Quelltext der Seite Wurmartige Kette

Das Modell der '''wurmartigen Kette''' (auch WLC-Modell von {{enS|''worm-like chain''}}, seltener '''Porod-Kratky-Kette'''<ref>{{Literatur |Autor=P. Kratochvíl, U. W. Suter |Titel=Definitions of terms relating to individual macromolecules, their assemblies, and dilute polymer solutions (Recommendations 1988) |Sammelwerk=Pure and Applied Chemistry |Band=61 |Nummer=2 |Datum=1989 |Seiten=211–241 |Online=[http://www.iupac.org/publications/pac/61/2/0211/pdf/ iupac.org] |Format=PDF |KBytes=1290 |Abruf=2014-02-18 |DOI=10.1351/pac198961020211}}</ref>) ist ein Modell zur physikalischen Beschreibung von steifen [[Polymer]]en. Es ist komplexer als das Modell der [[Frei bewegliche Kette|frei beweglichen Kette]] und eignet sich für steife Polymere wie doppelsträngige [[Desoxyribonukleinsäure|DNA]], doppel- und einzelsträngige [[Ribonukleinsäure|RNA]] und [[Protein]]e.<ref name="Kirby" /><ref name="dekker2005">{{cite journal|author=J. A. Abels, F. Moreno-Herrero, T. van der Heijden, C. Dekker, N. H. Dekker | title=Single-Molecule Measurements of the Persistence Length of Double-Stranded RNA | journal=Biophysical Journal| year=2005| volume=88| pages=2737–2744| doi=10.1529/biophysj.104.052811 |language=en }}</ref><ref name="lapidus2002">{{cite journal|author=L. J. Lapidus, P. J. Steinbach, W. A. Eaton, A. Szabo, J. Hofrichter | title=Single-Molecule Effects of Chain Stiffness on the Dynamics of Loop Formation in Polypeptides. Appendix: Testing a 1-Dimensional Diffusion Model for Peptide Dynamics | journal=Journal of Physical Chemistry B| year=2002| volume=106| pages=11628–11640| doi=10.1021/jp020829v |language=en}}</ref>

== Eigenschaften ==
Das WLC-Modell beschreibt näherungsweise einen durchgängig, an definierten Stellen flexiblen, [[isotrop]]en Stab.<ref name="Doi">{{cite book | author=Doi, Edwards | title=The Theory of Polymer Dynamics | year=1999 |language=en}}</ref><ref name="Rubinstein">{{cite book | author=Rubinstein, Colby | title=Polymer Physics | year=2003 |language=en}}</ref><ref name="Kirby">{{cite book | author=B.J. Kirby | title=Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices | url=http://www.kirbyresearch.com/textbook |language=en}}</ref> Im Gegensatz dazu ist der Stab im Freely-Jointed-Chain-Modell nur an manchen Stellen flexibel. Im WLC-Modell zeigen die Segmente ungefähr in die gleiche Richtung. Bei Raumtemperatur nimmt das Polymer eine gekrümmte [[Konformation]] an, am absoluten Nullpunkt nimmt der Stab eine steife Konformation an.<ref name="Doi" />

Bei einem Polymer der Länge <math>l</math> wird der Pfad des Polymers als <math>s \in(0,l)</math> parametrisiert, mit dem ''unit tangent vector'' <math>\hat t(s)</math> der Kette bei <math>s</math> und <math>\vec r(s)</math> als Positionsvektor entlang der Kette.

: <math>\hat t(s) \equiv \frac {\partial \vec r(s) }{\partial s}</math> und der Endpunkteabstand <math>\vec R = \int_{0}^{l}\hat t(s) ds</math>.<ref name="Doi" />

Es kann gezeigt werden, dass die [[Autokorrelation|Korrelationsfunktion]] der Orientierung für eine ''worm-like chain'' dem exponentiellen Zerfall folgt:<ref name="Doi" /><ref name="Kirby" />

: <math>\langle\hat t(s) \cdot \hat t(0)\rangle=\langle \cos \; \theta (s)\rangle = e^{-s/P}\,</math>,

mit <math>P</math> als charakteristische [[Persistenzlänge]]. Ein typischer Wert ist das Quadrat des mittleren Endpunkteabstandes des Polymers:<ref name="Doi" /><ref name="Kirby" />

: <math>
\begin{align}
\langle R^{2} \rangle & = \langle \vec R \cdot \vec R \rangle \\
 & = \left \langle \int_{0}^{l} \hat t(s) ds \cdot \int_{0}^{l} \hat t(s') ds' \right\rangle \\
 & = \int_{0}^{l} ds \int_{0}^{l} \langle \hat t(s) \cdot \hat t(s') \rangle ds' \\
 & = \int_{0}^{l} ds \int_{0}^{l} e^{-\left | s - s' \right | / P} ds' \\
 \langle R^{2} \rangle & = 2 Pl \left [ 1 - \frac {P}{l} \left ( 1 - e^{-l/P} \right ) \right ]
\end{align}
</math>

Im Grenzfall <math>l \gg P</math> ist <math>\langle R^{2} \rangle = 2Pl</math>. Dies kann verwendet werden, um zu zeigen, dass die [[Kuhn-Länge]] der doppelten Persistenzlänge eines WLC-Polymers entspricht.<ref name="Rubinstein" />

== Streckung von Polymeren ==
Bei einer gegebenen Temperatur wird die Entfernung der beiden Enden des Polymers deutlich kürzer als die Konturlänge <math>L_0</math> sein. Dies wird durch thermische Fluktuationen verursacht, die im Ruhezustand in einer spulenförmigen, zufälligen Konformation resultiert. Durch Streckung des Polymers verringert sich das verfügbare Spektrum an Fluktuationen, was eine entropische Kraft gegen die von außen einwirkende Verlängerung erzeugt. Die entropische Kraft kann durch folgende [[Hamilton-Gleichung]] geschätzt werden:

: <math> H = H_\text{entropic} + H_\text{external}= \frac {1}{2}k_\mathrm{B} T \int_{0}^{L_0} P \cdot \left (\frac {\partial^2 \vec r(s) }{\partial s^2}\right )^{2} ds - xF</math>.

mit der [[Konturlänge]] <math>L_0</math>, der Persistenzlänge <math>P</math>, der Streckung und der Kraft in <math>xF</math>.

Durch [[Rasterkraftmikroskop]]e und [[optische Pinzette]]n können die Kraft-abhängige Dehnung des Polymers bestimmt werden. Folgende Interpolation wurde zur Näherung des Kraft-Streckungsverhaltens wurde von J. F. Marko, E. D. Siggia (1995) entwickelt:

: <math>\frac {FP} {k_\mathrm{B}T} = \frac {1}{4} \left ( 1 - \frac {x} {L_0} \right )^{-2} - \frac {1}{4} + \frac {x}{L_0}</math>

mit <math>k_\mathrm{B}</math> als [[Boltzmannkonstante]] und <math>T</math> als [[absolute Temperatur]].

== Extensible Worm-like Chain model ==
Mit zunehmender Streckung werden Polymere elastisch. Beispielsweise bei der Streckung von DNA bei neutralem [[pH-Wert]], einer [[Ionenstärke]] von 100 mM und Raumtemperatur muss die Übereinstimmung mit dem Modell enthalpisch anhand des [[Zugmodul]]s <math>K_0</math> betrachtet werden:

: <math> H = H_\text{entropisch} + H_\text{enthalpisch} + H_\text{extern} = \frac {1}{2}k_\mathrm{B} T \int_{0}^{L_0} P \cdot \left (\frac {\partial \vec r(s) }{\partial s}\right )^{2} ds  +  \frac {1}{2}\frac {K_0}{L_0} x^{2}  -  xF </math>

mit der Konturlänge <math>L_0</math>, der Persistenzlänge <math>P</math>, der Ausdehnung <math>x</math> und der externen Kraft <math>F</math>. Darin befindet sich der entropische Term, der die Änderung der Konformation betrachtet und der enthalpische Term, der die Ausdehnung unter äußerer Krafteinwirkung betrachtet. Der enthalpische Term ist hier als lineare Hookesche [[Feder (Technik)|Feder]] beschrieben.

Verschiedene Näherungen basieren auf der angewendeten Kraft. Für die Bereiche kleiner Kräfte unter zehn Pikonewton wurde die folgende Interpolation formuliert:<ref>{{cite journal|last=Marko|first=J.F.|coauthors=Eric D. Siggia|title=Stretching DNA|journal=Macromolecules|year=1995|volume=28|pages=8759–8770|bibcode = 1995MaMol..28.8759M |doi = 10.1021/ma00130a008 |language=en }}</ref>

: <math>\frac {FP} {k_\mathrm{B}T} = \frac {1}{4} \left ( 1 - \frac {x} {L_0} + \frac {F}{K_0} \right )^{-2} - \frac {1}{4} + \frac {x}{L_0} - \frac {F}{K_0}</math>.

Bei größeren Kräften, bei denen die Polymere deutlich gestreckt sind, gilt folgende Näherung:<ref>{{cite journal|last=Odijk|first=Theo|title=Stiff Chains and Filaments under Tension|journal=Macromolecules|year=1995|volume=28|pages=7016–7018|bibcode = 1995MaMol..28.7016O |doi = 10.1021/ma00124a044 |language=en }}</ref>

: <math>x = L_0 \left ( 1 - \frac {1} {2} \left ( \frac {k_\mathrm{B}T}{FP} \right )^{1/2} + \frac {F}{K_0}\right ) </math>.

Ein typischer Wert für die Dehnsteifigkeit (unter Zug) von doppelsträngiger DNA ist etwa 1000 pN, und etwa 45&nbsp;nm für die Persistenzlänge.<ref>{{cite journal|last=Wang|first=Michelle D.|coauthors=Hong Yin, Robert Landick, Jeff Gelles and Steven M. Block|title=Stretching DNA with Optical Tweezers|journal=Biophysical Journal|year=1997|volume=72|pages=1335–1346|bibcode = 1997BpJ....72.1335W |doi = 10.1016/S0006-3495(97)78780-0 |language=en }}</ref>

== Literatur ==
* [[Otto Kratky|O. Kratky]], [[Günther Porod|G. Porod]]: ''Röntgenuntersuchung gelöster Fadenmoleküle''. In: ''Rec. Trav. Chim. Pays-Bas.'', 1949, 68, S. 1106–1123.
* C. Bouchiat et al.: ''Estimating the Persistence Length of a Worm-Like Chain Molecule from Force-Extension Measurements''. In: ''Biophys J'', 1999, 76(1), S. 409–413; [[doi:10.1016/S0006-3495(99)77207-3]].
* J. F. Marko, E. D. Siggia: ''Stretching DNA''. In: ''Macromolecules'', 28, 1995, S.&nbsp;8759.
* C. Bustamante, J. F. Marko, E. D. Siggia, S. Smith: ''Entropic elasticity of lambda-phage DNA''. In: ''Science'', 265, 1994, S. 1599–1600, PMID 8079175.
* M. D. Wang, H. Yin, R. Landick, J. Gelles, S. M. Block: ''Stretching DNA with optical tweezers''. In: ''Biophys. J.'', 72, 1997, S. 1335–1346, PMID 9138579.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Makromolekulare Chemie]]
[[Kategorie:Biophysik]]