Quelltext der Seite Wurzelsystem

{{Dieser Artikel|behandelt den Begriff im mathematischen Sinne. Für die biologische Bedeutung siehe [[Wurzel (Pflanze)]].}}

'''Wurzelsysteme''' dienen in der [[Mathematik]] als Hilfsmittel zur Klassifikation der endlichen [[Spiegelungsgruppe]]n und der endlich[[Dimension (Mathematik)|dimensionalen]] [[Halbeinfache Lie-Algebra|halbeinfachen]] komplexen [[Lie-Algebra|Lie-Algebren]].

== Definitionen ==

Eine Teilmenge <math>R</math> eines [[Vektorraum]]s <math>V</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> der [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] 0 heißt ''Wurzelsystem'', falls sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

# <math>R</math> ist endlich.
# <math>R</math> ist ein lineares Erzeugendensystem von <math>V</math>.
# Zu jedem <math>\alpha\in R</math> gibt es eine eindeutige [[Linearform]] <math>\alpha^\vee\in V^*</math> mit den Eigenschaften:
#* Für <math>\beta\in R</math> gilt <math>\alpha^\vee(\beta)\in\mathbb{Z}</math>.
#* <math>\alpha^\vee(\alpha)=2</math>.
#* Die lineare Abbildung <math>s_\alpha\colon V\to V</math> mit <math>s_\alpha(x)=x-\alpha^\vee(x)\cdot\alpha</math> bildet <math>R</math> auf <math>R</math> ab.

Die <math>\alpha\in R</math> heißen ''Wurzeln.''

Ein ''reduziertes Wurzelsystem'' liegt vor, falls zusätzlich Folgendes gilt:
:4. Sind zwei Wurzeln <math>\alpha,\beta</math> linear abhängig, so gilt <math>\alpha=\pm\beta</math>

Die Linearform <math>\alpha^\vee</math> wird die ''Kowurzel'' zu <math>\alpha</math> genannt; die Bezeichnung ist dadurch gerechtfertigt, dass die Kowurzeln ein Wurzelsystem im [[Dualraum]] <math>V^*</math> bilden.
Die Abbildung <math>s_\alpha</math> ist eine [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] und natürlich ebenfalls eindeutig bestimmt.

Sind <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> zwei Wurzeln mit <math>\alpha^\vee(\beta)=0</math>, so kann man zeigen, dass auch <math>\beta^\vee(\alpha)=0</math> gilt, und man nennt <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> ''orthogonal'' zueinander.
Kann man das Wurzelsystem derart als Vereinigung <math>R=R_1\cup R_2</math> zweier nicht-leerer Teilmengen schreiben, dass jede Wurzel in <math>R_1</math> orthogonal zu jeder Wurzel in <math>R_2</math> ist, so heißt das Wurzelsystem ''reduzibel''. In diesem Fall lässt sich auch <math>V</math> in eine direkte Summe <math>V_1\oplus V_2</math> zerlegen, sodass <math>R_1\subseteq V_1</math> und <math>R_2\subseteq V_2</math> Wurzelsysteme sind. Ist hingegen ein nicht-leeres Wurzelsystem nicht reduzibel, so heißt es ''irreduzibel''.

Die Dimension des Vektorraums <math>V</math> heißt ''Rang'' des Wurzelsystems. Eine Teilmenge <math>\Pi</math> eines Wurzelsystems <math>R</math> heißt ''Basis'', falls <math>\Pi</math> eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>V</math> ist und jedes Element von <math>R</math> als ganzzahlige Linearkombination von Elementen von <math>\Pi</math> mit ausschließlich positiven oder ausschließlich negativen Koeffizienten dargestellt werden kann.

Zwei Wurzelsysteme <math>R\subset V</math> und <math>R'\subset V'</math> sind genau dann zueinander ''[[Isomorphismus|isomorph]]'', wenn es einen Vektorraumisomorphismus <math>\varphi\colon V \to V'</math> mit <math>\varphi(R)=R'</math> gibt.

== Skalarprodukt ==

Man kann auf <math>V</math> ein [[Skalarprodukt]] definieren, bezüglich dessen die Abbildungen <math>s_\alpha</math> Spiegelungen sind. Im reduziblen Fall kann man dieses aus Skalarprodukten auf den Komponenten zusammensetzen. Falls jedoch <math>R</math> irreduzibel ist, so ist dieses Skalarprodukt sogar bis auf einen Faktor eindeutig. Man kann dieses noch so normieren, dass die kürzesten Wurzeln die Länge 1 haben.

Man kann also im Prinzip davon ausgehen, dass ein Wurzelsystem in einem <math>K^n</math> (meist <math>\mathbb{R}^n</math>) mit dessen [[Standardskalarprodukt]] „lebt“. Die Ganzzahligkeit von <math>\alpha^\vee(\beta)</math> und <math>\beta^\vee(\alpha)</math> bedeutet dann eine erhebliche Einschränkung für die möglichen Winkel zwischen zwei Wurzeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Es ergibt sich nämlich aus
:<math>\langle\alpha,\beta\rangle =\sqrt{\langle\alpha,\alpha\rangle\langle\beta,\beta\rangle} \cdot\cos\measuredangle(\alpha,\beta),</math>
dass <math>4 \cos^2\measuredangle(\alpha,\beta)</math> ganzzahlig sein muss, was nur für die Winkel 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180° der Fall ist. Zwischen zwei verschiedenen Wurzeln einer Basis sind sogar nur die Winkel 90°, 120°, 135°, 150° möglich. All diese Winkel treten tatsächlich auf, vgl. die Beispiele vom Rang&nbsp;2. Weiter ergibt sich, dass auch für das Längenverhältnis zweier Wurzeln in derselben irreduziblen Komponente nur endlich viele Werte möglich sind.

== Weylgruppe ==

Die Untergruppe der [[Automorphismus|Automorphismengruppe]] von <math>V</math>, die von der Menge der [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelungen]] <math>\{s_\alpha \mid \alpha \in R\}</math> erzeugt wird, heißt ''Weylgruppe'' (nach [[Hermann Weyl]]) und wird im Allgemeinen mit <math>W</math> bezeichnet. Bezüglich des definierten Skalarproduktes sind alle Elemente der Weylgruppe orthogonal, die <math>s_\alpha</math> sind Spiegelungen.

Die Gruppe <math>W</math> [[Gruppenoperation#Stabilisator|operiert treu]] auf <math>R</math> und ist daher immer endlich. Ferner operiert <math>W</math> [[Gruppenoperation#Bahn|transitiv]] auf der Menge der Basen von <math>R</math>.

Im Fall <math>K=\mathbb{R}</math> zerlegen die Spiegelungsebenen der <math>s_\alpha</math> den Raum jeweils in Halbräume, insgesamt in mehrere offene konvexe Teilmengen, die sogenannten ''Weylkammern''.
Auch auf diesen operiert <math>W</math> transitiv.

== Positive Wurzeln, einfache Wurzeln ==

Nach Wahl einer [[Weyl-Kammer]] <math>\mathfrak{a}^+</math> kann man die Menge der ''positiven Wurzeln'' (genannt die ''fundamentale Weyl-Kammer'') definieren durch
:<math>R^+:=\left\{\alpha\in R \mid \forall x\in\mathfrak{a}^+\colon \alpha^\vee(x)>0\right\}</math>.
Dies definiert eine Anordnung auf <math>R</math> durch
:<math>\alpha>\beta \Longleftrightarrow \alpha-\beta \in \mathbb Z_{\ge0}R^+</math>.
Die positiven bzw. negativen Wurzeln sind also diejenigen mit <math>\alpha>0</math> bzw. <math>\alpha <0</math>. Man beachte, dass diese Definition von der Wahl der Weyl-Kammer abhängt. Zu jeder Weyl-Kammer erhält man eine Anordnung.

Eine ''einfache Wurzel'' ist eine positive Wurzel, die sich nicht als Summe mehrerer{{FNZ|*)|Die englische Version sagt, dass es hinreichend ist, die Wurzeln auszuschließen, die die Summe zweier positiver Wurzeln sind.}}positiver Wurzeln zerlegen lässt.

Die einfachen Wurzeln bilden eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>V</math>. Jede positive (negative) Wurzel lässt sich als [[Linearkombination]] einfacher Wurzeln mit [[nichtnegativ]]en ([[nichtpositiv]]en) Koeffizienten zerlegen.

== Beispiele ==

Die [[leere Menge]] ist das einzige Wurzelsystem vom Rang&nbsp;0 und ist auch das einzige Wurzelsystem, das weder reduzibel noch irreduzibel ist.

Es gibt bis auf Isomorphie nur ein reduziertes Wurzelsystem vom Rang&nbsp;1. Es besteht aus zwei von 0 verschiedenen Wurzeln <math>\{\alpha,-\alpha\}</math> und wird mit <math>A_1</math> bezeichnet. Betrachtet man auch nicht-reduzierte Wurzelsysteme, so ist <math>\{-2\alpha,-\alpha,\alpha,2\alpha\}</math> das einzige weitere Beispiel von Rang&nbsp;1.

Alle reduzierten Wurzelsysteme vom Rang&nbsp;2 haben, bis auf Isomorphie, eine der folgenden Formen. <math>(\alpha,\beta)</math> ist jeweils eine Basis des Wurzelsystems.

{| class="wikitable centered"
|+Reduzierte Wurzelsysteme vom Rang 2
| [[Datei:Root-system-A1xA1.png|200px|Root system A<sub>1</sub>×A<sub>1</sub>]]
| [[Datei:Root-system-A2-v1.png|200px|Root system A<sub>2</sub>]]
|-
| Wurzelsystem A<sub>1</sub> × A<sub>1</sub>
| Wurzelsystem A<sub>2</sub>
|-
| [[Datei:Root-system-B2.png|200px|Root system B<sub>2</sub>]]
| [[Datei:Root-system-G2.png|200px|Root system G<sub>2</sub>]]
|-
| Wurzelsystem B<sub>2</sub>
| Wurzelsystem G<sub>2</sub>
|}

Im ersten Beispiel, <math>A_1 \times A_1</math>, ist das Verhältnis der Längen von <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> beliebig, in den anderen Fällen dagegen durch die geometrischen Gegebenheiten eindeutig bestimmt.

== Klassifikation ==

Bis auf [[Isomorphismus|Isomorphie]] ist sämtliche Information über ein reduziertes Wurzelsystem <math>R</math> in seiner [[Cartan-Matrix]]

:<math>C(R)=(\beta^\vee(\alpha))_{\alpha,\beta\in\Pi}</math>

enthalten. Man kann dies auch in Form eines ''[[Eugene Dynkin|Dynkin]]-Diagramms'' darstellen. Dazu setzt man für jedes Element einer Basis einen Punkt und verbindet die Punkte α und β durch Striche, deren Anzahl durch

:<math>\beta^\vee(\alpha)\alpha^\vee(\beta)</math>

bestimmt wird. Sind dies mehr als einer, so setzt man zusätzlich zwischen beide Punkte ein Relationszeichen > bzw. <, d.&nbsp;h. einen „Pfeil“ in Richtung der kürzeren Wurzel. Die Zusammenhangskomponenten des Dynkin-Diagramms entsprechen genau den irreduziblen Komponenten des Wurzelsystems. Als Diagramm eines irreduziblen Wurzelsystems können nur auftreten:

[[Datei:Irreduzible Wurzelsysteme.png]]

Der Index <math>n</math> gibt hierbei jeweils den Rang und damit die Anzahl der Punkte im Diagramm an.
Aus den Dynkin-Diagrammen kann man mehrere Identitäten für Fälle kleineren Ranges ablesen, nämlich:

* <math>A_1 = B_1 = C_1</math>
* <math>B_2 = C_2</math>
* <math>A_3 = D_3</math>

Deshalb bildet beispielsweise <math>B</math> erst ab <math>n=2</math> und <math>D</math> erst ab <math>n=4</math> eine eigenständige Klasse.
Die zu den Serien <math>A_n</math> bis <math>D_n</math> gehörenden Wurzelsysteme werden auch als ''klassische Wurzelsysteme'' bezeichnet, die übrigen fünf als ''exzeptionelle'' oder ''Ausnahme-Wurzelsysteme''.
Alle genannten Wurzelsysteme treten beispielsweise auch auf als Wurzelsysteme halbeinfacher komplexer Lie-Algebren.

=== Nicht reduzierte Wurzelsysteme ===

Für irreduzible, nicht reduzierte Wurzelsysteme gibt es nur wenige Möglichkeiten, die gedacht werden können als die Vereinigung eines <math>B_n</math> mit einem <math>C_n</math> (<math>n\geq 1</math>) bzw. als ein <math>B_n</math>, bei dem für jede kurze Wurzel deren Doppeltes hinzugenommen wurde.

== Weitere Anwendungen ==

=== Lie-Algebren ===

Es sei <math>\mathfrak{g}</math> eine endlich-dimensionale halbeinfache Lie-Algebra und <math>\mathfrak{a}\subset\mathfrak{g}</math> eine [[Cartan-Unteralgebra]]. Dann heißt <math>\alpha\in \mathfrak{a}</math> eine Wurzel, wenn
:<math>\mathfrak{g}_\alpha:=\left\{Y\in\mathfrak{g} \mid \forall X\in\mathfrak{a}\colon \left[X,Y\right]=\alpha^\vee(X)Y\right\}\not=\left\{0\right\}</math>
gilt. Hierbei ist <math>\alpha^\vee\in\mathfrak{a}^*</math> die mittels der [[Killing-Form]] <math>B</math> durch
:<math>\forall X\in\mathfrak{a}\colon \alpha^\vee(X)=2\frac{B(\alpha,X)}{B(\alpha,\alpha)}</math>
definierte lineare Abbildung.

Sei <math>R\subset\mathfrak{a}</math> die Menge der Wurzeln, dann kann man zeigen, dass
:<math>(\mathfrak{a},R)</math>
ein Wurzelsystem ist.

==== Eigenschaften ====

Dieses Wurzelsystem hat folgende Eigenschaften:
# <math>\mathfrak{a}(\R):=\left\{a\in\mathfrak{a} \mid \forall\alpha\in R\colon \alpha^\vee(a)\in\R\right\}</math> ist eine [[reelle Form]] von <math>\mathfrak{a}</math>.
# Für <math>\alpha\in R</math> gilt <math>n\alpha\in R</math> genau dann, wenn <math>n=\pm 1</math>.
# Für alle <math>\alpha\in R</math> gilt <math>\operatorname{dim}(\mathfrak{g}_\alpha)=1</math>.
# Für alle <math>\alpha,\beta\in R</math> gilt <math>\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}=\left[\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_\beta\right]</math>, insbesondere <math>\left[\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_{-\alpha}\right]\subset\mathfrak{a}</math>.
# <math>\mathfrak{g}_\alpha, \mathfrak{g}_{-\alpha}, \left[\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_{-\alpha}\right]</math> spannen eine zur Lie-Algebra <math>\mathfrak{sl}(2,\C)</math> isomorphe Lie-Algebra auf.
# Für <math>\alpha\not=\pm\beta</math> gilt <math>B(\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_\beta)=0</math>, d.&nbsp;h., die Wurzelräume sind bzgl. der [[Killing-Form]] orthogonal. Die Einschränkung der Killing-Form auf <math>\mathfrak{a}</math> und <math>\mathfrak{g}_\alpha\oplus\mathfrak{g}_{-\alpha}</math> ist nicht-entartet. Die Einschränkung der Killing-Form auf <math>\mathfrak{a}(\R)</math> ist reell und positiv definit.

Endlich-dimensionale [[Halbeinfache Lie-Algebra|halbeinfache komplexe Lie-Algebren]] werden durch ihre Wurzelsysteme, also durch ihre Dynkin-Diagramme, klassifiziert.

==== Beispiel ====

Es sei <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(n,\R)</math>. Die Killing-Form ist <math>B(X,Y)=2n\operatorname{Tr}(XY)</math>, eine Cartan-Unteralgebra <math>\mathfrak{a}</math> ist die Algebra der Diagonalmatrizen mit Spur&nbsp;0, also <math>\mathfrak{a}=\left\{\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \mid \lambda_1+\dotsb+\lambda_n=0\right\}</math>. Wir bezeichnen mit <math>e_i</math> die Diagonalmatrix mit <math>i</math>-tem Diagonaleintrag <math>\lambda_i=1</math> und den anderen Diagonaleinträgen gleich 0.

Das Wurzelsystem von <math>\mathfrak{a}</math> ist <math>R=\left\{e_i-e_j \mid 1\le i \not = j\le n\right\}</math>. Die zu <math>\alpha=e_i-e_j</math> duale Form <math>\alpha^\vee\in\mathfrak{a}^*</math> ist
:<math>\alpha^\vee(\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n))=\lambda_i-\lambda_j</math>.

Als positive [[Weyl-Kammer]] kann man
:<math>\mathfrak{a}^+ = \left\{\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \mid \lambda_1>\ldots>\lambda_n, \lambda_1+\dotsb+\lambda_n = 0\right\}</math>
wählen. Die positiven Wurzeln sind dann
:<math>R^+=\left\{e_i-e_j \mid 1\le i < j\le n\right\}</math>.
Die einfachen Wurzeln sind
:<math>\left\{e_i-e_{i+1} \mid 1\le i\le n-1\right\}</math>.

=== Spiegelungsgruppen ===

Eine Coxeter-Gruppe ist abstrakt definiert als [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] mit [[Präsentation einer Gruppe|Präsentation]]

:<math>\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle</math>

mit <math>m_{ii}=1</math> und <math>m_{ij}\geq 2</math> für <math>i\neq j</math>, sowie der Konvention <math>m_{ij} = \infty</math>, falls <math>(r_i r_j)</math> unendliche [[Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnung]] hat, d.&nbsp;h., wenn es keine Relation der Form <math>(r_ir_j)^m = 1</math> gibt.

Coxeter-Gruppen sind eine Abstraktion des Begriffs der [[Spiegelungsgruppe]].

Jeder Coxeter-Gruppe entspricht ein ungerichtetes Dynkin-Diagramm. Die Punkte des Diagramms entsprechen den Erzeugern <math>r_1,r_2,\ldots,r_n</math>. Die <math>r_i</math> und <math>r_j</math> entsprechenden Punkte werden durch <math>m_{ij}</math> Kanten verbunden.

=== Singularitäten ===

Nach [[Wladimir Arnold]] lassen sich [[Katastrophentheorie (Mathematik)#Elementare Katastrophen|Elementare Katastrophen]] durch Dynkin-Diagramme vom Typ ADE klassifizieren:

* <math>A_0</math> – ein nicht-singulärer Punkt, <math>V = x</math>
* <math>A_1</math> – ein lokales Extremum, entweder ein stabiles Minimum oder ein instabiles Maximum <math>V = \pm x^2 + a x</math>
* <math>A_2</math> – die Faltung, fold
* <math>A_3</math> – die Spitze, cusp
* <math>A_4</math> – der Schwalbenschwanz, swallowtail
* <math>A_5</math> – der Schmetterling, butterfly
* <math>A_k</math> – eine unendliche Folge von Formen in einer Variablen <math>V = x^{k+1}+\dotsb</math>
* <math>D_4^-</math> – die elliptische [[umbilische Katastrophe]]
* <math>D_4^+</math> – die hyperbolische umbilische Katastrophe
* <math>D_5</math> – die parabolische umbilische Katastrophe
* <math>D_k</math> – eine unendliche Folge weiterer umbilischer Katastrophen
* <math>E_6</math> – die umbilische Katastrophe <math>V = x^3 + y^4 + axy^2 + bxy + cx + dy</math>
* <math>E_7</math>
* <math>E_8</math>

== Weblinks ==

{{Commonscat|Root systems|Wurzelsystem}}
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Lie-Algebren: Wurzelsysteme: Klassifikation von Wurzelsystemen|Ausführlicher Beweis der Klassifikation}}
{{Wiktionary}}

== Literatur ==

* [[Jean-Pierre Serre]]: [https://prclare.people.wm.edu/m410f23/Serre_Complex_semisimple_Lie_algebras.pdf ''Complex Semisimple Lie Algebras.''] Springer, Berlin 2001.
* Thomas Leistner: [http://www.maths.adelaide.edu.au/thomas.leistner/2012-Lie/TopicD2012-handout4-classical.pdf ''The classical Lie algebras and their root systems.''] University of Adelaide, 2012.

[[Kategorie:Theorie der Lie-Algebren]]