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2026-02-07T22:28:28Z

Genauigkeit: ersetze graph chart durch chartdirekt

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[[Datei:Rule of 72 qtl1.svg|mini|hochkant=1.6|Exakte Verdopplungszeiten einer Kapitalanlage (gestrichelte Linien) und Näherungen mit der 72er-Regel (kurze Striche mit Zahlen) für verschiedene Zinssätze]]
Die '''72er-Regel''' ist eine [[Faustformel]] aus der [[Zinsrechnung]]. Die Regel gibt näherungsweise die Zeit an, in der sich ein zu [[Zinseszins]]en angelegtes Kapital verdoppelt ([[Verdopplungszeit]]). Dazu teilt man 72 durch den [[Zinssatz#Zinssatz und Zinsfuß|Zinsfuß]], zu dem das Kapital angelegt wird, daher der Name der Regel.

Die 72er-Regel kann nicht nur auf die Zinsrechnung, sondern auf jede Art [[Exponentielles Wachstum|exponentiellen Wachstums]] angewendet werden. Varianten der 72er-Regel sind die '''70er-Regel''' und die '''69er-Regel'''.

== Formel ==
Für die Zeit <math>t</math> (in Jahren), in der sich ein zum (jährlichen) [[Zinssatz#Zinssatz und Zinsfuß|Zinssatz]] <math>p\, \%</math> (bzw. zum [[Zinssatz#Zinssatz und Zinsfuß|Zinsfuß]] <math>p</math>) angelegtes Kapital verdoppelt, gilt nach der 72er-Regel die Näherung

: <math>t \approx \frac{72}{p}</math>.
Man kann denselben Zusammenhang nutzen, um den Zinsfuß <math>p</math> abzuschätzen, bei dem sich ein Kapital in vorgegebener Zeit <math>t</math> verdoppelt:

: <math>p \approx \frac{72}{t}</math>.

=== Beispiel ===
Ein Kapital, das zu 8 % pro Jahr angelegt ist, verdoppelt sich gemäß der 72er-Regel etwa alle
: <math>t \approx \frac{72}{8} ~\text{Jahre} = 9 ~\text{Jahre}</math>.
Ein Kapital verdoppelt sich in einem Zeitraum von <math>t=12</math> Jahren bei einem Zinsfuß von etwa

: <math>p \approx \frac{72 ~\text{Jahre}}{12 ~\text{Jahre}} = 6</math>.

=== Herleitung ===
Nach der [[Zinseszins]]formel gilt für das Endkapital <math>K_t</math> einer festverzinslichen Anlage mit Anfangskapital <math>K_0</math> bei einem Zinssatz von <math>i</math> nach einer Laufzeit von <math>t</math> Jahren bei jährlicher Verzinsung

: <math>K_t = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^t</math>.

Setzt man nun <math>K_t=2K_0</math>, wendet den [[Logarithmus]] auf beiden Seiten der Gleichung an und löst nach <math>t</math> auf, ergibt sich die Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung als

: <math>t = \frac{\ln(2)}{\ln\left(1 + \frac{p}{100}\right)}</math>.

Für kleine <math>x>0</math> gilt in guter Näherung <math>\ln(1 + x) \approx x</math> (siehe [[Taylor-Reihe]]). Damit und mit <math>\ln(2) = 0{,}6931\ldots</math> erhält man die Näherungsformel

:<math>t \approx \frac{0{,}6931\ldots}{\frac{p}{100}} = \frac{69{,}31 \ldots}{p}</math>.

Nähert man schließlich noch <math>\ln(2) = 0{,}6931\ldots</math> durch <math>0{,}72</math>, so erhält man die 72er-Regel.

Die Näherung durch <math>0{,}72</math> hat sich in der Praxis bewährt, unter anderem weil die Zahl <math>72</math> viele kleine Teiler aufweist <math>(72 = 2^3 \cdot 3^2)</math>.<ref>{{Literatur |Autor=R. L. Finney, G. B. Thomas |Titel=Calculus |Verlag=Addison-Wesley |Datum=1990 |Seiten=360}}</ref>

== Varianten ==
Nähert man hingegen <math>\ln(2)</math> durch <math>0{,}69</math> oder <math>0{,}70</math>, so erhält man die Näherungsformeln

:<math>t \approx \frac{69}{p} \quad \text{bzw.} \quad t \approx \frac{70}{p} </math>,

die in der Literatur ''69er-Regel''<ref>{{Literatur |Autor=Pamela Peterson Drake, Frank J. Fabozzi |Titel=Foundations and Applications of the Time Value of Money |Verlag=John Wiley & Sons |Datum=2009 |Seiten=89}}</ref> bzw. ''70er-Regel''<ref>{{Literatur |Autor=M. C. Lovell |Titel=Economics With Calculus |Verlag=World Scientific |Datum=2004 |Seiten=361}}</ref> genannt werden. Für die 69er-Regel findet sich in der Literatur auch eine Modifikation der Form

: <math>t \approx \frac{69}{p} + 0{,}35</math>,

die durch [[Approximation|numerische Approximation]] gefunden wurde.<ref>{{Literatur |Autor=J. P. Gould, R. L. Weil |Titel=The Rule of 69 |Sammelwerk=Journal of Business |Band=47 |Nummer=3 |Datum=1974 |Seiten=397–398 |DOI=10.1086/295653}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Richard P. Brief |Titel=A note on 'rediscovery' and the rule of 69 |Sammelwerk=The Accounting Review |Band=52 |Nummer=4 |Datum=1977 |Seiten=810–812}}</ref> Die Logarithmusfunktion kann damit im Bereich <math>0 mit maximal 0,5-prozentiger Abweichung genähert werden. Wird 0,32 als Wert des Absolutglieds verwendet, betragen die Abweichungen im Bereich <math>0 maximal ein Prozent gegenüber den exakten Verdopplungszeiten.

Für die Herleitung mittels [[Reihenentwicklung]] wird die [[Laurent-Reihe]] der Funktion <math>t(p) = \ln(2)/\ln(1+p/100)</math> benötigt, speziell die ersten beiden Terme der Reihe an der Entwicklungsstelle <math>p = 0</math>.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.wolframalpha.com/input?i=laurent+series+ln%282%29%2Fln%281%2Bp%2F100%29 |titel=www.wolframalpha.com {{!}} Laurent series ln(2)/ln(1+p/100) |abruf=2025-01-03}}</ref>

Es ergibt sich:

: <math>t(p) \approx \frac{100 \cdot \ln(2)}{p} + \frac{\ln(2)}{2}</math>  mit Zahlenwerten
: <math>t(p) \approx \frac{69{,}3147}{p} + 0{,}346574</math>  bzw. gerundet
: <math>t(p) \approx \frac{69}{p} + 0{,}35</math>.

== Genauigkeit ==
{{Manueller Rahmen
|content={{ChartDirekt
|xType=string
|type = line
|y1Title = 72er-Regel
|y2Title = 70er-Regel
|y3Title = 69er-Regel
|y4Title = Näherung 69/p + 0,35
|y5Title = Näherung 69/p + 0,32
|x = 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0 
|y1 = 1.038, 0.990, 0.947, 0.908, 0.874, 0.842, 0.814, 0.787, 0.763, 0.741, 0.720
|y2 = 1.009, 0.963, 0.921, 0.883, 0.849, 0.819, 0.791, 0.766, 0.742, 0.720, 0.700
|y3 = 0.995, 0.949, 0.907, 0.871, 0.837, 0.807, 0.780, 0.755, 0.731, 0.710, 0.690
|y4 = 0.995, 0.997, 1.000, 1.003, 1.007, 1.012, 1.017, 1.023, 1.028, 1.034, 1.040
|y5 = 0.995, 0.993, 0.992, 0.992, 0.993, 0.994, 0.997, 1.000, 1.003, 1.006, 1.010
}}
|caption=Relative Genauigkeiten der 72er-Regel sowie ihrer Varianten. Zinssatz i bzw. Wachstumsrate gegen Wert.
|width=560|align=right
}}
Die folgende Tabelle vergleicht die Abschätzungen gemäß der 72er-, der 70er-, der 69er-Regel und weiteren oben aufgeführten Näherungen mit den tatsächlichen Werten für typische Zinssätze. Eine grafische Darstellung der relativen Genauigkeiten zeigt das Diagramm am rechten Rand.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Zinssatz <math>i</math>
! Verdopplungs- zeit <math>t</math>
! 72er-Regel
! 70er-Regel
! 69er-Regel
! Näherung 69/p + 0,35
! Näherung 69/p + 0,32
|-
| 0,25 %
| 277,605
| 288,000
| 280,000
| 276,000
| 276,350
| 276,320
|-
| 0,5 %
| 138,976
| 144,000
| 140,000
| 138,000
| 138,350
| 138,320
|-
| 1 %
| 69,661
| 72,000
| 70,000
| 69,000
| 69,350
| 69,320
|-
| 2 %
| 35,003
| 36,000
| 35,000
| 34,500
| 34,850
| 34,820
|-
| 3 %
| 23,450
| 24,000
| 23,333
| 23,000
| 23,350
| 23,320
|-
| 4 %
| 17,673
| 18,000
| 17,500
| 17,250
| 17,600
| 17,570
|-
| 5 %
| 14,207
| 14,400
| 14,000
| 13,800
| 14,150
| 14,120
|-
| 6 %
| 11,896
| 12,000
| 11,667
| 11,500
| 11,850
| 11,820
|-
| 7 %
| 10,245
| 10,286
| 10,000
| 9,857
| 10,207
| 10,177
|-
| 8 %
| 9,006
| 9,000
| 8,750
| 8,625
| 8,975
| 8,945
|-
| 9 %
| 8,043
| 8,000
| 7,778
| 7,667
| 8,017
| 7,987
|-
| 10 %
| 7,273
| 7,200
| 7,000
| 6,900
| 7,250
| 7,220
|-
| 11 %
| 6,642
| 6,545
| 6,364
| 6,273
| 6,623
| 6,593
|-
| 12 %
| 6,116
| 6,000
| 5,833
| 5,750
| 6,100
| 6,070
|-
| 15 %
| 4,959
| 4,800
| 4,667
| 4,600
| 4,950
| 4,920
|-
| 18 %
| 4,188
| 4,000
| 3,889
| 3,833
| 4,183
| 4,153
|-
| 20 %
| 3,802
| 3,600
| 3,500
| 3,450
| 3,800
| 3,770
|-
| 25 %
| 3,106
| 2,880
| 2,800
| 2,760
| 3,110
| 3,080
|-
| 30 %
| 2,642
| 2,400
| 2,333
| 2,300
| 2,650
| 2,620
|-
| 40 %
| 2,060
| 1,800
| 1,750
| 1,725
| 2,075
| 2,045
|-
| 50 %
| 1,710
| 1,440
| 1,400
| 1,380
| 1,730
| 1,700
|}

== Geschichte ==
Eine frühe Erwähnung der 72er-Regel findet sich in [[Luca Pacioli]]s ''Summa de arithmetica'' (Venedig 1494, S. 181). Darin stellt er die Regel im Rahmen einer Diskussion über die Schätzung der Verdopplungszeit einer [[Investition]] vor, leitet sie aber nicht her und erklärt sie auch nicht. Dies legt die Vermutung nahe, dass die Regel schon vor Pacioli bekannt war.

== Siehe auch ==
* [[Zinsrechnung]]

== Literatur ==
* John J. Spitzer, Sandeep Singh: ''The rule of 72?''. Financial Counseling and Planning 10 [1] (1999).

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id=Ruleof72|title=Rule of 72}}
* [http://www.moneychimp.com/features/rule72.htm Rule of 72.] Online-Rechner von moneychimp.com (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:#::72erRegel}}
[[Kategorie:Zinsgeschäft]]
[[Kategorie:Finanzmathematik]]

72er-Regel - Versionsgeschichte

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