imported>Horst Gräbner: Änderungen von ~2025-58266-5 (Diskussion) auf die letzte Version von Chattus zurückgesetzt

2025-09-11T16:57:28Z

Änderungen von ~2025-58266-5 (Diskussion) auf die letzte Version von Chattus zurückgesetzt

Neue Seite

[[Datei:65537-gon.svg|mini|200px|65537-Eck oder Kreis?]]

Das '''65537-Eck''' ist eine [[geometrische Figur]] aus der Gruppe der Vielecke ([[Polygon]]e). Es ist definiert durch 65.537 [[Punkt (Geometrie)|Punkte]], die durch ebenso viele Kanten zu einer geschlossenen Figur verbunden sind.

Dieser Artikel befasst sich ausschließlich mit dem [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen]] 65537-Eck, bei dem alle Seiten gleich lang sind, und dessen Eckpunkte auf einem gemeinsamen [[Umkreis]] liegen. In einer grafischen Darstellung ist das 65537-Eck von einem Kreis visuell nur bei großen Radien zu unterscheiden (siehe Abbildung 1).

== Konstruktion ==
Das Besondere am 65537-Eck ist die Tatsache, dass es unter Beschränkung auf die [[Euklid]]ischen Werkzeuge [[Zirkel]] und [[Lineal]] theoretisch [[Konstruierbares Polygon|konstruiert]] werden kann. In der Praxis ist die Konstruktion jedoch – wegen der dabei entstehenden Dichte der Linien und Eckpunkte – nicht realisierbar. Die Zahl 65.537 ist die größte bekannte [[Fermat-Zahl|Fermatsche Primzahl]]:
:<math>65.537 = 2^{16}+1</math>.
[[Carl Friedrich Gauß]] bewies im Jahre 1796, dass ein regelmäßiges Vieleck genau dann mit [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Zirkel und Lineal konstruiert]] werden kann, wenn die Zahl seiner Ecken – abgesehen von einer beliebigen Zweierpotenz – gleich einem Produkt verschiedener Fermatscher Primzahlen ist.

Im Jahr 1894 fand [[Johann Gustav Hermes]] nach mehr als zehnjähriger Anstrengung eine Konstruktionsvorschrift für das regelmäßige 65537-Eck und beschrieb diese in einem Manuskript von mehr als 200 Seiten, welches sich heute in einem speziell dafür angefertigten Koffer in der Mathematischen Bibliothek der [[Georg-August-Universität Göttingen]] befindet.<ref>{{Internetquelle |autor=Heike Ernestus |url=https://www.campuspost.goettingen-campus.de/2021/07/26/was-steckt-im-gottinger-koffer/ |titel=Was steckt im Göttinger Koffer? |hrsg=Georg-August-Universität Göttingen |abruf=2024-12-04}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=J. Hermes |url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN252457811_1894?tify={%22pages%22:%5B186%5D,%22view%22:%22scan%22} |titel=Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile |titelerg=Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen Mathematisch-physikalische Klasse |hrsg=SUB, Göttinger Universität Göttinger Digitalisierungszentrum |seiten=170–186 |format=PDF |abruf=2023-05-29}}</ref>
<gallery caption="der „Hermes-Koffer“ in der Universität Göttingen" mode="packed">
Hermes-Koffer-Göttingen.jpg|Der Koffer
Diarium Kreisteilung Hermes 1.jpg|Beispielblatt
Diarium Kreisteilung Hermes 2.jpg|Beispielblatt
Diarium Kreisteilung Hermes 3.jpg|Beispielblatt
</gallery>

== Mathematischer Hintergrund ==
Der Konstruktion liegt eine Auflösung der [[Kreisteilungsgleichung]] <math>x^{65537} - 1 = 0</math> mittels geschachtelter [[Quadratwurzel]]n zugrunde. Diese Auflösung geschieht analog zum für das [[Siebzehneck]] beschriebenen Weg, wobei wie dort als [[Primitivwurzel]] wieder <math>g = 3\ </math> gewählt werden kann.

== Proportionen ==
[[Datei:Heptadecagon.svg|mini|170px|Bereits ein [[Siebzehneck]] nähert sich stark einem Kreis.|alt=Die Grafik zeigt ein Siebzehneck. Es hat deutlich erkennbare Ecken, kommt der Kreisgestalt aber sehr nah.]]

=== Winkel ===
Der [[Kreiswinkel|Zentriwinkel]] hat den Wert <math>\tfrac{360^\circ}{65{.}537} \approx 0^\circ 0' 19{,}8'' = 0{,}0055^\circ</math>.

Der [[Innenwinkel]] hat den Wert <math>\tfrac{65{.}537 - 2}{65{.}537} \cdot 180^\circ \approx 179^\circ 59' 40{,}2'' = 179{,}9945^\circ = 180^\circ - 0{,}0055^\circ</math>.

=== Seitenlänge ===
Die [[Seitenlänge]] hat im [[Einheitskreis]] den Wert <math> 2\cdot\sin\left(\tfrac{180^\circ}{65.537} \right) \approx 9{,}5872 \cdot 10^{-5}\; [LE]</math>

=== Veranschaulichung ===
Zur Veranschaulichung der Proportionen dieser praktisch nicht darstellbaren Figur mögen folgende Überlegungen dienen:
* Ob Turmuhr oder Wecker: Ein halber Tag hat 43200 Sekunden. Die Spitze des langsamen Stundenzeigers weist etwa alle zwei Drittel einer Sekunde auf den nächsten 65537-Eck-Eckpunkt am 12-Stunden-Zifferblatt.
* Was dem Innenwinkel auf 180° fehlt, ist genau der Zentriwinkel einer der 65537 Seiten: etwa 0,0055°. Hebt man eine 10 m lange, ideal biegesteife Stange an einem Ende 1 mm vom ideal planen Boden an, spannt man den praktisch identischen Winkel von 1/10000 (rad) Bogenmaß auf.
* Will man ein 65537-Eck mit einer Seitenlänge von 1 cm zeichnen, so hat dieses einen Durchmesser von mehr als 200 m.
* Zeichnet man umgekehrt ein 65537-Eck mit 20 cm Durchmesser auf ein Zeichenblatt, so beträgt die Seitenlänge etwa 1/100 mm, einen Bruchteil des Durchmessers des [[Vellushaar|dünnsten menschlichen Haares]].
* Umschreibt man mit einem 65537-Eck die Erdkugel, so bekommen seine Seiten eine Länge von etwa 600 m; seine Ecken stehen dann nur 7,3 mm von der Erdoberfläche, seinem [[Inkreis]], über.

== Siehe auch ==
* [[Konstruierbares Polygon]]
* [[Prothsche Primzahl]]
* [[257-Eck]]
* [[4294967295-Eck]]

== Literatur ==
* [https://web.archive.org/web/20151214013657/http://www.zeit.de/2012/34/Algebra-Koffer-Johann-Gustav-Hermes/komplettansicht ''Ein Koffer voller Zahlen''] (Artikel zur Arbeit des Johann Gustav Hermes). In: ''[[Die Zeit]]'', Nr. 34/27. August 2012. Die Printausgabe enthält ein Bild des Koffers.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ 65537-Eck|Näherungskonstruktion der ersten Seite des 65537-Ecks in zwei Hauptschritten}}
* [[:Datei:01-65.537-Eck-Quadratrix.svg|65537-Eck, exakte Konstruktion der 1. Seite]]
* {{MathWorld |id=65537-gon |title=65537-gon}}
* [https://www.mathematik-olympiaden.de/moev/moev_material/Konstruktion17/index.html 65537-Eck] aus mathematik-olympiaden.de, mit Bildern der Dokumentation nach HERMES; abgerufen am 16. Juli 2016

== Einzelnachweise ==
<references responsive />

{{SORTIERUNG:#:::::65537 Eck}}
[[Kategorie:Polygon]]

65537-Eck - Versionsgeschichte

imported>Horst Gräbner: Änderungen von ~2025-58266-5 (Diskussion) auf die letzte Version von Chattus zurückgesetzt