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2026-02-08T11:33:51Z

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[[Datei:257-gon.svg|mini|alt=Die Grafik zeigt als schwarze Linie auf weißem Hintergrund ein mit technischen Mitteln erzeugtes, tatsächliches 257-Eck; es ist aber mit bloßem Auge von einem Kreis nicht unterscheidbar.|Regelmäßiges 257-Eck oder Kreis?]]
Das '''257-Eck''' ist eine [[geometrische Figur]], genauer ein [[Polygon]]. Es ist definiert durch 257 [[Ecke]]n, die durch ebenso viele Kanten zu einer geschlossenen Figur verbunden sind.

In der Regel ist mit dieser Bezeichnung das ''[[Regelmäßiges Vieleck|regelmäßige]] 257-Eck'' gemeint, welches [[konvex]] ist, bei dem alle Seiten gleich lang sind und dessen Eckpunkte auf einem gemeinsamen [[Umkreis]] liegen.

== Konstruktion ==
Das Besondere am regelmäßigen 257-Eck ist die Tatsache, dass es unter Beschränkung auf die Hilfsmittel [[Zirkel]] und [[Lineal]] (die [[Euklidische Werkzeuge|Euklidischen Werkzeuge]]) [[Konstruierbares Polygon|konstruiert]] werden kann. Die Zahl 257 ist eine der fünf bekannten [[Fermat-Zahl|Fermatschen Primzahlen]]:
:<math>257 = 2^8+1</math>.
[[Carl Friedrich Gauß]] bewies im Jahre 1796, dass ein regelmäßiges Vieleck genau dann mit [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Zirkel und Lineal konstruiert]] werden kann, wenn die Zahl seiner Ecken abgesehen von einer beliebigen Zweierpotenz gleich einem Produkt verschiedener Fermat’scher Primzahlen ist.

Eine Konstruktionsanleitung für das regelmäßige 257-Eck wurde erstmals am 3. Dezember im Jahre 1819 von [[Magnus Georg Paucker]]<ref>{{cite journal |author=Magnus Georg Paucker |title=Das regelmäßige Zweyhundertsiebenundfunfzig-Eck im Kreise |language=de |journal=Jahresverhandlungen der [[Kurländische Gesellschaft für Literatur und Kunst|Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst]] |volume=2 |year=1822 | pages=160–219|url=https://books.google.de/books?id=aUJRAAAAcAAJ&hl=de&pg=PA160#v=onepage&q&f=false |accessdate=2024-12-30}} </ref> vorgelegt und nochmals 1832 durch [[Friedrich Julius Richelot]].<ref name =Richelot> {{cite journal |author=Friedrich Julius Richelot |title=De resolutione algebraica aequationis x<sup>257</sup> = 1, ...|language=la |journal=Source: Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=9 |year=1832 |pages=1–26, 146–161, 209–230, 337–358 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0009&DMDID=DMDLOG_0004 |accessdate=2015-12-10}}</ref> Duane W. DeTemple veröffentlichte 1991 ein Konstruktionsverfahren unter Verwendung von 150 Hilfskreisen.<ref name=DeTemple>{{cite journal|last=DeTemple|first=Duane W.|title=Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions|journal=The American Mathematical Monthly |date=1991-02 |volume=98 |issue=2 |pages=104–107 |language=en |doi=10.2307/2323939 |jstor=2323939 |url=https://sharingthesoul.wordpress.com/wp-content/uploads/2021/03/carlyle-and-lemoine-polygon-constructions-detemple1991.pdf |accessdate=2025-01-07}}</ref> 1999 publizierte Christian Gottlieb eine weitere Konstruktionsvorschrift (s. Literatur).

Die praktische Durchführung der Konstruktion ist per Hand kaum möglich, da die Anforderungen an Präzision bei der notwendigen Größe sehr schwer einzuhalten sind.
[[Datei:Regular 257-gon Using Carlyle Circle.gif|gerahmt|zentriert|Nach Duane W. DeTemple, Konstruktion des 257-Eck unter Verwendung des Carlyle-Kreises.|alt=Die GIF-Animation zeigt in zahlreichen Einzelschritten den Ablauf der Konstruktion.]]

== Mathematischer Hintergrund ==
Der Konstruktion liegt eine Auflösung der [[Kreisteilungsgleichung]] <math>x^{257} - 1 = 0</math><ref name="Richelot"/> mittels geschachtelter [[Quadratwurzel]]n zugrunde. Diese Auflösung geschieht analog zum für das [[Siebzehneck]] beschriebenen Weg, wobei wie dort als [[Primitivwurzel]] wieder <math>g = 3\ </math> gewählt werden kann.

== Eigenschaften ==
[[Datei:01-257-Eck-Quadratrix-Bild.svg|mini|hochkant=1.5|Anschauungsbild des 257-Ecks]]
Der [[Kreiswinkel|Zentriwinkel]] hat den Wert   <math>\frac{360^\circ}{257} \approx 1{,}4^\circ</math>.

Der [[Innenwinkel]] hat den Wert   <math>\frac{257 - 2}{257} \cdot 180^\circ \approx 178{,}6^\circ</math>.

== Siehe auch ==
* [[Prothsche Primzahl]]
* [[65537-Eck]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Christian Gottlieb |Titel=The Simple and Straightforward Construction of the Regular 257-gon |Sammelwerk=Mathematical Intelligencer |Band=21 |Nummer=1 |Datum=1999 |Seiten=31–37 |Sprache=en |DOI=10.1007/BF03024829}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
{{wikibooks|Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ 257-Eck|257-Eck, exakte Konstruktion der 1. Seite}}
* [https://mathworld.wolfram.com/257-gon.html Das 257-Eck auf www.mathworld.com] (englisch)
* [https://www.mathematik-olympiaden.de/moev/moev_material/Konstruktion17/index.html 257-Eck] auf mathematik-olympiaden.de, mit Video; abgerufen am 14. August 2018

{{SORTIERUNG:#:::257 Eck}}
[[Kategorie:Polygon]]

257-Eck - Versionsgeschichte

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