141.31.128.252: /* Berechnung der Avogadrozahl */

2021-06-22T10:55:27Z

Berechnung der Avogadrozahl

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[[Datei:Oelfleck1.jpg|mini|Gesamtabbildung des Versuchsaufbaus]]
Der '''Ölfleckversuch''' ist ein [[Experiment|Versuch]] aus der [[Chemie]] und [[Physik]], der es mit einfachen Mitteln möglich macht, sowohl die Größe eines [[Atom]]s als auch die [[Avogadrozahl]] näherungsweise zu bestimmen.

== Historisches ==
Einen solchen Versuch führte [[Benjamin Franklin]] auf dem Mount Pond in [[Clapham Common]] aus und berichtete darüber 1774.<ref>Franklin, Philosophical Transactions of the Royal Society, Band 64, 1774, S. 445</ref><ref>Der Versuch von Franklin wurde am Originalort von Charles Giles wiederholt. Giles, Chem. Ind., 1969, S. 1616. Mit Fotos.</ref> Ein Teelöffel Öl breitete sich auf dem glatten See auf einem halben [[Acre]] aus (mit einer Geschwindigkeit, die Franklin überraschte), was zu einer Dicke von rund 10−10 Metern schließen lässt (einen Schluss, den Franklin allerdings nicht vollzog). Franklin war damals noch nicht an Moleküldimensionen interessiert (sonst hätte er dadurch eine Abschätzung gehabt unter der Annahme, dass der Ölfilm die Dicke eines Moleküls hat), sondern wie andere Wissenschaftler seiner Zeit an Methoden mit [[Wellenberuhigungsöl|Öl die Wasserwogen]] zu glätten. Auch seine Zeitgenossen, nicht einmal sein Freund [[Joseph Priestley]], zogen diesen Schluss; die Idee von Moleküldimensionen war damals noch nicht im Interesse von Wissenschaftlern und Priestley selbst hielt es sogar für möglich, dass Moleküle unendlich klein seien. Der Beitrag von Franklin geriet bald darauf in Vergessenheit, in Großbritannien auch wegen seiner Beteiligung am Unabhängigkeitskrieg der USA. Interesse daran erwachte erst wieder Ende des 19. Jahrhunderts, als [[John Strutt, 3. Baron Rayleigh|Lord Rayleigh]] (der Franklins Experiment kannte) ihn in öffentlichen Vorlesungen in der Royal Institution 1890 wiederholte (auch zur Demonstration der Glättung von Wellen) und in den Proceedings der Royal Society daraus Moleküldimensionen abschätzte. Weitere Wiederholungen veröffentlichten [[Agnes Pockels]] 1892 und [[Irving Langmuir]] 1917.<ref>Charles Tanford, Ben Franklin Stilled the Waves: An Informal History of Pouring Oil on Water with reflections on the up and downs of scientific life in general, Oxford UP 2004, S. 138f.</ref>

== Versuchsaufbau ==
[[Bild:Oelfleckversuch-Aufbau.svg|mini|links|Der Ölfleck in Draufsicht und Querschnitt]][[Bild:Oelfleck4.jpg|mini|Foto eines Ölflecks mit deutlicher Abweichung von der runden Form]]
Auf eine mit Wasser gefüllte Schale wird eine feine Schicht [[Bärlappsporen]] – oder ein ähnliches Pulver – gepudert. Diese dienen dazu, die Wasseroberfläche besser sichtbar zu machen. Anschließend wird ein Tropfen eines Gemischs aus [[Ölsäure]] und [[Petrolether]] oder [[Leichtbenzin]] mit bekannter Konzentration und zuvor bestimmtem Volumen in die Mitte der Schale gegeben. Die chemische Formel der Ölsäure muss ebenfalls bekannt sein. Der Petrolether oder das Leichtbenzin dienen einer gleichmäßigen schnellen Verteilung der Ölsäure auf dem Wasser und der Verdünnung der Ölsäure, die sich so besser in sehr kleinen Mengen dosieren lässt. Der Petrolether oder das Leichtbenzin verdunstet schnell, ein Fleck aus reiner Ölsäure verbleibt auf der Wasseroberfläche. Dieser verdrängt die Bärlappsporen kreisförmig an den Rand der Schale, weshalb er deutlich sichtbar ist und mit einem Lineal vermessen werden kann. Im Idealfall entsteht ein perfekter Kreis; meist „zerfranst“ jedoch der Rand.

== Auswertung ==
Von grundlegender Bedeutung ist die Annahme, dass es sich bei dem Ölfleck um eine monomolekulare Schicht handelt, das heißt, dass sich nicht mehrere [[Molekül]]e übereinander befinden. Dies kann man durch einfache Zusatzversuche belegen. Gibt man einen weiteren, gleich großen Öltropfen hinzu, verdoppelt sich der Flächeninhalt genau (d. h., der Radius vergrößert sich um den Faktor <math>\sqrt{2} \approx 1{,}4</math>). Zudem ist es nicht möglich, den Fleck z. B. durch Pusten zu vergrößern.

=== Berechnung der Molekülgröße ===
[[Bild:Oleic-acid-3D-vdW.png|mini|Ein Ölsäuremolekül in 3D, der Versuch verwendet hingegen das stark vereinfachte Modell eines Würfels]]
Einen möglichst runden Fleck kann man nun als [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]] betrachten, wobei der [[Durchmesser]] eines Moleküls der Höhe des Zylinders entspricht.

Über das [[Volumen]] des Tropfens und die [[Konzentration (Chemie)|Konzentration]] der Petrolether(Benzin)-Ölsäure kann man nun das Volumen der reinen Ölsäure ausrechnen, das mit dem des Zylinders identisch ist. Mit dem abgemessenen [[Radius]] kann man nun die Höhe des Zylinders berechnen. Dadurch hat man bereits die Größe eines Ölsäuremoleküls.

=== Berechnung der Atomgröße ===
[[Bild:Atom-schematic de.svg|mini|Der Ölfleckversuch liefert die ungefähre Größe eines Atoms mit Atomhülle]]
In der einfachsten Form der Berechnung geht man von [[Würfel (Geometrie)|würfelförmigen]] Molekülen und [[Atom]]en aus. Da man nun die Kantenlänge kennt, kann man wiederum das Volumen eines Moleküls berechnen.

Aus der [[Chemische Formel|chemischen Formel]] der Ölsäure kann man erkennen, aus wie vielen Atomen ein Molekül besteht. Man geht nun davon aus, dass alle Atome gleich groß sind und das Volumen des Moleküls vollständig ausfüllen. Teilt man also das Volumen eines Moleküls durch die Anzahl der Atome, erhält man das Volumen eines Atoms. Da man wieder eine Würfelform verwendet, kann man den Durchmesser eines Atoms berechnen. Je nach Genauigkeit der Durchführung erhält man einen Atomradius von etwa <math>10^{-10}</math> Metern, angesichts der Einfachheit des Versuchs ein sehr genauer Wert.

=== Berechnung der Avogadrozahl ===
Da man nun die Kantenlänge eines Moleküls kennt, kann man die Anzahl an Molekülen im Ölfleck ausrechnen, indem man das Volumen des Öls durch das Volumen eines Moleküls dividiert. Über die Definition der [[Avogadro-Konstante|Avogadrozahl]] weiß man, dass sich die Anzahl der Moleküle des Ölflecks zur Avogadrozahl so verhält wie die Masse des Öls im Ölfleck zu der Masse eines [[Mol]]s Öl ([[Molare Masse]] oder Molmasse), welche man aus der chemischen Formel und den Angaben des [[Periodensystem]]s entnehmen kann. Auch das Ergebnis der Avogadrozahl liegt in der richtigen Größenordnung, je nach Versuch etwa zwischen 5·1023 und 7·1023, also nahe beim wirklichen Wert von 6,022·1023.<ref>Streng genommen misst man auf diese Weise das Verhältnis der Masseneinheit Gramm zur [[Atomare Masseneinheit|Atomaren Masseneinheit]] ''u''. Seit der [[Internationales Einheitensystem#Neudefinition2019|Reform der Maßeinheiten 2019]] ist dieser Quotient nicht mehr definitionsgemäß die Avogadro-Zahl, sondern eine davon unabhängige, experimentell zu bestimmende Zahl. Aber der Unterschied beträgt deutlich weniger als ein Milliardstel und kann hier ignoriert werden.</ref>

== Mathematischer Ansatz ==
=== Klärung der Formelzeichen ===
Bekannte oder gemessene Größen:
* <math>r_{\text{Fleck}}</math> = [[Radius]] des Ölflecks

* <math>V_{\text{Tropfen}}</math> = [[Volumen]] eines Tropfens

* <math>V_{\text{Öl}}</math> = Volumen des Öls in einem Tropfen

* <math>\rho_{\text{Öl}}</math> = [[Dichte]] des Öls

* <math>M_{\text{Öl}}</math> = [[Molare Masse]] des Öls

Zwischenergebnisse:
* <math>d_{\text{Molekül}}</math> = Höhe des [[Zylinder (Geometrie)|zylinderförmigen]] Ölflecks und damit [[Durchmesser]] eines Ölsäuremoleküls, in der Modellvorstellung von [[Würfel (Geometrie)|würfelförmigen]] [[Molekül]]en die Kantenlänge eines Moleküls

* <math>V_{\text{Molekül}}</math> = Volumen eines Ölsäuremoleküls

* <math>V_{\text{Atom}}</math> = Volumen eines [[Atom]]s

* <math>d_{\text{Atom}}</math> = Durchmesser eines Atoms, in der Modellvorstellung von würfelförmigen Atomen die Kantenlänge eines Atoms

* <math>N</math> = Anzahl der Ölmoleküle im Ölfleck

* <math>m_{\text{Öl}}</math> = [[Masse (Physik)|Masse]] des Öls

Gesuchte Größen:
* <math>r_{\text{Atom}}</math> = Radius eines Atoms

* <math>N_{\text{A}}</math> = [[Avogadro-Konstante]]

=== Benötigte mathematische Formeln ===
* <math>V = r^2 \cdot \pi \cdot h</math> (Volumen eines Zylinders)

* <math>h = \frac{V}{r^2 \cdot \pi}</math> (Aufgelöst nach <math>h</math>)

* <math>V = a^3</math> (Volumen eines Würfels)

* <math>a = \sqrt[3]{V}</math> (Aufgelöst nach <math>a</math>)

* <math>\text{Radius} = \frac{\text{Durchmesser}}{2}</math>

* <math>\rho = \frac{m}{V}</math>

== Berechnung der Molekülgröße ==
<math> d_{\text{Molekül}} = \frac{V_{\text{Öl}}}{r_{\text{Fleck}}^2 \cdot \pi}</math>

=== Berechnung der Atomgröße ===
:<math> V_{\text{Atom}} = \frac{V_{\text{Molekül}}}{\text{Anzahl der Atome}}</math>

:<math>d_{\text{Atom}} = \sqrt[3]{ \frac{ d_{\text{Molekül}}^3}{\text{Anzahl der Atome}}}</math>

:<math>r_{\text{Atom}} = \frac{1}{2} \sqrt[3]{ \frac{ \left (\frac{V_{\text{Öl}}}{r_{\text{Fleck}}^2 \cdot \pi} \right )^3}{\text{Anzahl der Atome}}}</math>

=== Berechnung der Avogadrozahl ===
:<math>N = \frac{V_{\text{Öl}}}{V_{\text{Molekül}}} </math>

:<math>N = \frac{V_{\text{Öl}}}{d_{\text{Molekül}}^3} </math>

:<math>\frac{N}{N_{\mathrm{A}}} = \frac{m_{\text{Öl}}}{M_{\text{Öl}}}</math>

:<math>N_{\mathrm{A}} = N \cdot \frac{M_{\text{Öl}}}{m_{\text{Öl}}}</math>

:<math>N_{\mathrm{A}} = \frac{V_{\text{Öl}}}{\left(\frac{V_{\text{Öl}}}{r_{\text{Fleck}}^2 \cdot \pi} \right )^3} \cdot \frac{M_{\text{Öl}}}{\rho_{\text{Öl}} \cdot V_{\text{Öl}}}</math>

:<math>N_{\mathrm{A}} = \left (\frac{r_{\text{Fleck}}^2 \cdot \pi}{V_{\text{Öl}}}\right)^3 \cdot \frac{M_{\text{Öl}}}{\rho_{\text{Öl}}}</math>

== Zahlenbeispiel ==
=== Bekannte Größen ===
* <math>r_{\text{Fleck}} = 6{,}4\,\mathrm{cm} = 6{,}4 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}</math>

* <math>V_{\text{Tropfen}} = 2{,}13 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{m}^3</math> ([[Tropfen#Der Tropfen als Maßeinheit|Normtropfen]] ''gtt''=1/20 cm³)

* <math>V_{\text{Öl}} = \frac{V_{\text{Tropfen}}}{2000} = 1{,}06 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{m}^3</math> (da Mischungsverhältnis 1 : 2000)

* <math>\rho_{\text{Öl}} = 900\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}} = 9{,}00 \cdot 10^2\, \mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math>

=== Molare Masse der Ölsäure ===
Die Masse eines [[Kohlenstoff]]atoms beträgt 12 [[Atomare Masseneinheit|u]], die eines [[Sauerstoff]]atoms 16 u und die eines [[Wasserstoff]]atoms 1 u. Aus der Formel der Ölsäure C17H33COOH erkennt man, dass ein Molekül aus 18 Kohlenstoff-, 2 Sauerstoff- und 34 Wasserstoffatomen besteht. Die Molekülmasse beträgt damit 282 u, womit die Molare Masse der Ölsäure 282 g/mol beträgt.

=== Rechnung ===
:<math> d_{\text{Molekül}} = \frac{1{,}06 \cdot 10^{-11}\, \mathrm{m^3}}{(6{,}4 \cdot 10^{-2}\, \mathrm{m})^2 \cdot \pi}</math>

:<math> d_{\text{Molekül}} = 8{,}24 \cdot 10^{-10}\,\mathrm{m}</math>

:<math>d_{\text{Atom}} = 2{,}18 \cdot 10^{-10}\,\mathrm{m}</math>

:<math>r_{\text{Atom}} = 1{,}10 \cdot 10^{-10}\,\mathrm{m}</math>

:<math>N_{\mathrm{A}} = \left (\frac{6{,}4 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{m^2} \cdot \pi}{1{,}06 \cdot 10^{-11} \,\mathrm{m}^3} \right )^{3} \cdot \frac{2{,}82 \cdot 10^{-1}\,\mathrm{kg}}{9{,}00 \cdot 10^2\, \mathrm{\frac{kg}{m^3}}}</math>

:<math>N_{\mathrm{A}} = 5{,}6 \cdot 10^{23}</math>

== Weblinks ==
* [https://www.leifiphysik.de/atomphysik/atomaufbau/versuche/oelfleckversuch-schuelerexperiment Ölfleckversuch – Versuchsaufbau] ([[LEIFI]])

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references/>

{{SORTIERUNG:Olfleckversuch}}
[[Kategorie:Chemisches Analyseverfahren|Olfleckversuch]]
[[Kategorie:Physikalisches Demonstrationsexperiment]]

Ölfleckversuch - Versionsgeschichte

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