Quelltext der Seite Zeilensummennorm

[[Datei:Matrix-infinity-norm qtl1.svg|mini|Illustration der Zeilensummennorm]]
Die '''Zeilensummennorm''' ist in der [[Mathematik]] die von der [[Maximumsnorm]] abgeleitete [[natürliche Matrixnorm]]. Die Zeilensummennorm einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] entspricht der maximalen [[Summennorm|Betragssumme]] ihrer Zeilen. Sie ist [[Submultiplikativität|submultiplikativ]] und mit der Maximumsnorm [[Matrixnorm#Verträglichkeit mit einer Vektornorm|verträglich]]. Die Zeilensummennorm wird insbesondere in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] und der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] verwendet.

== Definition ==

Die Zeilensummennorm <math>\| \cdot \|_\infty</math> einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> mit <math>\mathbb K</math> als dem [[Körper (Algebra)|Körper]] der [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen ist die von der [[Maximumsnorm]] abgeleitete [[natürliche Matrixnorm]] und damit definiert als

: <math>\| A \|_\infty := \max_{x \neq 0}\frac{\| Ax \|_\infty}{\| x \|_\infty} = \max_{\| x \|_\infty = 1} \| Ax \|_\infty</math>.

Anschaulich entspricht die Zeilensummennorm dem größtmöglichen [[Zentrische Streckung|Streckungsfaktor]], der durch die Anwendung der Matrix auf einen [[Vektor]] mit betragsmaximalen Eintrag Eins entsteht. Für die Zeilensummennorm gilt die namensgebende Darstellung

: <math>\| A \|_\infty = \max_{\| x \|_\infty = 1} \| Ax \|_\infty = \max_{\| x \|_\infty = 1} \max_{i=1, \ldots ,m} \left| \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right| = \max_{i=1, \ldots ,m} \max_{\| x \|_\infty = 1} \left| \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right| = \max_{i=1, \ldots ,m}{\sum_{j=1}^n | a_{ij} |}</math>.

Hierbei wurde genutzt, dass die Summe innerhalb der Betragsstriche für festes <math>i</math> genau dann maximal wird, wenn <math>x_j = \operatorname{sign}(a_{ij})</math> für alle <math>j=1, \ldots ,n</math> ist. Die Berechnung der Zeilensummennorm erfolgt also durch die Ermittlung der Betragssumme jeder Zeile und dann durch Auswahl des Maximums dieser Werte. Zur Unterscheidung von der verwandten [[Spaltensummennorm]] <math>\| \cdot \|_1</math> hilft folgende [[Merkspruch|Merkregel]]: die <math>1</math> steht senkrecht und steht für die Spalten, während die <math>\infty</math> waagrecht liegt und für die Zeilen steht.

== Beispiele ==

'''Reelle Matrix'''

Die Zeilensummennorm der reellen (2&nbsp;×&nbsp;3)-Matrix

: <math>A = \begin{pmatrix} 1 & {-2} & {-3} \\ 2 & 3 & {-1} \end{pmatrix}</math>

berechnet sich als

: <math>\| A \|_\infty = \max \{ | 1 | + | {-2} | + | {-3} |, | 2 | + | 3 | + | {-1} | \} = \max \{ 6, 6 \} = 6</math>.

'''Komplexe Matrix'''

Die Zeilensummennorm der komplexen (2&nbsp;×&nbsp;3)-Matrix

:<math>A = \begin{pmatrix} 1 & -2i & 3-i \\ 2i & 3 & -1-i \end{pmatrix}</math>

berechnet sich als

: <math>\| A \|_\infty = \max \{ | 1 | + | -2i | + | 3-i |, | 2i | + | 3 | + | -1-i | \} = \max \{ 3 + \sqrt{10}, 5 + \sqrt{2} \} = 5 + \sqrt{2}</math>.

== Eigenschaften ==

=== Normeigenschaften ===

Die Normaxiome [[Definitheit]], [[Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und [[Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] folgen für die Zeilensummennorm direkt aus den entsprechenden [[Natürliche Matrixnorm#Normaxiome|Eigenschaften]] von natürlichen Matrixnormen. Insbesondere ist die Zeilensummennorm damit auch [[Submultiplikativität|submultiplikativ]] und mit der Maximumsnorm [[Matrixnorm#Verträglichkeit mit einer Vektornorm|verträglich]], das heißt, es gilt

: <math>\| A \cdot x \|_\infty \leq \| A \|_\infty \cdot \| x \|_\infty</math>

für alle Matrizen <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> und alle Vektoren <math>x \in {\mathbb K}^n</math> und die Zeilensummennorm ist die kleinste Norm mit dieser Eigenschaft.

=== Adjungierte ===

Für eine [[adjungierte Matrix]] <math>A^H \in {\mathbb K}^{n \times m}</math> (im reellen Fall [[transponierte Matrix]]) gilt

: <math>\| A^H \|_\infty = \max_{i=1, \ldots ,m}{\sum_{j=1}^n | \bar{a}_{ji} |} = \max_{j=1, \ldots ,m}{\sum_{i=1}^n | a_{ij} |} = \| A \|_1</math>,

wobei <math>\bar{a}</math> die [[konjugiert komplex]]e Zahl zu <math>a</math> mit dem gleichen Betrag ist. Die Zeilensummennorm einer adjungierten oder transponierten Matrix entspricht also der Spaltensummennorm der Ausgangsmatrix. Die [[Spektralnorm]] einer Matrix kann dadurch als [[geometrisches Mittel]] aus Zeilen- und Spaltensummennorm nach oben abgeschätzt werden.

== Literatur ==

* {{Literatur
   |Autor=Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler
   |Titel=Numerische Mathematik
   |Auflage=8.
   |Verlag=Vieweg & Teubner
   |Datum=2011
   |ISBN=978-3-8348-1551-4}}

== Weblinks ==

* {{MathWorld |id=MaximumAbsoluteRowSumNorm |title=Maximum Absolute RowSum Norm}}

[[Kategorie:Numerische lineare Algebra]]
[[Kategorie:Norm (Mathematik)]]