Quelltext der Seite Zwischenwertsatz

[[Datei:Illustration for the intermediate value theorem.svg|mini|Zwischenwertsatz: Sei <math>f</math> eine auf <math>[a, b]</math> definierte stetige Funktion mit <math>f(a) < s < f(b)</math>, dann gibt es mindestens ein <math>x</math> mit <math>f(x)=s</math>]]
In der [[Analysis]] ist der '''Zwischenwertsatz''' ein grundlegender [[Satz (Mathematik)|Satz]] über den [[Bild (Mathematik)|Wertebereich]] von [[Stetige Funktion|stetigen Funktionen]].

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine [[reelle Funktion]] <math>f</math>, die auf einem [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]] [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[a,b]</math> stetig ist, jeden Wert zwischen <math>f(a)</math> und <math>f(b)</math> annimmt. Haben insbesondere <math>f(a)</math> und <math>f(b)</math> verschiedene [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]], so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer [[Nullstelle]] von <math>f</math> im offenen Intervall <math>(a,b)</math>. Dieser Sonderfall ist als '''Nullstellensatz von Bolzano''' bekannt und nach [[Bernard Bolzano]] benannt. Andererseits kann der Zwischenwertsatz aber auch aus dem Nullstellensatz hergeleitet werden. Die beiden Formulierungen sind also äquivalent.<ref group="Anm">Beim [[Reelle Zahl#Axiomatische Einführung der reellen Zahlen|axiomatischen Aufbau der reellen Zahlen]] kann das ''Zwischenwertaxiom'', also die Forderung nach der Gültigkeit des Zwischenwertsatzes für alle Intervalle und alle auf diesen definierten stetigen, reellen Funktionen, an die Stelle des sonst üblichen [[Supremumsaxiom]]s treten.  Hier zeigt sich auch, dass der Zwischenwertsatz und (nicht zuletzt) der [[Satz vom Minimum und Maximum]] in diesem Zusammenhang gleichwertige Aussagen sind.</ref>

== Satz ==
[[Datei:Zwischenwertsatz-lernvideokurs-wa2018.webm|mini|Formulierung und Intuition hinter dem Zwischenwertsatz]]
Seien <math>a, b \in \R</math> mit <math>a < b</math> und sei <math>J = [a , b]</math> ein [[reelles Intervall]] und sei hierauf  <math>f\colon J \to \R</math> eine stetige Funktion. Dann nimmt <math>f</math> in der [[Bildmenge]] <math>f(J)</math> jeden beliebigen Wert <math>u</math> zwischen <math>f(a)</math> und <math>f(b)</math> an mindestens einer Stelle <math>c\in[a,b]</math> an (d.&nbsp;h. <math>f(c)=u</math>).

Formal heißt das, zu jedem <math>u\in (f(a), f(b))</math> (falls <math>f(a) < f(b)</math>) bzw. <math>u\in (f(b), f(a))</math> (falls <math>f(b)< f(a)</math>) existiert ein <math>c\in (a,b)</math> mit <math>f\left(c\right)=u</math>.
Anders formuliert bedeutet dies <math>[m,M] \subseteq f([a,b])</math>, worin <math>m:=\min\{f(a),f(b)\}</math> und <math>M:=\max\{f(a),f(b)\}</math>.

== Beweis ==
Der Beweis setzt voraus, dass die Grenzen des betrachteten abgeschlossenen Intervalls <math>[a,b]</math> endlich sind (gleichbedeutend: <math>[a,b]</math> ist auch beschränkt und somit [[Intervall (Mathematik)#Beschränkte Intervalle|kompakt]].). Tatsächlich gilt der Zwischenwertsatz auch für [[Intervall (Mathematik)#Unbeschränkte Intervalle|unbeschränkte]] abgeschlossene Intervalle; die dann zu beweisenden Behauptungen finden sich im Abschnitt [[#Verallgemeinerung|Verallgemeinerung]] dieses Artikels.

[[Ohne Beschränkung der Allgemeinheit]] gelte <math>f(a)<f(b)</math>, und es sei <math>u\in [f(a), f(b)]</math>. - Die Funktion
:<math> g\colon [a,b] \to \R,\quad x\mapsto g(x)=f(x) - u </math>
ist (als [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] zweier stetiger Funktionen) stetig auf <math>[a,\,b]</math>.

Wegen <math>f(a) \leq u </math> ist <math>g(a) \leq 0</math>, wegen <math>u \leq f(b) </math> ist <math>0 \leq g(b)</math>, insgesamt also <math>g(a)\leq 0\leq g(b). \mathbf{(1)}</math>

Zum Beweis der Behauptung ist hinreichend zu zeigen, dass <math>g</math> eine [[Nullstelle]] <math>c \in [a,\,b]</math> hat, denn <math>g(c) = 0 \Leftrightarrow f(c)=u</math>.

Zum Nachweis der Existenz von <math>c</math> dient eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] von [[Intervall (Mathematik)|Intervallen]] <math>([a_k,\,b_k]),\; k \in \N</math> mit folgenden (zu beweisenden) Eigenschaften:
* Sämtliche Glieder <math>[a_k,b_k]</math> respektieren die Ungleichungskette (1) (und schließen daher <math>c</math> ein). <math>\mathbf{(i)}</math>
* <math>([a_k,\,b_k])</math> ist eine [[Intervallschachtelung]] (und definiert genau ein <math>c \in [a,b]</math>). <math>\mathbf{(ii)}</math>
* <math>c</math> ist eine Nullstelle von <math>g(x)</math>. <math>\mathbf{(iii)}</math>

Eine Intervallfolge <math>([a_k,\,b_k]),\; k \in \N</math> sei [[Rekursion#Rekursion in der Mathematik|rekursiv]] definiert mit <math>a_1=a,\; b_1=b</math> für das erste Intervall.

:<math>c_k=\frac{a_k + b_k}{2}</math> ist der [[Intervall (Mathematik)|Mittelpunkt des <math>k</math>-ten Intervalls]].

Die Grenzen des jeweils folgenden Intervalls <math>[a_{k+1},\,b_{k+1}]</math> seien
: für <math>g(c_k)<0</math>: <math>a_{k+1} = c_k, b_{k+1} = b_k</math> und
: für <math>g(c_k) \geq 0</math>: <math>a_{k+1} = a_k, b_{k+1} = c_k</math>.

zu (i): ''Mit (1) ist <math>g(a_1)</math> nicht positiv, <math>g(b_1)</math> nicht negativ.''

:''Beim Übergang von <math>[a_k,b_k]</math> zu <math>[a_{k+1},b_{k+1}]</math> wird genau eine der Intervallgrenzen <math>a_k</math> (bzw. <math>b_k</math>) genau dann durch eine neue Grenze <math>c_k</math> ersetzt, wenn auch <math>g(c_k)</math> nicht positiv (bzw. nicht negativ) ist.''

:''Also<ref group="Anm">Der Gedankengang entspricht einer [[Vollständige Induktion|vollständigen Induktion]].</ref> gilt <math>g(a_k) \leq 0 \leq g(b_k)</math> für <math>\boldsymbol{alle}</math> <math>a_k</math> bzw. <math>b_k</math>, q.e.d.''

zu (ii): ''Im <math>[a_k,b_k]</math> folgenden Intervall <math>[a_{k+1},b_{k+1}]</math> ist die ersetzende Grenze <math>c_k</math> größer als eine ersetzte untere Grenze <math>a_k</math>, aber kleiner als eine ersetzte obere Grenze <math>b_k</math>, indem <math>c_k</math> der Intervallmittelpunkt von <math>[a_k, b_k]</math> ist. Da der Übergang von <math>[a_k, b_k]</math> zu <math>[a_{k+1},b_{k+1}]</math> den [[Intervall (Mathematik)|Intervalldurchmesser]] <math>d_k = b_k - a_k</math> halbiert, ist der Intervalldurchmesser [[Fast alle|fast aller]] Folgeglieder kleiner als ein beliebig vorgegebener. (<math>\Leftrightarrow (d_k)</math> ist eine [[Nullfolge]].)''

''Behauptung'': <math>(a_k)</math> ist [[Monotone Zahlenfolge|monoton]] steigend <math>\Leftrightarrow \forall k: a_{k+1} \geq a_k. \mathbf{(2)}</math>.
:''Beweis'': Für <math>a_{k+1} = a_k</math> ist nichts zu beweisen. Für <math>a_{k+1} = c_k</math> folgt aus <math>b_k>a_k</math>: <math>a_{k+1} = \frac{a_k + b_k}{2} > \frac{a_k + a_k}{2} = a_k</math>.

''Behauptung'': <math>(b_k)</math> ist monoton fallend <math>\Leftrightarrow \forall k: b_{k+1} \leq b_k. \mathbf{(3)}</math>.
:''Beweis'': Für <math>b_{k+1} = b_k</math> ist nichts zu beweisen. Für <math>b_{k+1} = c_k</math> folgt aus <math>a_k<b_k</math>: <math>b_{k+1} = \frac{a_k + b_k}{2} < \frac{b_k + b_k}{2} = b_k </math>.

''Behauptung'': <math>(d_k)</math>, <math>d_k= b_k -a_k</math> ist eine Nullfolge. <math>\mathbf{(4)}</math> - ''Beweis'': Der Durchmesser des Intervalls <math>[a_{k+1}, b_{k+1}]</math> ist

:für <math>g(c_k) <0</math>: <math>d_{k+1} = b_{k+1}-a_{k+1} = b_k -c_k = \frac{2b_k}{2} -\frac{a_k + b_k}{2} = \frac{b_k - a_k}{2} = \frac{d_k}{2}</math>;
:für <math>g(c_k) \geq 0</math>: <math>d_{k+1} = b_{k+1}-a_{k+1} =c_k -a_k = \frac{a_k + b_k}{2} - \frac{2a_k}{2} = \frac{b_k -a_k}{2} = \frac{d_k}{2}</math>.
:Insgesamt können alle <math>d_k</math> auch <math>d_k = d_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}</math> geschrieben werden, und <math>(d_k)</math> ist wegen <math>\left| \frac{1}{2} \right| < 1 </math> eine (geometrische) Nullfolge.<ref group="Anm">Weiteres zur Konvergenz geometrischer Folgen [[Geometrische Folge#Konvergenz geometrischer Folgen|hier]].</ref>

Mit (2), (3) und (4) ist <math>([a_k,\,b_k])</math> eine Intervallschachtelung, die genau eine Zahl <math>c \in \R</math> definiert.

Mit <math>\forall k: [a_k,b_k] \subset [a,b] \Rightarrow \{c\} = \bigcap_{k \in \N} [a_k,b_k] \subset [a,b]</math> liegt <math>c</math> im Intervall der Voraussetzung, q.&nbsp;e.&nbsp;d.

''Bemerkung'': Endlich viele Intervalle einer wie <math>([a_k,b_k])</math> konstruierten Intervallschachtelung liegen dem numerischen Verfahren [[Bisektion]] zugrunde.

zu (iii): ''<math>c</math> ist gemeinsamer [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] der Folgen <math>(a_k)</math> und <math>(b_k)</math>; wegen Stetigkeit von <math>g(x)</math> ist <math>g(c)</math> gemeinsamer Grenzwert der Folgen <math>(g(a_k))</math> und <math>(g(b_k))</math>. Die [[Beschränktheit]] der Folgen <math>(g(a_k))</math> und <math>(g(b_k))</math> bewirkt, dass <math>g(c)</math> weder positiv noch negativ ist.''

Aus (ii) folgt<ref group="Anm">wegen der [[Intervallschachtelung#Konvergenz der Grenzfolgen einer Intervallschachtelung|Konvergenz der Grenzfolgen einer Intervallschachtelung]]</ref>

:<math>\lim_{k \to \infty}a_k = c = \lim_{k \to \infty}b_k</math>,

hieraus mit dem [[Folgenkriterium]] vermöge der Stetigkeit von <math>g(x)</math> bei <math>x=c</math>:

:<math>\lim_{k \to \infty}g(a_k) = g(c) = \lim_{k \to \infty}g(b_k)</math>.

Mit (i) haben die Folgen <math>(g(a_k))</math> bzw. <math>(g(b_k))</math> eine obere bzw. unterer Schranke, die sich auf den jeweiligen Grenzwert fortsetzt:<ref group="Anm">vgl. Aussage zum [[Grenzwert (Folge)#Grenzwert einer beschränkten konvergenten Folge|Grenzwert einer beschränkten konvergenten Folge]]</ref>

<math>g(a_k) \leq 0 \Rightarrow g(c)\leq 0</math>, ebenso <math>g(b_k) \geq 0 \Rightarrow g(c)\geq 0</math>, insgesamt also <math>g(c) = 0</math>, q.&nbsp;e.&nbsp;d.

=== Alternativer Beweis ===
Es reicht, den Fall <math>f(a)<f(b)</math> zu betrachten. Sei <math>u \in [f(a), f(b)]</math> beliebig. Für <math>u=f(a)</math> und <math>u=f(b)</math> ist die Behauptung klar. Im Folgenden sei <math>u</math> also o.&nbsp;B.&nbsp;d.&nbsp;A. aus dem offenen Intervall <math>]f(a), f(b)[</math>. Es ist zu zeigen, dass ein <math>c \in [a, b]</math> existiert mit <math>f(c)=u</math>. Setze

:<math>M=\{x \in [a, b] | u < f(x)\}</math>.

Es gilt <math>M \neq \emptyset </math>, da <math>b \in M</math>. Da <math>M</math> beschränkt ist, ist

:<math>c := \inf M = \inf \{x \in [a, b] | u < f(x)\}</math>

eine [[reelle Zahl]].

'''Behauptung:''' Es gibt eine Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>M</math> mit <math>\lim_{n \to \infty}x_n = c</math>.

Hierzu: Da <math>c</math> die größte untere Schranke ist, ist <math>c+\frac{1}{n}</math> keine untere Schranke. Mithin gibt es zu jedem <math>n \in \mathbb{N}</math> ein <math>x_n \in M</math> mit <math>c+\frac{1}{n} > x_n</math>. Außerdem ist natürlich <math>x_n \geq c</math>, da <math>c</math> eine untere Schranke ist. Die so konstruierte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> konvergiert nach dem Intervallschachtelungsprinzip wie gewünscht gegen <math>c</math>. Dies zeigt die Behauptung.

Aus <math>a \leq x_n \leq b</math> folgt mit den Grenzwertsätzen auch <math>c \in [a, b]</math>. Da <math>f</math> stetig ist, gilt <math>\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(c)</math>. Wegen <math>f(x_n) > u</math> ist weiter <math>f(c) \geq u</math>. Insbesondere folgt <math>c > a</math>, da <math>f(a) < u</math>.

Wegen <math>c > a</math> ist <math>c_n := c-\frac{1}{n} \in [a, b]</math> für alle großen <math>n</math>. Weil <math>c_n < c = \inf M</math> folgt <math>c_n \notin M</math> und somit <math>f(c_n) \leq u</math>. Zusammen mit der Stetigkeit von <math>f</math> in <math>c</math> ergibt sich durch Grenzübergang <math>f(c) = \lim_{n \to \infty} f(c_n) \leq u</math>. Insgesamt also <math>f(c)=u</math>. '''''q.e.d.'''''

== Beispiel ==
[[Datei:Intermediatevaluetheorem.svg|mini|Die Funktion f nimmt den Wert u mit f(a) < u < f(b) an der Stelle c an.]]
Die [[Kosinus]]-Funktion <math>\cos</math> ist im Intervall <math>[0,2]</math> stetig, es ist <math>\cos(0)=1</math> und <math>\cos(2) \approx -0{,}4161 < 0</math>. Der Zwischenwertsatz besagt dann, dass der Kosinus mindestens eine Nullstelle im Intervall <math>(0,2)</math> hat. Tatsächlich gibt es in dem Intervall genau eine Nullstelle, nämlich <math>\tfrac \pi 2</math>.

== Verallgemeinerung ==
Der Zwischenwertsatz ist ein Spezialfall des folgenden Satzes aus der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]]: Das Bild einer [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängenden]] [[Teilmenge]] eines [[Topologischer Raum|topologischen Raumes]] unter einer [[Stetige Abbildung|stetigen Abbildung]] ist wieder zusammenhängend.

Daraus ist wieder der Zwischenwertsatz zu erhalten, weil [[Stetige Funktion#Stetigkeit in der Topologie|Stetigkeit einer Funktion im topologischen Sinne]] die im Zwischenwertsatz für reelle Funktionen geforderte einschließt und weil eine Teilmenge der reellen Zahlen genau dann zusammenhängend ist, wenn sie ein Intervall ist.<ref group="Anm">Hier ist, anders als im Abschnitt „Beweis“,  jede Art von Intervall gemeint. Es braucht also nicht beschränkt zu sein.</ref>

== Folgerungen ==
Es gilt der folgende allgemeine Satz:
:
Ist <math>I \subseteq \R</math> ein  beliebiges reelles [[Intervall (Mathematik)#Bezeichnungs- und Schreibweisen|Intervall]] und <math>f\colon I \to \R</math> eine auf ihm definierte stetige Funktion,  so ist auch das Bild <math>f(I) \subseteq \R</math> ein Intervall.<ref>Forster, S. 107</ref>

Aus dem Zwischenwertsatz ergibt sich ebenfalls unmittelbar ein bekanntes Resultat, das [[Karl Weierstraß]] zugerechnet und als ''weierstraßscher Nullstellensatz'' bezeichnet wird. Es besagt folgendes:<ref>{{Literatur |Autor=Hans-Jörg Reiffen, [[Günter Scheja]],  Udo Vetter |Titel=Algebra |Auflage=2., durchgesehene |Verlag=[[Bibliographisches Institut]] |Ort=Mannheim, Wien, Zürich |Datum=1984 |ISBN=3-411-05110-8 |Seiten=224}}</ref>
:
Jede [[Reelle Funktion|reelle]] [[Polynomfunktion]] <math>f \colon \R \to \R</math>, deren [[Grad (Polynom)|Grad]] <math> \deg (f) </math>  eine [[ungerade Zahl]] ist, besitzt wenigstens eine reelle Nullstelle.<ref group="Anm">Wie Reiffen, Scheja und Vetter in ihrem Lehrbuch zeigen, kann, aufbauend auf dem weierstraßschen Nullstellensatz, ein Beweis des [[Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]] geführt werden, welcher den Nullstellensatz an einer einzigen Stelle benutzt und ansonsten ausschließlich mit algebraischen Argumenten operiert. (op. cit., S. 224–225)</ref>

== Zwischenwertsatz für Ableitungen (Satz von Darboux) ==
Eine zum obigen Zwischenwertsatz analoge Aussage gilt für [[Ableitungsfunktion]]en:<ref>Fichtenholz, S. 206</ref><ref>Köhler, S. 196</ref>

Ist <math>f\colon [a,b] \to \R</math> eine auf dem Intervall <math>[a,b] \subseteq \R </math> definierte [[differenzierbare Funktion]] mit <math>f'(a) \neq f'(b)</math>, so nimmt die [[Ableitungsfunktion]] <math>f'</math> jeden Wert zwischen <math>f'(a)</math> und <math>f'(b)</math> an.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|title=Bolzano's Theorem|urlname=BolzanosTheorem}}
* {{MathWorld|title=Intermediate Value Theorem|urlname=IntermediateValueTheorem}}
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Zwischenwertsatz}}

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]]
   |Titel=Differential- und Integralrechnung I
   |Auflage=8.
   |Verlag=[[Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=1973}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Otto Forster]]
   |Titel=Analysis 1
   |TitelErg=Differential– und Integralrechnung einer Veränderlichen
   |Reihe=Vieweg Studium
   |Auflage=9., überarbeitete
   |Verlag=[[Vieweg Verlag]]
   |Ort=Wiesbaden
   |Datum=2008
   |ISBN=978-3-8348-0395-5}}
* {{Literatur
   |Autor=Günter Köhler
   |Titel=Analysis
   |TitelErg=Mit Aufgaben von Jürgen Grahl
   |Reihe=Berliner Studienreihe zur Mathematik
   |BandReihe=14
   |Auflage=
   |Verlag=[[Heldermann Verlag]]
   |Ort=Lemgo (u. a.)
   |Datum=2006
   |ISBN=3-88538-114-1}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Konrad Königsberger]]
   |Titel=Analysis 1
   |Reihe=Springer-Lehrbuch
   |Auflage=6., durchgesehene
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin
   |Datum=2004
   |ISBN=3-540-40371-X}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]
   |Titel=Topologie
   |Auflage=4.
   |Verlag=[[B. G. Teubner Verlag]]
   |Ort=Stuttgart
   |Datum=1975
   |ISBN=3-519-12200-6}}

== Anmerkungen ==
<references group="Anm" />

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]