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2025-01-02T21:19:41Z

Beispiele: Formulierung

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'''(DF)-Räume''' sind eine im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Funktionalanalysis]] betrachtete Klasse spezieller [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexer]] Räume, die eine wichtige Rolle in der [[Dualraum|Dualitätstheorie]] von [[Fréchet-Raum|Fréchet-Räumen]] spielt. Dualräume von Fréchet-Räumen sind (DF)-Räume, und Dualräume von (DF)-Räumen sind wieder Fréchet-Räume. Dadurch erklärt sich die 1954 von [[Alexander Grothendieck|Grothendieck]] eingeführte Bezeichnung (DF).

== Definition ==
Die Definition der (DF)-Räume wird durch die folgenden zwei Eigenschaften von Dualräumen [[Metrisierbarer lokalkonvexer Raum|metrisierbarer lokalkonvexer Räume]] motiviert.
Ist <math>E = F\,'</math> der Dualraum eines metrisierbaren lokalkonvexen Raumes <math>F</math>, so gilt:
# Es gibt eine Folge <math>(B_n)_n</math> [[Beschränktheit#Funktionalanalysis|beschränkter Mengen]] in <math>E</math>, so dass es zu jeder beschränkten Menge <math>B\subset E</math> ein <math>n\in{\mathbb N}</math> und ein <math>\lambda > 0</math> gibt mit <math>B\subset \lambda B_n</math>.
# Ist <math>(V_n)_n</math> eine Folge [[Absolutkonvexe Menge|absolutkonvexer]] [[Umgebung (Mathematik)|Nullumgebungen]] in <math>E</math>, und gibt es zu jeder beschränkten Menge <math>B\subset E</math> ein <math>\lambda > 0</math> mit <math>B\subset \lambda \bigcap_n V_n</math>, so ist <math>\bigcap_n V_n</math> eine Nullumgebung in <math>E</math>.

Daher definiert man

Ein '''(DF)-Raum''' ist ein lokalkonvexer Raum E, der die oben genannten Eigenschaften (1) und (2) hat.

== Beispiele ==
* Die Definition ist so angelegt, dass Dualräume metrisierbarer lokalkonvexer Räume (DF)-Räume sind, sogar [[Vollständiger Raum|vollständige]] (DF)-Räume.
* Jeder [[Quasitonnelierter Raum|quasitonnelierte Raum]], der die erste Eigenschaft obiger Definition erfüllt, ist ein (DF)-Raum. Insbesondere sind alle [[Normierter Raum|normierten Räume]] (DF)-Räume. Es gibt daher (DF)-Räume, die nicht vollständig sind, und es gibt vollständige (DF)-Räume, die kein Dualraum sind.
* Der Raum <math>{\mathbb R}^\infty</math> aller reellen Folgen mit der Topologie der [[Punktweise Konvergenz|punktweisen Konvergenz]] ist ''kein'' (DF)-Raum.

== Vererbungseigenschaften ==
* Vervollständigungen von (DF)-Räumen sind wieder (DF)-Räume.
* Ist <math>F\subset E</math> ein [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossener]] [[Untervektorraum]] im (DF)-Raum E, so ist der [[Faktorraum]] <math>E/F</math> wieder ein (DF)-Raum. Die (DF)-Eigenschaft vererbt sich im Allgemeinen ''nicht'' auf (abgeschlossene) Unterräume.
* Ist <math>(E_n)_n</math> eine Folge von (DF)-Räumen, so ist die direkte Summe <math>\bigoplus_n E_n</math> mit der [[Finaltopologie]] wieder ein (DF)-Raum. Die (DF)-Eigenschaft vererbt sich im Allgemeinen ''nicht'' auf [[Produkttopologie|Produkträume]].
* Das [[Projektives Tensorprodukt|projektive]] [[Tensorprodukt]] zweier (DF)-Räume ist wieder ein (DF)-Raum.

== Weitere Eigenschaften ==
* Der starke Dualraum eines (DF)-Raums ist ein Fréchetraum. Daraus ergibt sich nun leicht, dass der Bidualraum eines Fréchetraums wieder ein Fréchetraum ist. Eine weitere wichtige Folgerung ist, dass ein Fréchetraum genau dann [[Reflexiver Raum|reflexiv]] ist, wenn sein starker Dualraum reflexiv ist.
* Jeder [[Separabler Raum|separable]] (DF)-Raum ist quasitonneliert.
* Die Topologie eines (DF)-Raums E lässt sich im folgenden Sinne lokalisieren: Eine [[absolutkonvexe Menge]] <math>U\subset E</math> ist genau dann eine Nullumgebung, wenn für jede absolutkonvexe, beschränkte Menge <math>B\subset E</math> der Durchschnitt <math>B\cap U</math> eine Umgebung von 0 in der [[Teilraumtopologie]] auf <math>B</math> ist.
* Ein (DF)-Raum trägt die feinste lokalkonvexe Topologie, die die Inklusionen <math>B_n\subset E</math> der beschränkten Mengen <math>B_n</math> aus Teil (1) obiger Definition stetig macht.

== gDF-Räume ==

Hat ein lokalkonvexer Raum nur die Eigenschaft (1) obiger Definition und trägt er die feinste lokalkonvexe Topologie, die die Inklusionen <math>B_n\subset E</math> der beschränkten Mengen aus Teil (1) obiger Definition stetig macht, so heißt dieser Raum ''gDF-Raum'' (generalized DF). Jeder (DF)-Raum ist ein gDF-Raum.

Wie (DF)-Räume sind auch gDF-Räume abgeschlossen gegenüber den Operationen Vervollständigung, Bildung von Quotientenräumen, abzählbarer Summenbildung und projektiven Tensorprodukten.

Sind <math>E</math> und <math>F</math> zwei lokalkonvexe Räume, so sei <math>L_b(E,F)</math> der Raum <math>L(E,F)</math> der stetigen, linearen Abbildungen <math>E\rightarrow F</math> versehen mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf beschränkten Mengen, d. h. es gilt <math>T_i\to T</math>, falls es zu jeder beschränkten Menge <math>B\subset E</math> und jeder Nullumgebung <math>U\subset F</math> ein <math>i_0</math> gibt, so dass <math>T_i(x)-T(x) \in U</math> für alle <math>x\in B</math> und <math>i \ge i_0</math>. Mit dieser Begriffsbildung lassen sich gDF-Räume wie folgt charakterisieren:

Für einen lokalkonvexen Raum <math>E</math> sind äquivalent:
* <math>E</math> ist ein gDF-Raum.
* Für jeden [[Fréchetraum]] <math>F</math> ist <math>L_b(E,F)</math> ein Fréchetraum.
* Für jeden [[Banachraum]] <math>F</math> ist <math>L_b(E,F)</math> ein Fréchetraum.

== Literatur ==
* R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8
* H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces, Springer, 1971, ISBN 0-387-98726-6
* A. Grothendieck: Sur les espaces (F) et (DF). Summa Brasil. Math. 3, 57–123 (1954)
* H. Jarchow: Locally Convex Spaces, Teubner, Stuttgart 1981, ISBN 3-519-02224-9

{{SORTIERUNG:Df-Raum}}
[[Kategorie:Lokalkonvexer Raum]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

(DF)-Raum - Versionsgeschichte

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