Quelltext der Seite Zufälliges Maß

Ein '''zufälliges Maß''' ist in der [[Maßtheorie|Maß-]] und der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] eine [[Zufallsvariable]], deren Werte [[Maß (Mathematik)|Maße]] sind. Zufällige geometrische Strukturen, wie sie in der [[Stochastische Geometrie|stochastischen Geometrie]] untersucht werden, können durch zufällige Maße modelliert werden. So kann ein [[Punktprozess]], wie beispielsweise ein allgemeiner [[Poisson-Prozess]], als zufälliges [[Zählmaß (Maßtheorie)|Zählmaß]] angesehen werden, das einer Menge die zufällige Anzahl der in ihr enthaltenen Punkte zuordnet. In der [[Statistik]] treten zufällige Maße beispielsweise als [[Empirische Verteilung (Zufälliges Maß)|empirische Verteilungen]] auf. Ebenso lassen sich viele Punktprozesse wie [[Binomial-Prozess]]e, Poisson-Prozesse und [[Cox-Prozess]]e als zufällige Maße definieren.

== Definition ==

Es seien <math>(\R^d, \mathcal{B}^d)</math> der <math>d</math>-dimensionale [[Euklidischer Raum|euklidische Raum]] mit der [[Borelsche σ-Algebra|borelschen σ-Algebra]] und <math>M</math> die Menge aller [[Lokal endliches Maß|lokal endlichen Maße]] (''Borel-Maße'') <math>\mu</math> auf <math>(\R^d, \mathcal{B}^d)</math>. Weiter bezeichne <math>\mathcal{M}</math> die kleinste [[σ-Algebra]] auf <math>M</math>, so dass alle Abbildungen <math>\mu \mapsto \mu(B)</math>, wobei <math>B</math> eine beschränkte Borelmenge ist, [[messbare Funktion|messbar]] sind.
Ein ''zufälliges Maß'' auf <math>\R^d</math> ist dann eine Zufallsvariable <math>X</math> auf einem [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> mit Werten im [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] <math>(M, \mathcal{M})</math>.

Ein zufälliges Maß ordnet also jedem Zufallsergebnis <math>\omega \in \Omega</math> ein Maß <math>X_{\omega}</math> auf <math>\R^d</math> zu, das auf beschränkten messbaren Mengen endliche Werte annimmt. Für jede beliebige Borelmenge <math>A \in \mathcal{B}^d</math> ist
:<math>X(A) \colon \Omega \to [0,\infty],\ \omega \mapsto X_{\omega}(A)</math>
eine nichtnegative Zufallsvariable, genannt das ''zufällige Maß der Menge <math>A</math>''.

Bezeichnet <math>\operatorname{E}(X(A))</math> den [[Erwartungswert]] von <math>X(A)</math>, dann ist durch die Abbildung
:<math>\operatorname{E}(X) \colon \mathcal{B}^d \to [0,\infty],\ A \mapsto \operatorname{E}(X(A))</math>
ein Maß auf <math>\R^d</math> gegeben, das [[Intensitätsmaß]] von <math>X</math> genannt wird. Wenn <math>\operatorname{E}(X)</math> wieder lokal-endlich ist, heißt <math>X</math> ''integrierbar''.

== Beispiel ==

Eine zufällige Anordnung von Punkten in der Ebene oder im Raum kann als zufälliges Maß modelliert werden: Sind <math>Z_1, Z_2, \dots, Z_N</math> die Positionen von <math>N</math> Punkten, aufgefasst als <math>\R^d</math>-wertige Zufallsvariable, dann wird durch
:<math>X = \delta_{Z_1} + \delta_{Z_2} + \ldots + \delta_{Z_N}</math>
ein zufälliges Maß auf <math>\R^d</math> definiert. Hierbei bezeichnet <math>\delta_z</math> das [[Diracmaß]] an der Stelle <math>z</math>.
Für eine Borelmenge <math>A \subset \R^d</math> ist dann <math>X(A)</math> die (zufällige) Anzahl der Punkte, die in der Menge <math>A</math> liegen.

== Literatur ==

* Olav Kallenberg: ''Random measures'' 4th edition, (revised printing of the 3rd edition 1983). Akademie-Verlag u. a., Berlin u. a. 1986, ISBN 0-12-394960-2.
* [[Dietrich Stoyan]], Wilfrid S. Kendall, Joseph Mecke: ''Stochastic Geometry and Its Applications'' (= ''Wiley Series in Probability and Statistics''). 2. Auflage. Wiley, Chichester u. a. 1995, ISBN 0-471-95099-8, Kap. 7.
* Achim Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 24.

{{SORTIERUNG:Zufalliges Mass}}
[[Kategorie:Maß (Mathematik)]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]