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2024-10-13T17:18:06Z

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'''(LF)-Räume''' sind eine in der [[Mathematik]] betrachtete Klasse von [[Vektorraum|Vektorräumen]]. Abstrahiert man die Konstruktion gewisser Räume aus der [[Distribution (Mathematik)|Distributionstheorie]], so wird man zwanglos auf den Begriff des (LF)-Raums geführt. Dabei handelt es sich um die Vereinigung einer aufsteigenden Folge von [[Fréchet-Raum|Fréchet-Räumen]], was man auch als induktiven '''L'''imes von '''F'''réchet-Räumen bezeichnet, woher der Name (LF)-Raum rührt.

== Definition ==
Ein '''(LF)-Raum''' ist ein [[lokalkonvexer Raum]] <math>E</math>, für den es eine Folge <math>(E_n)_n</math> von Fréchet-Räumen gibt, so dass Folgendes gilt:
# <math>E_n \subset E_{n+1}</math> für alle <math>n\in{\mathbb N}</math>
# Für jedes <math>n\in{\mathbb N}</math> trägt <math>E_n</math> die durch <math>E_{n+1}</math> gegebene [[Teilraumtopologie]].
# <math>E</math> ist die Vereinigung aller <math>E_n</math>.
# <math>E</math> trägt die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen <math>E_n\subset E</math> stetig macht.

In dieser Situation nennt man <math>(E_n)_n</math> eine darstellende Folge von Fréchet-Räumen für <math>E</math>. Kann man sogar eine darstellende Folge aus [[Banachraum|Banachräumen]] finden, so nennt man den Raum einen (LB)-Raum.

Manche Autoren schwächen die zweite Bedingung auch ab und fordern nur, dass die Inklusion von <math>E_n</math> nach <math>E_{n+1}</math> stetig ist. Für solche allgemeineren (LF)-Räume sind nicht alle unten angegebenen Eigenschaften automatisch erfüllt, insbesondere gibt es dann (LF)-Räume, die nicht vollständig sind.

== Beispiele ==
Jeder Fréchet-Raum <math>E</math> ist ein (LF)-Raum, als darstellende Folge kann man die konstante Folge <math>E_n = E</math> wählen.

Sei <math>c_{00}</math> der [[Folgenraum]] aller endlichen Folgen. Identifiziert man <math>{\mathbb K}^n</math> mit dem Raum aller Folgen, die ab der <math>(n+1)</math>-ten Stelle nur noch Nullen haben, so ist <math>({\mathbb K}^n)_n</math> eine darstellende Folge für den (LF)-Raum <math>c_{00}</math>, der sogar ein (LB)-Raum ist. Die Topologie auf <math>c_{00}</math> ist die feinste lokalkonvexe Topologie, d. h. die durch alle [[Halbnorm]]en definierte Topologie.

Die folgende Konstruktion stammt aus der [[Distribution (Mathematik)|Distributionstheorie]]. Ist <math>K\subset {\mathbb R}^m</math> [[Kompakter Raum|kompakt]], so sei <math>C^{\infty}(K)</math> der Raum aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit [[Träger (Mathematik)|Träger]] in <math>K</math>. Ist <math>\Omega\subset{\mathbb R}^m</math> [[Offene Menge|offen]], so nennt den
Raum <math>{\mathcal D}(\Omega) := \bigcup\{C^{\infty}(K);\, K\subset \Omega\,\, \text{kompakt}\}</math> den ''[[Testfunktion|Raum der Testfunktionen]]'' auf <math>\Omega</math>. <math>{\mathcal D}(\Omega)</math> trage dabei die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen
<math>C^{\infty}(K)\subset{\mathcal D}(\Omega)</math> stetig macht.
Dann ist <math>{\mathcal D}(\Omega)</math> ein (LF)-Raum. Als darstellende Folge von Fréchet-Räumen kann man jede Folge <math>(C^{\infty}(K_n))_n</math> nehmen, wobei <math>(K_n)_n</math> eine Folge von kompakten Teilmengen in <math>\Omega</math> ist, so dass jedes <math>K_n</math> im [[Innerer Punkt|Inneren]] von <math>K_{n+1}</math> liegt und <math>\Omega</math> die Vereinigung dieser <math>K_n</math> ist. Die Topologie auf <math>{\mathcal D}(\Omega)</math> ist unabhängig von der Wahl dieser Folge kompakter Mengen.

== Eigenschaften ==
=== Beschränkte Mengen ===
Für [[Beschränktheit|beschränkte]] Mengen in einem (LF)-Raum mit darstellender Folge <math>(E_n)_n</math> gilt folgender Satz:
* Eine Menge <math>B\subset E</math> ist genau dann beschränkt, wenn es ein <math>n\in{\mathbb N}</math> gibt, so dass <math>B \subset E_n</math> und <math>B</math> in <math>E_n</math> beschränkt ist.

=== Stetigkeit ===
Die Stetigkeit von [[linearer Operator]]en von einem (LF)-Raum <math>E</math> mit darstellender Folge <math>(E_n)_n</math>
in einen anderen lokalkonvexen Raum <math>F</math> lässt sich wie folgt charakterisieren:
* Ein linearer Operator <math>T:E\rightarrow F</math> ist genau dann stetig, wenn alle Einschränkungen <math>T|_{E_n}:E_n\rightarrow F</math> stetig sind.

=== Vollständigkeit ===
Nach einem auf [[Gottfried Köthe]] zurückgehenden Satz sind alle (LF)-Räume [[Vollständiger Raum|vollständig]].

=== Beziehungen zu anderen Räumen ===
(LF)-Räume sind [[Tonnelierter Raum|tonneliert]], [[Ultrabornologischer Raum|ultrabornologisch]] und haben ein [[Raum mit Gewebe|Gewebe]]. Damit verallgemeinern sich die drei klassischen aus der Theorie der Banachräume bekannten Sätze auf (LF)-Räume:

''[[Satz von Banach-Steinhaus]]'': Ist <math>(T_\alpha)_{\alpha\in I}</math> eine Familie stetiger linearer Operatoren <math>E\rightarrow F</math> zwischen lokalkonvexen Vektorräumen, wobei <math>E</math> (LF)-Raum sei, und ist <math>\{T_\alpha(x); \alpha\in I\}</math> für jedes <math>x\in E</math> beschränkt, so ist <math>(T_\alpha)_{\alpha\in I}</math> gleichstetig, d. h. zu jeder Nullumgebung <math>V\subset F</math> gibt es eine Nullumgebung <math>U\subset E</math>, so dass <math>T_\alpha(U)\subset V</math> für alle <math>\alpha\in I</math>.

''[[Satz über die offene Abbildung]]'': Eine lineare, stetige und [[Surjektive Funktion|surjektive]] Abbildung <math>T:E\rightarrow F</math> zwischen (LF)-Räumen ist offen.

''[[Satz vom abgeschlossenen Graphen]]'': Eine lineare Abbildung <math>T:E\rightarrow F</math> zwischen (LF)-Räumen mit abgeschlossenem Graphen ist stetig.

== Anwendung ==
In der [[Distribution (Mathematik)|Distributionstheorie]] definiert man eine Distribution auf einer offenen Menge <math>\Omega\subset{\mathbb R}^m</math> als lineare Abbildung <math>T:{\mathcal D}(\Omega)\rightarrow {\mathbb R}</math>, so dass folgende Stetigkeitsbedingung gilt:
Ist <math>K\subset \Omega</math> kompakt und ist <math>(f_n)_n</math> eine Folge in <math>{\mathcal D}(\Omega)</math>, so dass jedes <math>f_n</math> Träger in <math>K</math> hat und so dass <math>f_n\to 0</math> gleichmäßig in allen Ableitungen, so ist <math>T(f_n)\to 0</math>.

Bei dieser Definition ist zunächst nicht klar, ob es sich bei der Stetigkeitsbedingung überhaupt um Stetigkeit bzgl. einer Topologie handelt.
Es genügt in der Tat, Folgenstetigkeit zu betrachten, denn <math>{\mathcal D}(\Omega)</math> ist als (LF)-Raum [[Bornologischer Raum|bornologisch]]. Dann bedeutet die angegebene Bedingung nichts anderes, als dass alle Einschränkungen von <math>T</math> auf <math>C^{\infty}(K)</math>, <math>K\subset \Omega</math> kompakt, stetig sind. Nach der oben genannten Eigenschaft zur Stetigkeit linearer Operatoren auf (LF)-Räumen folgt tatsächlich die Stetigkeit bzgl. der (LF)-Raum-Topologie auf <math>{\mathcal D}(\Omega)</math>.

Mit den hier vorgestellten Begriffsbildungen kann man eine Distribution als stetiges lineares Funktional auf dem (LF)-Raum <math>{\mathcal D}(\Omega)</math> definieren.

== Quellen ==
* K. Floret, J. Wloka: ''Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume'', [[Lecture Notes in Mathematics]] 56, 1968
* F. Treves: ''Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels'', Dover 2006, ISBN 0-486-45352-9

{{SORTIERUNG:Lf-Raum}}
[[Kategorie:Lokalkonvexer Raum]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

(LF)-Raum - Versionsgeschichte

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