelle für stochastische Prozesse mit <math>N</math> [[Exogene und endogene Variable|endogenen Variablen]]: Jede Variable hängt von <math>p</math> vorhergehenden Signalwerte zusammen ab. VMA-Modelle sind die Verallgemeinerung von MA-Modellen und sie sind nützlich für [[Impuls-Antwort-Funktion]]-Analyse. Ein VAR-Modell (Ordnung <math>p</math>) ist

: <math>\vec y_t = \vec c + \vec u_t + \sum_{i=1}^p A_i \vec y_{t-i}</math>

mit <math>\vec c</math> als einem konstanten Vektor, <math>\vec u_t</math> als einem Vektor aus [[Weißes Rauschen|weißem Rauschen]] und <math>A_1, A_2, \dotsc, A_p</math> als <math>(N \times N)</math>-Matrizen.

Die Erweiterung eines ARMA-Modells durch beobachtbare exogene Variablen führt zu VARMAX-Modellen.

== Siehe auch ==
* [[Autokorrelation]]
* [[Digitales Filter]]
* [[X-12-ARIMA]]

== Literatur ==
* G. E. P. Box, G. M. Jenkins: ''Time series analysis: Forecasting and control.'' Holden-Day, San Francisco 1970.
* R. McCleary, R. A. Hay: ''Applied Time Series Analysis for the Social Sciences.'' Sage Publications, Beverly Hills 1986.
* [[James D. Hamilton]]: ''Time Series Analysis.'' Princeton University Press, Princeton 1994.
* W. Enders: ''Applied Econometic Time Series.'' John Wiley & Sons, 1995.
* Terence C. Mills: ''The Econometric Modelling of Financial Time Series.'' 2nd Edition, Cambridge University Press, 1999.
* Ruey S. Tsay: ''Analysis of Financial Time Series.'' 2. Auflage. Wiley Series in Prob. and Statistics, 2005.
* W. Stier: ''Methoden der Zeitreihenanalyse.'' Springer, 2001.
* M. Guidolin, M. Pedio: ''Essentials of Time Series for Financial Applications.'' Academic Press, 2018.

[[Kategorie:Ökonometrie]]
[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]

ARMA-Modell - Versionsgeschichte

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