imported>Tensorproduct: /* Spezielle σ-Algebren */ Erwähne die zylindrische sigma Algebra

2026-03-22T13:28:54Z

Spezielle σ-Algebren: Erwähne die zylindrische sigma Algebra

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{{SEITENTITEL:σ-Algebra}}
In der [[Analysis]] und in der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] ist eine '''σ-Algebra''' (gesprochen: „Sigma-Algebra“, auch ''σ-Mengenalgebra'', ''abgeschlossenes Mengensystem'', ''Sigmakörper'' oder ''Borelscher Mengenkörper'') über einer Menge <math>\Omega</math> eine nichtleere Menge <math>\Sigma</math> von [[Teilmenge]]n von <math>\Omega</math>, die unter [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]], abzählbaren [[Vereinigung (Mengenlehre)|Vereinigungen]] und abzählbaren [[Schnittmenge|Schnitten]] abgeschlossen ist. Das geordnete Paar <math>(\Omega, \Sigma)</math> wird als [[messbarer Raum]] bezeichnet.

Sei <math>\Omega = \{a, b, c, d\}</math> dann ist eine mögliche σ-Algebra auf <math>\Omega</math>: <math>\Sigma = \{\emptyset, \{a, b\}, \{c, d\}, \{a, b, c, d\}\},</math> wobei <math>\emptyset</math> die [[leere Menge]] ist.

σ-Algebren spielen eine zentrale Rolle in der modernen [[Stochastik]] und [[Integralrechnung|Integrationstheorie]], da sie dort als Definitionsbereiche für [[Maß (Mathematik)|Maße]] auftreten und alle Mengen enthalten, denen man ein abstraktes Volumen beziehungsweise eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.
Außerdem ermöglichen sie beispielsweise die Modellierung zeitlicher Verfügbarkeit von Informationen durch [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierungen]] oder die Kompression von Daten durch die [[suffiziente σ-Algebra]].

== Definition ==
Sei <math> \Omega </math> eine Menge und sei <math> \mathcal P(\Omega) </math> die [[Potenzmenge]] dieser Menge.

Ein Mengensystem <math> \mathcal A \subseteq \mathcal P(\Omega) </math>, also eine Menge von Teilmengen von <math> \Omega </math>, heißt σ-Algebra (auf, in oder über <math> \Omega </math>), wenn es die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

# <math> \mathcal A </math> enthält die [[Grundmenge]]. Es gilt also <math> \Omega \in \mathcal A.</math>
# <math> \mathcal A </math> ist stabil bezüglich der [[Komplement (Mengenlehre)|Komplementbildung]]. Ist also <math> B \in \mathcal A </math>, so ist auch <math>B^{\mathsf c} = \Omega\setminus B</math> in <math> \mathcal A </math> enthalten.
#<math> \mathcal A </math> ist stabil bezüglich abzählbarer [[Vereinigungsmenge|Vereinigungen]]. Sind also Mengen
::<math>A_1, A_2, A_3, \dots </math> in <math> \mathcal A </math> enthalten, so ist auch <math> \bigcup_{n \in \N} A_n </math> in <math> \mathcal A </math> enthalten.

== Motivation ==
Will man den intuitiven Volumenbegriff im <math> \R^3 </math> oder anderen Räumen mathematisch präzisieren, so fordert man meist folgende Eigenschaften:
#Jede Menge <math> M \subseteq \R^3 </math> hat ein Volumen <math> \operatorname{Vol}(M) \in [0,\infty] </math>.
# <math> \operatorname{Vol} </math> soll verschiebungsinvariant sein, denn die Position einer Menge hat intuitiv keinen Einfluss auf ihr Volumen. Für <math> M \subseteq \R^3 </math> und <math> a \in \R^3 </math> gilt also <math> \operatorname{Vol} (M+a)= \operatorname{Vol}(M) </math>. Ebenso soll das Volumen invariant unter Rotationen sein. Kongruente Mengen sollen also identische Volumina besitzen.
#Das Volumen ist normiert. So soll zum Beispiel der Einheitswürfel <math> [0,1]^3 </math> das Volumen 1 besitzen.
#Die Vereinigung von abzählbar vielen disjunkten Mengen besitzt als Volumen genau die Summe der Volumina der einzelnen Mengen. Diese Eigenschaft heißt [[σ-Additivität]] und ist wichtig zur späteren Betrachtung von Grenzwerten.

Bei dieser impliziten Definition eines Volumenbegriffes stellt sich die Frage, ob solch eine Funktion überhaupt existiert. Diese Frage wird das [[Maßproblem]] genannt. Nach dem [[Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]] ist das Maßproblem aber unlösbar, es existiert also keine Abbildung mit den geforderten Eigenschaften.

Nun versucht man, durch eine sinnvolle Abschwächung der obigen Forderungen einen Volumenbegriff zu definieren, der einerseits noch unserem intuitiven Begriff weitestgehend entspricht, andererseits aber auch mathematisch wohldefiniert ist und eine fruchtbare Theorie des Maßes liefert. Hierzu schwächt man die erste der obigen Forderungen ab und akzeptiert, dass man nicht allen Mengen ein Volumen zuordnen kann. Man beschränkt sich dann auf ein [[Mengensystem]] von Mengen, die ein Volumen besitzen, das folgenden praktischen Überlegungen entspricht:
* Die Grundmenge soll ein (nicht notwendigerweise endliches) Volumen besitzen und demnach im Mengensystem enthalten sein.
* Besitzt die Menge <math> M </math> ein Volumen, so will man auch das Volumen des Komplements wissen. Also soll zu jeder Menge auch ihr Komplement im Mengensystem sein.
* Die vierte Bedingung in der oberen Aufzählung impliziert, dass wenn abzählbar viele Mengen ein Volumen besitzen, dann auch die Vereinigung dieser Mengen wieder ein Volumen besitzt und somit im Mengensystem enthalten ist.

Direkte Folgerungen daraus sind, dass auch die leere Menge und abzählbare Schnitte von Mengen mit Volumen wieder ein Volumen besitzen.

Diese Forderungen sind genau die definierenden Eigenschaften einer σ-Algebra. Somit sind σ-Algebren die Mengensysteme, auf denen man sinnvollerweise Volumenbegriffe und Maße definiert, um Widersprüche wie die durch den Satz von Vitali zu vermeiden.

== Eigenschaften ==
=== Stabilität gegenüber Mengenoperationen ===
Aus den Bedingungen 1 und 2 der Definition folgt direkt, dass <math>\mathcal A</math> immer das Komplement von <math>\Omega</math>, also die [[leere Menge]] <math> \emptyset </math> enthält.

Des Weiteren folgt aus den [[De Morgansche Gesetze|De Morganschen Gesetzen]] die Identität
:<math>\bigcap_{n\in\N} A_n = \biggl(\bigcup_{n\in\N} A_n^{\mathsf c}\biggr)^{\!\!\mathsf c}</math>

Daher folgt aus Punkt 2 und 3 der Definition auch, dass σ-Algebren auch abgeschlossen bezüglich abzählbaren [[Mengenlehre#Schnittmenge|Durchschnitten]] sind.

Aus der Stabilität bezüglich abzählbarer unendlicher Schnittmengen und Vereinigungen folgt auch direkt die Stabilität bezüglich endlich vielen Schnitten oder Vereinigungen. Im Falle der Vereinigung setzt man <math> A_j= \emptyset </math> für alle <math> j > m </math> bei einem festgelegten <math> m </math>, dann ist
:<math> A_1\cup A_2\cup\dotsb\cup A_m = \bigcup_{i \in \N} A_i </math>

Bei Schnitten ist das Vorgehen analog, man setzt dann <math> A_j = \Omega </math> für alle <math> j > m </math>.

Damit sind σ-Algebren auch abgeschlossen gegen [[Mengenlehre#Differenz und Komplement|Mengendifferenz]], denn es gilt
:<math>A\setminus B = A\cap B^{\mathsf c}</math>.

=== Mächtigkeit ===
Ist <math>\mathcal{A}</math> eine endliche σ-Algebra, so gibt es immer eine positive ganze Zahl <math>n</math> mit <math>|\mathcal{A}| = 2^n</math>, das heißt: Die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] <math>|\mathcal{A}|</math> von <math>\mathcal{A}</math> ist eine Zweier-[[Potenz (Mathematik)|Potenz]].

=== Algebren ===
Jede σ-Algebra ist immer eine [[Mengenalgebra]], die anstelle der dritten Eigenschaft nur die Stabilität bezüglich endlicher Vereinigungen verlangt. Nicht jede Mengenalgebra ist eine σ-Algebra. Ein Beispiel ist die Mengenalgebra
:<math> \mathcal A = \{ A \subseteq \N \mid A \text{ oder } \N \setminus A \text{ ist endlich} \}, </math>
in der <math>\{1,3,5,\dots\} = \{1\}\cup\{3\}\cup \{5\} \cup \dots </math> nicht enthalten ist.

== Beispiele ==
Für jede beliebige Menge <math>\Omega</math> ist
:<math>\mathcal A_1:=\{\emptyset,\Omega\}</math>

die kleinstmögliche σ-Algebra. Sie wird auch die '''triviale σ-Algebra''' genannt. Die [[Potenzmenge]]
:<math>\mathcal A_2:=\mathcal P(\Omega)</math>

ist die größte mögliche σ-Algebra mit <math>\Omega</math> als Grundmenge.

Für jede beliebige Menge <math>\Omega</math> und eine Teilmenge <math>A \subseteq \Omega</math> ist
:<math>\mathcal A_3 = \{ \emptyset, A, A^{\mathsf c}, \Omega \}</math>

eine σ-Algebra. Sie ist die kleinste σ-Algebra, die <math>A</math> enthält.

Über einer Grundmenge <math>\Omega</math> ist das [[Mengensystem]]
:<math>\mathcal A_4 = \{A\subseteq \Omega\mid A\ \mathrm{abz\ddot{a}hlbar\ oder}\ A^{\mathsf c}\ \mathrm{abz\ddot{a}hlbar}\}</math>

eine σ-Algebra. Hierbei bedeutet abzählbar, dass <math> A </math> endlich oder abzählbar unendlich ist.

Sind <math>\Omega</math> und <math>\Omega'</math> zwei beliebige Mengen, <math>\mathcal A'</math> eine σ-Algebra in <math> \Omega'</math> und <math>T\colon \Omega \rightarrow \Omega'</math> eine Abbildung. Dann ist
:<math>\mathcal A_5:=T^{-1}(\mathcal A') = \lbrace T^{-1}(A'): A' \in \mathcal A' \rbrace </math>

eine σ-Algebra in <math>\Omega</math>. Dies folgt direkt aus der [[Urbild (Mathematik)#Mengenoperationen und -eigenschaften|Stabilität des Urbildes bezüglich der Mengenoperationen]]. Sie ist ein einfaches Beispiel einer [[Initial-σ-Algebra]], einem gängigen Verfahren zur Konstruktion von σ-Algebren.

Wichtigstes Beispiel in der Anwendung ist die [[borelsche σ-Algebra]], die jedem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] zugeordnet werden kann. Sie ist per Definition die kleinste σ-Algebra, die alle [[Offene Menge|offenen]] Teilmengen enthält, kann aber nur sehr selten vollständig beschrieben werden.

== Bedeutung ==
σ-Algebren bilden den Ausgangspunkt für die Definition des [[Maßraum]]s und des [[Wahrscheinlichkeitsraum]]s. Das [[Banach-Tarski-Paradoxon]] demonstriert, dass auf [[Überabzählbarkeit|überabzählbaren]] Mengen die durch die Potenzmenge gebildete σ-Algebra als Grundlage für die Volumenbestimmung zu groß sein kann und die Betrachtung anderer σ-Algebren mathematisch notwendig ist. In der Theorie der [[Stochastischer Prozess|stochastischen Prozesse]], insbesondere in der stochastischen [[Finanzmathematik]], wird die bis zu einem Zeitpunkt prinzipiell beobachtbare Information durch eine σ-Algebra beschrieben, was zum Begriff der [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung]], also einer zeitlich aufsteigenden Familie von σ-Algebren führt. Filtrierungen sind essentiell für die allgemeine Theorie der [[Stochastische Integration|stochastischen Integration]]; Integranden (also finanzmathematische Handelsstrategien) dürfen zu einer Zeit <math>t</math> nur von den Informationen bis (ausschließlich) <math>t</math> abhängen; insbesondere dürfen sie nicht „in die Zukunft schauen“.

== Operationen ==
=== Schnitte von σ-Algebren ===
Schnitte von zwei σ-Algebren <math> \mathcal A_1 </math> und <math> \mathcal A_2 </math>, also das Mengensystem
:<math> \mathcal A_1 \cap \mathcal A_2 = \{ A \subseteq \Omega \; | \; A \in \mathcal A_1 \text{ und } A \in \mathcal A_2 \} </math>,

sind stets wieder σ-Algebren. Denn ist exemplarisch <math> A \in \mathcal A_1 \cap \mathcal A_2 </math>, so ist
* <math> \Omega \setminus A </math> in <math> \mathcal A_1 </math>, da <math> A </math> auch in <math> \mathcal A_1 </math> ist.
* <math> \Omega \setminus A </math> in <math> \mathcal A_2 </math>, da <math> A </math> auch in <math> \mathcal A_2 </math> ist.

Somit ist <math> \Omega \setminus A </math> auch in <math> \mathcal A_1 \cap \mathcal A_2 </math>, der Schnitt ist also komplementstabil. Die Stabilität bezüglich der anderen Mengenoperationen folgt analog.

Die Aussage gilt ebenso für den Schnitt einer beliebigen Anzahl von σ-Algebren, da sich die obige Argumentation dann auf alle dieser σ-Algebra ausweiten lässt. Diese Eigenschaft bildet die Basis für den σ-Operator, vgl. unten.

=== Vereinigungen von σ-Algebren ===
Die Vereinigung zweier σ-Algebren <math> \mathcal A_1 </math> und <math> \mathcal A_2 </math>, also das Mengensystem
:<math> \mathcal A_1 \cup \mathcal A_2 = \{ A \subseteq \Omega \; | \; A \in \mathcal A_1 \text{ oder } A \in \mathcal A_2 \} </math>

ist im Allgemeinen keine σ-Algebra mehr. Betrachtet man beispielsweise die beiden σ-Algebren
:<math> \mathcal A_1 = \{\emptyset, \{1,2,3\}, \{1\}, \{2,3\}\} </math>

sowie
:<math> \mathcal A_2 = \{\emptyset, \{1,2,3\}, \{3\}, \{1,2\}\} </math>,

so ist
:<math> \mathcal A_1 \cup \mathcal A_2 = \{\emptyset, \{1,2,3\}, \{1,2\}, \{2,3\}, \{1\}, \{3\}\} </math>.

Dieses Mengensystem ist weder vereinigungsstabil, da es <math> \{1\} \cup \{3\} =\{1,3\} </math> nicht enthält, noch ist es schnittstabil, da es <math> \{2\}= \{1,2\} \cap \{2,3\} </math> nicht enthält.

Damit man aber eine σ-Algebra erhält, führt man den ''join''-Operator aus der [[Ordnungstheorie]] ein
:<math>\bigvee\limits_{i\in I} \mathcal{A}_i=\sigma\left(\bigcup\limits_{i\in I} \mathcal{A}_i\right).</math>

=== Produkte von σ-Algebren ===
Sind <math> \mathcal M_1 </math> und <math> \mathcal M_2 </math> Mengensysteme auf <math> \Omega_1 </math> und <math> \Omega_2 </math> und wird das Produkt von <math> \mathcal M_1 </math> und <math> \mathcal M_2 </math> definiert als
:<math> \mathcal M_1 \times \mathcal M_2 := \{ A \times B \subseteq \Omega_1 \times \Omega_2 \; | \; A \in \mathcal M_1, \; B \in \mathcal M_2\} </math>,

so ist das Produkt von zwei σ-Algebren im Allgemeinen keine σ-Algebra mehr, sondern lediglich ein [[Halbring (Mengensystem)|Halbring]]. Denn betrachtet man
:<math> \mathcal B = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\} </math>,

so enthält das Mengensystem <math> \mathcal B \times \mathcal B </math> sowohl die Mengen
:<math>M_1= \{1,2\} \times \{1,2\}= \{ (1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\} </math> als auch <math>M_2= \{2\} \times \{2\}= \{(2,2)\} </math>.

Die Menge
:<math> M_1 \setminus M_2 = M_2^{\mathsf c}= \{ (1,1),(1,2),(2,1)\} </math>

ist jedoch nicht enthalten, da sie sich nicht als kartesisches Produkt zweier Elemente aus <math> \mathcal B </math> darstellen lässt. Somit ist das Produkt nicht komplementstabil, kann folglich auch keine σ-Algebra sein.

Das Produkt von σ-Algebren wird daher nicht als das kartesische Produkt der einzelnen σ-Algebren definiert, sondern über die [[Produkt-σ-Algebra]]. Diese verwendet die Mengensysteme der kartesischen Produkte als Erzeuger einer σ-Algebra. Im Falle des Produktes von endlich vielen σ-Algebren bedeutet dies, dass die Produkt-σ-Algebra die kleinste σ-Algebra ist, die alle kartesischen Produkte von Elementen der einzelnen σ-Algebren enthält.

== σ-Operator ==
Für eine beliebige Teilmenge <math>\mathcal{M}</math> der Potenzmenge <math>\mathcal P(\Omega)</math> ist der <math>\sigma</math>-Operator definiert als
: <math>\sigma(\mathcal{M}) = \bigcap_{ \mathcal A \in\mathcal F(\mathcal{M})}\!\!\mathcal A,</math>
wobei
: <math>\mathcal F(\mathcal{M}) = \{\mathcal A \subseteq \mathcal P(\Omega) \mid \mathcal{M}\subseteq \mathcal A, \mathcal A\ \text{ist}\ \sigma\text{-Algebra auf}\ \Omega\}.</math>
Da die [[Schnittmenge]] einer Familie von σ-Algebren (über derselben Grundmenge <math>\Omega</math>) wieder eine σ-Algebra ist, ist <math>\sigma(\mathcal{M})</math> somit die kleinste σ-Algebra, die <math>\mathcal{M}</math> umfasst.

Der <math>\sigma</math>-Operator erfüllt die fundamentalen Eigenschaften eines [[Hüllenoperator]]s:
* <math>\mathcal{M} \subseteq \sigma(\mathcal{M})</math>, also ist der <math>\sigma</math>-Operator [[Extensivität|extensiv]].
* Gilt <math>\mathcal{M}\subseteq \mathcal{N}</math>, so ist auch <math>\sigma(\mathcal{M})\subseteq \sigma(\mathcal{N})</math> ([[Isotone Abbildung|Monotonie bzw. Isotonie]]).
* Es ist <math>\sigma(\sigma(\mathcal{M})) = \sigma(\mathcal{M})</math> ([[Idempotenz]]).

<math>\sigma(\mathcal{M})</math> wird als die von <math>\mathcal{M}</math> '''erzeugte σ-Algebra''' bezeichnet, <math>\mathcal{M}</math> heißt Erzeuger dieser σ-Algebra. Die Benennung als erzeugte σ-Algebra ist jedoch nicht eindeutig, da auch die [[Initial-σ-Algebra]] als die (von den Funktionen <math> f_i </math>) erzeugte σ-Algebra bezeichnet wird.

In vielen Fällen lassen sich die Elemente von <math>\sigma(\mathcal{M})</math> nicht explizit angeben (siehe z. B. [[Borel-Hierarchie]]). Eine häufig angewendete Beweismethode für Aussagen, die für alle Elemente von <math>\sigma(\mathcal{M})</math> gelten, ist das [[Prinzip der guten Mengen]]. Der [[Dynkinscher π-λ-Satz|Dynkinsche π-λ-Satz]] trifft Aussagen darüber, wann eine erzeugte σ-Algebra und ein erzeugtes [[Dynkin-System]] übereinstimmen.
=== Weitere Notationen ===
In der Literatur wird bei Produkten von σ-Algebren der σ-Operator häufig direkt in die Notation des Produkts integriert, um daraus die Produkt-σ-Algebra zu erzeugen. Für eine Familie von σ-Algebren <math>(\mathcal{A}_i)_{i \in I}</math> auf derselben Grundmenge <math>\Omega</math> wird unter anderem auch der Join-Operator aus der [[Verband (Mathematik)|Verbandstheorie]]
:<math>\bigvee_{i \in I} \mathcal{A}_i := \sigma\Big(\bigcup_{i \in I} \mathcal{A}_i\Big)</math>
oder das Tensorprodukt mit dem Dach<ref>D.H. Fremlin - Measure Theory Vol 1 - 5 </ref>
:<math>\widehat{\bigotimes}_{i \in I} \mathcal{A}_i := \sigma\Big(\Big\{\prod_{i \in I}A_i|A_i\in\mathcal{A}_i\Big\}\Big)</math>
verwendet.

== Spezielle σ-Algebren ==
=== Spur-σ-Algebren ===
Für <math>E \subseteq \Omega</math> wird das Mengensystem <math>\mathcal A|_E = \{ A \cap E \,|\, A \in \mathcal A \}</math> als ''[[Spur eines Mengensystems|Spur von <math>\mathcal A</math> in <math>E</math>]]'' bzw. ''Spur-σ-Algebra von <math>\mathcal A</math> über <math>E</math>'' bezeichnet. Man kann zeigen, dass die ''Spur von <math>\mathcal A</math> in <math>E</math>'' wieder eine σ-Algebra (aber mit der Grundmenge <math>E</math>) ist, was den Namen „Spur-σ-Algebra“ rechtfertigt. Analog lässt sich die Spur-σ-Algebra auch als [[Initial-σ-Algebra]] bezüglich der [[Inklusionsabbildung|natürlichen Einbettung]] <math> i\colon E \rightarrow \Omega, \, i(e)=e </math> auffassen.
Ist <math> \mathcal{E} </math> ein Erzeuger von <math> \mathcal{A} </math>, so gilt <math> \mathcal{A}|_E=\sigma(\mathcal{E}|_E) </math>. Die Spur des Erzeugers erzeugt also die Spur-σ-Algebra.

=== Unter-σ-Algebren ===
Ist <math> \mathcal A </math> eine σ-Algebra auf <math>\Omega</math> und ist ein Mengensystem <math> \mathcal M \subseteq \mathcal A </math> ebenfalls eine σ-Algebra auf <math>\Omega</math>, so heißt <math> \mathcal M </math> eine '''Unter-σ-Algebra''', '''Teil-σ-Algebra''' oder '''Sub-σ-Algebra''' von <math> \mathcal A </math>.<ref> {{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Auflage=2., durchgesehene Auflage |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |DOI=10.1007/978-3-642-21026-6 |Fundstelle=S. 410}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Norbert Kusolitsch |Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie |TitelErg=Eine Einführung |Auflage=2., überarbeitete und erweiterte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-45386-1 |Seiten=92 |DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}}</ref>

=== Borelsche σ-Algebra ===
{{Hauptartikel|Borelsche σ-Algebra}}
Die Borelsche σ-Algebra ist die in der Anwendung wichtigste σ-Algebra. Dies beruht auf der Tatsache, dass sie auf natürliche Weise mit dem entsprechenden zugrundeliegenden [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] verträglich ist und viele wichtige Mengen wie die offenen und die abgeschlossenen Mengen enthält. Des Weiteren lassen sich große Klassen von [[Messbare Funktion|messbaren Funktionen]] für die Borelsche σ-Algebra angeben. Insbesondere sind alle [[Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] immer messbar bezüglich der Borelschen σ-Algebra.

=== Initial-σ-Algebren und Final-σ-Algebra ===
{{Hauptartikel|Initial-σ-Algebra|Final-σ-Algebra}}
Die Initial-σ-Algebra ist eine σ-Algebra, die mittels Abbildungen auf einer Grundmenge definiert wird, auf der per se keine σ-Algebra existiert. Sie ist dann sogar die kleinste σ-Algebra, bezüglich derer die in der Konstruktion verwendeten Funktionen [[Messbare Funktion|messbar]] sind. Das Gegenstück ist die [[Final-σ-Algebra]], sie ist die größte σ-Algebra, so dass eine vorgegebene Menge an Funktionen messbar ist. Diese Konstruktion bildet somit ein Analogon zur [[Initialtopologie]] und zur [[Finaltopologie]] in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]]. Produkt-σ-Algebren und Spur-σ-Algebren lassen sich beide als Spezialfall von Initial-σ-Algebren auffassen.

=== Produkt-σ-Algebren ===
{{Hauptartikel|Produkt-σ-Algebra}}
Produkt-σ-Algebren spielen dann eine Rolle, wenn Maße auf dem Produkt zweier Messräume definiert werden sollen. Da das Produkt von zwei σ-Algebren im Allgemeinen keine σ-Algebra ist, interessiert man sich für eine Erweiterung der Produkte der σ-Algebren auf den Produktraum. Diese Erweiterung ist dann die Produkt-σ-Algebra. Sie spielt eine wichtige Rolle bei der Definition von [[Produktmaß]]en, diese wiederum sind die Grundlage für den [[Satz von Fubini]], die Modellierung mehrstufiger Experimente in der [[Stochastik]] und dienen als theoretische Grundlage der [[Stochastischer Prozess|stochastischen Prozesse]].

=== Zylindrische σ-Algebra ===
{{Hauptartikel|Zylindrische σ-Algebra}}
In unendlichdimensionalen Vektorräumen ist die [[zylindrische σ-Algebra]] die natürliche Wahl der σ-Algebra, um Probleme der Messbarkeit zu umgehen.

=== Separable σ-Algebren ===
{{Hauptartikel|Separable σ-Algebra}}
Eine σ-Algebra, die einen abzählbaren Erzeuger besitzt, nennt man separabel. Beispiel hierfür wäre die Borelsche σ-Algebra auf <math> \mathbb{R}^n </math>, die sie sich von Quadern mit rationalen Eckpunkten erzeugen lässt.

=== σ-Algebren in Teilgebieten der Mathematik ===
Innerhalb der [[Teilgebiete der Mathematik]] existiert noch eine Vielfalt von σ-Algebren. Die unten stehende Aufzählung dient dem groben Überblick.

==== Wahrscheinlichkeitstheorie ====
In der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] werden σ-Algebren teils [[Ereignissystem]]e genannt, da sie der stochastischen Nomenklatur entsprechend [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignisse]] enthalten.

Weitere wichtige σ-Algebra in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die bei der Untersuchung von Grenzwerten auftretende [[Terminale σ-Algebra]]. Für eine Folge von σ-Algebren sagt sie aus, welche Mengen von allen endlichen Anfangsstücken der Folge unabhängig sind.

==== Theorie stochastischer Prozesse ====
Wichtigste Verwendung von σ-Algebren in der Theorie [[stochastischer Prozess]]e sind die [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierungen]]. Dabei handelt es sich um ineinander geschachtelte Familien von σ-Algebren, die modellieren, wie viel Information einem Stochastischen Prozess zu einem bestimmten Zeitpunkt zur Verfügung steht. So sorgen sie bei der Modellierung von Glücksspielen dafür, dass die teilnehmenden Spieler über keine Information des kommenden Spieles verfügen.

Weitere wichtige σ-Algebren sind die [[vorhersagbare σ-Algebra]] zur Formulierung von [[Vorhersagbarer Prozess|vorhersagbaren Prozessen]] in stetiger Zeit und die [[σ-Algebra der τ-Vergangenheit]], die durch Kombination mit einer [[Stoppzeit]] entsteht.

Des Weiteren gibt es noch die [[austauschbare σ-Algebra]], die nur Mengen enthält, die in dem Sinne austauschbar sind, als dass sie invariant gegen Permutationen endlich vieler Folgeglieder des stochastischen Prozesses sind.

==== Ergodentheorie ====
In der [[Ergodentheorie]] wichtige σ-Algebren sind die [[σ-Algebra der invarianten Ereignisse]] und [[P-triviale σ-Algebra|P-triviale σ-Algebren]]. P-triviale σ-Algebren sind solche, die nur Mengen mit Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 enthalten. Beide σ-Algebren werden zum Beispiel zur Definition von [[Ergodische Transformation|ergodischen Transformationen]] oder verwandten Grundbegriffen der Ergodentheorie genutzt.

==== Mathematische Statistik ====
In der [[Mathematische Statistik|mathematischen Statistik]] kommen mehrere verschiedene σ-Algebren vor. Eine von ihnen ist die [[suffiziente σ-Algebra]]. Sie enthält alle Mengen, die bezüglich einer gegebenen Verteilungsklasse Informationen enthalten. Somit können alle Mengen, die nicht in der σ-Algebra enthalten sind weggelassen werden, ohne dass ein Informationsverlust eintritt. Eine Verschärfung ist die [[minimalsuffiziente σ-Algebra]], sie ist die (bis auf Nullmengen) kleinste suffiziente σ-Algebra. Außerdem existiert noch die verwandte [[stark suffiziente σ-Algebra]], die unter Umständen mit der suffizienten σ-Algebra übereinstimmt. Gegenstück zur suffizienten σ-Algebra ist die [[verteilungsfreie σ-Algebra]], sie trägt keine Informationen, ist also maximal uninformativ. Des Weiteren existiert beispielsweise noch die [[vollständige σ-Algebra]].

== Verwandte Mengensysteme ==
=== Dynkin-Systeme ===
Jede σ-Algebra ist immer auch ein [[Dynkin-System]]. Umgekehrt ist jedes [[durchschnittsstabil]]e Dynkinsystem auch eine σ-Algebra. Ein Beispiel<ref>{{Literatur|Autor=[[Achim Klenke]]|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |Seiten=4|DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} </ref> für ein Dynkin-System, das keine σ-Algebra ist, ist
:<math> \mathcal M = \{\emptyset, \{1,2\},\{3,4\},\{1,4\},\{2,3\},\{1,2,3,4\}\} </math>

auf der Grundmenge <math> \Omega= \{1,2,3,4\} </math>. Das Mengensystem ist ein Dynkin-System, aber keine Algebra (da nicht durchschnittsstabil) und damit auch keine σ-Algebra.

Es gilt außerdem der [[Dynkinscher π-λ-Satz|Dynkinsche π-λ-Satz]]: Ist <math> \mathcal E </math> ein durchschnittsstabiles Mengensystem, so stimmen die von <math> \mathcal E </math> erzeugte σ-Algebra und das von <math> \mathcal E </math> [[erzeugtes Dynkin-System|erzeugte Dynkin-System]] überein.

=== σ-Ringe ===
Jede σ-Algebra ist per Definition ein [[σ-Ring]], welcher die Grundmenge enthält. Nicht jeder σ-Ring ist eine σ-Algebra.

== Literatur ==
* [[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]]: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-11-013626-0.
* [[Jürgen Elstrodt]]: ''Maß- und Integrationstheorie.'' Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-15307-1.
* [[Ernst Henze (Mathematiker)|Ernst Henze]]: ''Einführung in die Maßtheorie.'' 2., überarbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1985, ISBN 3-411-03102-6.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:SigmaAlgebra}}
[[Kategorie:Σ-Algebra| ]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Mengensystem]]

Σ-Algebra - Versionsgeschichte

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