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[[Datei:Arch(1) time series.svg|mini|Simulation einer ARCH(1)-Zeitreihe; Zeitabschnitte mit kleiner und mit großer Volatilität wechseln sich ab]]
'''ARCH-Modelle''' (ARCH, [[Akronym]] für: '''''A'''uto'''R'''egressive '''C'''onditional '''H'''eteroscedasticity'', {{deS}} ''autoregressive bedingte [[Heteroskedastizität]]'') bzw. '''autoregressive bedingt heteroskedastische Zeitreihenmodelle''' sind [[Stochastik|stochastische]] Modelle zur [[Zeitreihenanalyse]], mit deren Hilfe insbesondere [[Finanzmathematik|finanzmathematische]] Zeitreihen mit nicht konstanter [[Volatilität]] beschrieben werden können. Sie gehen von der Annahme aus, dass die [[bedingte Varianz]] der zufälligen [[Modellfehler]] abhängig ist vom realisierten Zufallsfehler der Vorperiode, so dass große und kleine Fehler dazu tendieren, in Gruppen aufzutreten. ARCH-Modelle wurden von [[Robert F. Engle]] in den 1980er Jahren entwickelt. Im Jahr 2003 wurde ihm dafür der [[Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften]] verliehen.

== Definition ==

Eine Zeitreihe <math>(x_t)_{t \in \Z}</math> heißt ''ARCH(p)-Zeitreihe'', wenn sie rekursiv definiert ist durch<ref name="kreiss">Jens-Peter Kreiß, Georg Neuhaus: ''Einführung in die Zeitreihenanalyse.'' Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 3-540-25628-8, S. 298f.</ref>
:<math>
\begin{align}
x_t &= \sigma_t \epsilon_t \\
\sigma_t^2 &= a_0 + a_1 x_{t-1}^2 + \dotsb + a_p x_{t-p}^2,
\end{align}
</math>
wobei <math>a_0, \dotsc, a_p</math> mit <math>a_p \neq 0</math> reelle, nichtnegative Parameter sind, und der Prozess <math>(\epsilon_t)_{t\in \Z}</math> aus [[Unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen]] mit <math>\operatorname{E}(\epsilon_t) = 0</math> und <math>\operatorname{Var}(\epsilon_t) = 1</math> besteht.

== Eigenschaften ==

Für ARCH-Modelle gelten unter der Zusatzbedingung, dass <math>\sigma_t</math> für alle <math>t\in \Z</math> bezüglich der durch <math>(\epsilon_s)_{s \leq t-1}</math> erzeugten σ-Algebra [[Messbare Funktion|messbar]] ist, die folgenden Aussagen:<ref name="kreiss" /><ref>[[Rainer Schlittgen]], Bernd H. J. Streitberg: ''Zeitreihenanalyse.'' 9. Auflage. Oldenbourg Verlag, München/Wien 2001, ISBN 3-486-25725-0, S. 450 f.</ref>

* Die auf die Vergangenheit [[Bedingter Erwartungswert|bedingten Erwartungswerte]] und [[Bedingte Varianz|bedingten Varianzen]] sind:
::<math>\operatorname{E}(x_t \mid x_{t-1}, x_{t-2}, \dotsc) = 0</math> und
::<math>\operatorname{Var}(x_t \mid x_{t-1}, x_{t-2}, \dotsc) = \sigma_t^2</math>.

* Eine ARCH(''p'')-Zeitreihe <math>(x_t)</math> ist genau dann [[Stationärer stochastischer Prozess|(schwach) stationär]], wenn alle Nullstellen des ''charakteristischen Polynoms''
::<math>P(z) = 1 - a_1 z - \dotsb - a_p z^p</math>
:außerhalb des [[Komplexe Zahl|komplexen]] Einheitskreises liegen.

* Eine stationäre ARCH(''p'')-Zeitreihe hat den stationären Erwartungswert <math>\operatorname{E}(x_t) = 0</math> und ihre [[Autokorrelation]] verschwindet: <math>\operatorname{Cov}(x_t, x_{t+h}) = 0</math> für <math>h > 0</math>. Für ihre stationäre Varianz gilt die Formel
::<math>\operatorname{Var}(x_t) = \frac{a_0}{1- \sum_{k=1}^p a_k}</math>.

* Ist <math>(x_t)</math> eine stationäre ARCH(''p'')-Zeitreihe, für die <math>\operatorname{E}(x_t^4) < \infty</math> gilt, dann ist der quadrierte Prozess <math>(x_t^2)</math> eine [[ARMA-Modell#AR-Modell|AR-Zeitreihe]].

== Verallgemeinerungen ==

Die Idee des ARCH-Modells wurde in verschiedener Weise weiterentwickelt und gehört heute ganz selbstverständlich zu den fortgeschrittenen Methoden der [[Ökonometrie]].

Eine Verallgemeinerung sind die [[GARCH-Modelle]] ('''''g'''eneralized '''a'''uto'''r'''egressive '''c'''onditional '''h'''eteroscedasticity''), die 1986 von [[Tim Bollerslev]] entwickelt wurden. Hierbei hängt die bedingte [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] nicht nur von der Historie der Zeitreihe ab, sondern auch von ihrer eigenen Vergangenheit. Zeitstetige Analoga, sogenannte [[GARCH-Modell#COGARCH-Modell|COGARCH-Modelle]] ('''''co'''ntinuous-time '''GARCH'''''), wurden von Feike C. [[Drost]] und Bas J. C. Werker sowie [[Claudia Klüppelberg]], Alexander Lindner und Ross Maller vorgestellt.

== Literatur ==
* Robert F. Engle: ''Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of UK. Inflation.'' In: ''Econometrica.'' Vol.: 50, pp. 987–1008, 1982. {{JSTOR|1912773}}
* Tim Bollerslev: ''Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity.'' In: ''Journal of Econometrics.'' Vol.: 31 No.: 3, pp. 307–327, 1986. {{DOI|10.1016/0304-4076(86)90063-1}}
* Jürgen Franke, [[Wolfgang Härdle]], Christian Matthias Hafner: ''Statistics of Financial Markets: An Introduction.'' 3. Auflage Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2011, ISBN 978-3-642-16520-7, Kapitel 13, S. 283–342.
* Christian Gouriéroux: ''ARCH Models and Financial Applications.'' Springer, New York 1997, ISBN 0-387-94876-7.
* Feike C. Drost, F.C., Bas J. C. Werker: ''Closing the GARCH gap: continuous GARCH modelling.'' In: ''Journal of Econometrics.'' Vol.: 74, No.: 1, pp. 31–57, 1996. {{DOI|10.1016/0304-4076(95)01750-X}}
* Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner, Ross Maller: ''A continuous-time GARCH process driven by a Lévy process: Stationarity and second-order behaviour.'' In: ''Journal of Applied Probability.'' Vol.: 41 No.: 3, pp. 601–622, 2004. {{DOI|10.1239/jap/1091543413}} {{JSTOR|4141341}}
* Evdokia Xekalaki, Stavros Degiannakis: ''ARCH Models for Financial Applications.'' Wiley, New York 2010, ISBN 978-0-470-06630-0.

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Ökonometrie]]
[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]

ARCH-Modelle - Versionsgeschichte

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