Quelltext der Seite Wronski-Determinante

Mit Hilfe der '''Wronski-Determinante''', die nach dem polnischen Mathematiker [[Joseph Marie Wronski|Josef Hoëné-Wroński]] (1776–1853) benannt wurde, kann man skalare [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] auf [[Lineare Abhängigkeit|lineare Unabhängigkeit]] testen, wenn diese hinreichend oft [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]] sind. Dies kann insbesondere beim Lösen einer [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen Differentialgleichung]] ein nützliches Hilfsmittel sein.

== Definition ==
Für <math>n</math> reell- oder komplexwertige Funktionen <math>f_1,\dots,f_n</math> auf einem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>I</math> ist die Wronski-[[Determinante (Mathematik)|Determinante]] definiert durch

: <math>W(f_1, \dots , f_n )(t)
= \begin{vmatrix} f_1(t) & f_2(t) & \dots & f_n(t) \\
 f^{(1)}_1(t) & f^{(1)}_2(t) & \dots & f^{(1)}_n(t) \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
 f^{(n-1)}_1(t) & f^{(n-1)}_2(t) & \dots & f^{(n-1)}_n(t)
\end{vmatrix},
\qquad t\in I,</math>

wobei in der ersten Zeile die Funktionen stehen und in den weiteren Zeilen die hochgestellten Zahlen in Klammern die erste bis <math>(n-1)</math>-te Ableitung bezeichnen.

== Eigenschaften ==
Die Berechnung der Wronski-Determinante von linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann durch die Anwendung der [[Abelsche Identität|Abelschen Identität]] vereinfacht werden, wenn im [[Fundamentalsystem (Mathematik)|Fundamentalsystem]] in der Darstellung <math> y''(t) - a_1 y'(t) - a_0 y(t) = 0</math> der Koeffizient <math>a_1 \neq 0</math> ist.

=== Kriterium für lineare Unabhängigkeit ===
Gilt <math>W(f_1,\ldots,f_n)(t_0) \neq 0</math> für ein <math>t_0 \in I</math>, so sind die Funktionen <math>f_1,\ldots,f_n</math> auf dem Intervall <math>I</math> [[linear unabhängig]].
Andererseits folgt aus <math>W(f_1,\ldots,f_n)(t) = 0</math> für alle <math>t \isin I</math> nicht die [[lineare Abhängigkeit]] der Funktionen <math>f_1,\ldots,f_n</math>. Das heißt, die Gleichheit bedingt nicht eine lineare Abhängigkeit auf dem Intervall <math>I</math>. Denn es gilt, dass die Funktionen lokal linear unabhängig sein können (siehe Gegenbeispiel).

=== Beispiel ===
Ausgehend vom [[Sturm-Liouville-Problem]] wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung
:<math> -\psi'' = \lambda \psi</math>
mit den [[Randbedingung]]en <math>\psi(0) = \psi(\pi) =0</math>
betrachtet. Als Lösungsansatz wird <math>\psi(t) = \alpha \sin( \sqrt \lambda t ) +\beta \cos( \sqrt \lambda t )</math> für <math>\lambda>0</math> und beliebige <math>\alpha , \beta \isin \R</math> gewählt. Aufgrund der Randbedingungen <math>\psi(0) = \psi(\pi) =0</math> ist <math>\alpha \neq 0, \beta =0</math> und <math>\sin( \sqrt \lambda \pi) = 0, </math> also <math>\sqrt \lambda \pi = n \pi</math> und somit <math>\lambda =n^2</math> für <math>n \isin \N</math>. Als Lösung wird daher
: <math>\psi(t) = \alpha \sin(nt)</math>
gewählt. Da eine weitere Lösung dieser Differentialgleichung durch <math>\phi = p \psi' = \psi'</math> mit <math>p=1</math> gegeben ist (siehe Sturm-Liuoville-Problem), wird als zweite Lösung
: <math>\phi(t)= \alpha n \cos(nt)</math>
angenommen und mittels der Wronski-Determinante auf lineare Unabhängigkeit geprüft. Es folgt
:<math>W(\phi,\psi)(t) =  \begin{vmatrix} \phi(t) & \psi(t) \\ \phi'(t) & \psi'(t) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \alpha n \cos(nt) & \alpha \sin(nt) \\ -\alpha n^2 \sin(nt) & \alpha n \cos(nt)\end{vmatrix} = (\alpha n)^2 \cos^2(nt) + (\alpha n)^2 \sin^2(nt) = (\alpha n)^2 > 0 </math>.
Also ist <math>W(\phi,\psi)(t) = \left| \begin{smallmatrix} \phi(t) & \psi(t) \\ \phi'(t) & \psi'(t) \end{smallmatrix} \right| > 0</math> für <math>t \geq 0</math> (genauer für alle <math>t \isin \R</math>) und die lineare Unabhängigkeit der Funktionen <math>\phi(t), \psi(t)</math> ist gegeben.

=== Gegenbeispiel ===

Als Gegenbeispiel dienen die auf den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] definierten Funktionen

:<math>f_1(t)=\begin{cases} 0\ ,&\mbox{falls }t\le0,\\ t^2\ ,&\mbox{falls }t>0,\end{cases}\qquad\mbox{und}\qquad
f_2(t)=\begin{cases} t^2\ ,&\mbox{falls }t\le0,\\0\ ,&\mbox{falls }t>0.\end{cases}</math>

Für alle <math>t \in \mathbb{R} </math> gilt
:<math>W(f_1, f_2 )(t)
= \begin{vmatrix} f_1(t) & f_2(t)\\
 f'_1(t) & f'_2(t)
\end{vmatrix}  = 0.</math>

Aber <math>\lambda\ f_1(t)+\mu\ f_2(t)=0</math> führt für <math>t=1</math> zu <math>\lambda=0</math> und für <math>t=-1</math> zu <math>\mu=0</math>, was die lineare Unabhängigkeit auf <math>t=1</math> beziehungsweise für <math>t = -1</math> der beiden Funktionen impliziert. Für <math>t=0</math> gilt <math>f_1(0) = 0</math> und <math>f_2(0) = 0</math>, was lineare Abhängigkeit in <math>t=0</math> bedeutet.

== Literatur ==
* H. Heuser: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen''. Teubner, 1995, ISBN 3-519-22227-2, S. 250.

== Weblinks ==
* {{MathWorld | id = Wronskian | title = Wronskian}}

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen]]